新教材新高考一輪復(fù)習(xí)北師大版 11.7 二項(xiàng)分布、超幾何分布、正態(tài)分布 學(xué)案

1、第七節(jié) 二項(xiàng)分布、超幾何分布、正態(tài)分布課程標(biāo)準(zhǔn)考情分析核心素養(yǎng).了解伯努利試驗(yàn)，掌握二項(xiàng)分布及其數(shù)字特 征，并能解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題.了解超幾何分布及其均值，并能解決簡(jiǎn)單 的實(shí)際問(wèn)題.了解服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量，借助頻率 直方圖的幾何直觀，了解正態(tài)分布的特征.了解正態(tài)分布的均值、方差及其含義.2020年新高考未考 查二項(xiàng)分布、超兒何 分布、正態(tài)分布； 2021年新高考(H)中 第6題考查了正態(tài)分 布.數(shù)據(jù)分析 數(shù)學(xué)運(yùn)算 邏輯推理教材回扣夯實(shí)“四基”基礎(chǔ)知識(shí)l.n重伯努利試驗(yàn)與二項(xiàng)分布(l)n重伯努利試驗(yàn)把 只 包 含 兩 個(gè) 可 能 結(jié) 果 的 試 驗(yàn) 叫 做 將一個(gè)伯努利試驗(yàn)獨(dú)立地重復(fù)進(jìn)行n次

2、所組成的隨機(jī)試驗(yàn)稱為n重伯努利試驗(yàn).(2)二項(xiàng)分布一般地，在n重伯努利試驗(yàn)中，設(shè)每次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率為p(Op M.如果隨機(jī)變量X的分布列具有上式的形式，那么稱隨機(jī)變量X服從超幾何分布.【微點(diǎn)撥】超幾何分布與二項(xiàng)分布的關(guān)系不同點(diǎn)聯(lián)系P1708351835835170例3解析：(1)因?yàn)殡S機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(2,/)，由對(duì)稱性可知，P(X3),.11又尸(X3)=A 所以 P(X3)=3 故 P(lvXv2) = -P-(x3)=二o故 93226選A.(2)因?yàn)閿?shù)學(xué)成績(jī)服從正態(tài)分布XN(90,2),所以其正態(tài)分布曲線關(guān)于直線1=90對(duì)稱， 又因?yàn)槌煽?jī)?cè)?0分到110分之間的人數(shù)約為總

3、人數(shù)的g由對(duì)稱性知成績(jī)?cè)?10分以上的人 數(shù)約為總?cè)藬?shù)的3x(l|)=g所以此次數(shù)學(xué)考試成績(jī)不低于110分的學(xué)生約有：*900 = 180(人)答案：(1)A (2)180鞏固訓(xùn)練3解析：(1)因?yàn)殡S機(jī)變量X服從正態(tài)分布N，/)，對(duì)稱軸為X=，又P(X 1) + P(x25)=l,而 P(X-l) + P(xW l)=l,所以 P(XN5) = P(XW 1),所以 5 和一 1 關(guān) 于對(duì)稱軸對(duì)稱，那么=學(xué)3=2,應(yīng)選D.解析：(2)可知正態(tài)曲線的對(duì)稱軸為x=80,得P(80v&100) = P(60100) =0.5-03 = 0.2,應(yīng)從100分以上的試卷中抽取100X0.2 = 20.應(yīng)

4、選C.答案：D (2)C例4解析：(1)設(shè)考生的成績(jī)?yōu)閄,那么由題意可得X應(yīng)服從正態(tài)分布，即XNa,)， TOC o 1-5 h z 令那么yn(0, 1).由360分及以上高分考生30名可得P(X2360)=占,即P(X360) O2 000=1 X=0.985,即有尸(X 360T80) = 0 985,貝產(chǎn)0T802/7,可得 83,可得 XN(180, 2 000CT /O832),設(shè)最低錄取分?jǐn)?shù)線為Xo,那么p(x2xo)=P(YN詈)=共器，即有。(丫267,所以能被錄取，P(X286) = P(Y 竺詈巴)=尸(Y5） = P（Xv1） = 62,那么 P（2X2cl） = P（

5、Xc+3）,那么c=題型突破提高“四能”題型一二項(xiàng)分布及其應(yīng)用例1 2022山東師大附中月考某調(diào)研機(jī)構(gòu)就該市工薪階層對(duì)“樓市限購(gòu)令”的態(tài)度 進(jìn)行調(diào)查，抽調(diào)了 5 000名市民，他們?cè)率杖肴藬?shù)分布表和對(duì)“樓市限購(gòu)令”贊成人數(shù)如下 表：月收入 （單位：百元）30, 50)50,70)70,90)90,110)110, 130)130, 150)調(diào)查人數(shù)5001 0001 5001 000500500贊成人數(shù)4008001 2004149987假設(shè)從抽調(diào)的5 000名市民中隨機(jī)選取一名市民，求該市民贊成“樓市限購(gòu)令”的概率;（2）依據(jù)上表中的數(shù)據(jù)，假設(shè)從該市工薪階層隨機(jī)選取兩人進(jìn)行調(diào)查，記贊成“樓市

6、限購(gòu)令” 的人數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；（3）假設(shè)從抽調(diào)的收入在30, 50）（百元）的市民中隨機(jī)抽取兩名，記贊成“樓市限購(gòu)令”的人 數(shù)為X,期望記作夙Xi）；假設(shè)從抽調(diào)的收入在50, 90）（百元）的市民中隨機(jī)抽取兩名，記贊成 “樓市限購(gòu)令”的人數(shù)為X2，期望記作E（XD，比擬E（XD與E（X2）的大小關(guān)系.（直接寫(xiě)出結(jié)論即可)聽(tīng)課記錄類題通法二項(xiàng)分布的解題策略在根據(jù)重伯努利試驗(yàn)求二項(xiàng)分布的有關(guān)問(wèn) 題時(shí)，關(guān)鍵是理清事件與事件之間的關(guān)系， 確定二項(xiàng)分布的試驗(yàn)次數(shù)和變量的概率， 從而求得概率 求隨機(jī)變量的期望與方差時(shí)，可首先分析 g是否服從二項(xiàng)分布，如果B(，那么用 公式(g)=p,。付=

7、(1-夕)求解，前大大 減少計(jì)算量鞏固訓(xùn)練1 一家醫(yī)藥研究所從中草藥中提取并合成了甲、乙兩種抗“病毒”的藥物, 經(jīng)試驗(yàn)，服用甲、乙兩種藥物痊愈的概率分別為、g現(xiàn)已進(jìn)入藥物臨床試用階段，每個(gè)試 用組由4位該病毒的感染者組成，其中2人試用甲種抗病毒藥物，2人試用乙種抗病毒藥物， 如果試用組中，甲種抗病毒藥物治愈人數(shù)超過(guò)乙種抗病毒藥物的治愈人數(shù),那么稱該組為“甲 類組”.(1)求一個(gè)試用組為“甲類組”的概率；(2)觀察3個(gè)試用組，用,表示這3個(gè)試用組中“甲類組”的個(gè)數(shù)，求牛的分布列和期望.題型二超兒何分布及其應(yīng)用例2某高中學(xué)校德育處為了調(diào)查學(xué)生對(duì)“國(guó)安法”的關(guān)注情況，在全校組織了 “國(guó)家 平安知多少

8、”的知識(shí)問(wèn)卷測(cè)試，并從中隨機(jī)抽取了 12份問(wèn)卷，得到其測(cè)試成績(jī)(百分制)如下：52, 63, 67, 68, 72, 76, 76, 76, 82, 88, 93, 94.(1)寫(xiě)出該樣本的中位數(shù)，假設(shè)該校共有3 000名學(xué)生，試估計(jì)該校測(cè)試成績(jī)?cè)?0分以上的 人數(shù)；(2)從所抽取的70分以上的學(xué)生中再隨機(jī)選取4人，記乙表示測(cè)試成績(jī)?cè)?0分以上的人 數(shù)，求。的分布列和數(shù)學(xué)期望.聽(tīng)課記錄類題通法求超幾何分布的分布列的步驟 驗(yàn)證隨機(jī)變量服從超幾何分布，并 第一步一 確定參數(shù)N,M,的值一I一 根據(jù)超幾何分布的概率計(jì)算公式計(jì) 第二步一( 算出隨機(jī)變量取每一個(gè)值時(shí)的概率第上步|一| 用表格的形式列出分

9、布列鞏固訓(xùn)練2為了解學(xué)生自主學(xué)習(xí)期間完成數(shù)學(xué)套卷的情況，一名教師對(duì)某班級(jí)的所有(2)假設(shè)從完成套卷數(shù)不少于4的學(xué)生中任選4人，設(shè)選到的男學(xué)生人數(shù)為X,求隨機(jī)變量 X的分布列.題型三正態(tài)分布及其應(yīng)用角度1正態(tài)分布的概率計(jì)算例3 (1)2022安徽蚌埠模擬隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布NQ, /),且尸(X3)11,=；,那么 P(lvX0, 試卷總分值150分)，統(tǒng)計(jì)結(jié)果顯示數(shù)學(xué)考試成績(jī)?cè)?0分到110分之間的人數(shù)約為總?cè)藬?shù)的; 那么此次月考中數(shù)學(xué)考試成績(jī)不低于110分的學(xué)生約有 人.聽(tīng)課記錄類題通法正態(tài)分布下兩類常見(jiàn)的概率計(jì)算(1)利用正態(tài)分布密度曲線的對(duì)稱性研究相關(guān)概率問(wèn)題，涉及的知識(shí)主要是正態(tài)曲線

10、關(guān)于 直線對(duì)稱，曲線與x軸之間的面積為1.(2)利用3。原那么求概率問(wèn)題時(shí)，要注意把給出的區(qū)間或范圍與正態(tài)變量的外。進(jìn)行比照 聯(lián)系，確定它們屬于口一巴 口-20, +2可，/ 3d, / + 35中的哪一個(gè). TOC o 1-5 h z 鞏固訓(xùn)練3 (1)2022遼寧錦州模擬隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布M/, /),假設(shè)P(x 1) + P(x25)=l,那么=()A. -1B. 1C. -2D. 2(2)2022廣東揭陽(yáng)模擬某地市在一次測(cè)試中，高三學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)服從正態(tài)分布N(80, /),P(6080)=0.3,假設(shè)按成績(jī)分層抽樣的方式取100份試卷進(jìn)行分析，那么應(yīng)從100 分以上的試卷中抽取()

11、A. 10份 B. 15 份C. 20 份 D. 30 份角度2正態(tài)分布的實(shí)際應(yīng)用例4 2022江蘇南京模擬“公平正義”是社會(huì)主義和諧社會(huì)的重要特征，是社會(huì)主義 法治理念的價(jià)值追求.“考試”作為一種公平公正選拔人才的有效途徑，正被廣泛采用.某 單位準(zhǔn)備通過(guò)考試(按照高分優(yōu)先錄取的原那么)錄用300名職員，其中275個(gè)高薪職位和25個(gè) 普薪職位.實(shí)際報(bào)名人數(shù)為2 000名，考試總分值為400分.本次招聘考試的命題和組考非常 科學(xué)，是一次成功的考試，考試成績(jī)服從正態(tài)分布.考試后考生成績(jī)的局部統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下： 考試平均成績(jī)是180分，360分及其以上的高分考生30名.(1)求最低錄取分?jǐn)?shù)(結(jié)果保存為整

12、數(shù))；(2)考生甲的成績(jī)?yōu)?86分，假設(shè)甲被錄取，能否獲得高薪職位？請(qǐng)說(shuō)明理由.參考資料：(1)當(dāng)XN,)時(shí)，令丫=上變，那么YN(0, 1).(2)當(dāng)丫N(。，1)時(shí)， O尸(yW2.17)0.985，1.28)0.900,1.09)0.863, P(YW 1.04)0.85.聽(tīng)課記錄類題通法解答正態(tài)分布的實(shí)際應(yīng)用題，其關(guān)鍵是如何轉(zhuǎn)化，同時(shí)應(yīng)熟練掌握正態(tài)分布在一區(qū) + cr, (/2o, + 25，(/ 3% +30三個(gè)區(qū)間內(nèi)取值的概率.在此過(guò)程中會(huì)用到歸納思想 和數(shù)形結(jié)合思想.鞏固訓(xùn)練4為了監(jiān)控生產(chǎn)某種零件的一條生產(chǎn)線的生產(chǎn)過(guò)程，檢驗(yàn)員每天從該生產(chǎn)線 上隨機(jī)抽取16個(gè)零件，并測(cè)量其尺寸(單

13、位：cm).根據(jù)長(zhǎng)期生產(chǎn)經(jīng)驗(yàn)，可以認(rèn)為這條生產(chǎn)線 正常狀態(tài)下生產(chǎn)的零件的尺寸服從正態(tài)分布M/,/).(1)假設(shè)生產(chǎn)狀態(tài)正常，記X表示一天內(nèi)抽取的16個(gè)零件中其尺寸在口一36 / + 3用之外 的零件數(shù)，求P(XN1)及X的均值.(2)一天內(nèi)抽檢零件中，如果出現(xiàn)了尺寸在口一3。 + 3司之外的零件，就認(rèn)為這條生產(chǎn) 線在這一天的生產(chǎn)過(guò)程可能出現(xiàn)了異常情況，需對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過(guò)程進(jìn)行檢查.試說(shuō)明上述監(jiān)控生產(chǎn)過(guò)程方法的合理性；下面是檢驗(yàn)員在一天內(nèi)抽取的16個(gè)零件的尺寸：9. 95, 10.12, 9.96, 9.96, 10.01, 9.92, 9.98, 10.04, 10.26, 9.91, 10.1

14、3, 10.02, 9.22, 10.04, 10.05, 9.95.經(jīng)計(jì)算得又=9.97, s-0.212,其中即為抽取的第i個(gè)零件的尺寸，i=l, 2,，16.用樣 本平均數(shù)又作為的估計(jì)值八，用樣本標(biāo)準(zhǔn)差s作為。的估計(jì)值心,利用估計(jì)值判斷是否需 對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過(guò)程進(jìn)行檢查？剔除口八一3八八+ 3之外的數(shù)據(jù)，用剩下的數(shù)據(jù)估計(jì)“和 。(精確到0.01).附：假設(shè)隨機(jī)變量Z服從正態(tài)分布N, /),那么3oZ5) = P(X一1),S 111.*./=2.P(2X5)=-P(-lX2cl) = P(Xc + 3),所以 2c1+c+3 = 2X3,所以 c=3答案：9題型突破提高“四能”例1解析：(

15、1)由數(shù)據(jù)可知，在抽調(diào)的5 000名市民中，有400+800+1 200+414+99 + 87 = 3000名，由頻率估計(jì)概率，所以從抽調(diào)的5000名市民中隨機(jī)選取一名市民，該市民 贊成“樓市限購(gòu)令”的概率為尸=黑=1J Vz JkJ(2)由(1)知，市民贊成“樓市限購(gòu)令”的概率為尸=|,記贊成“樓市限購(gòu)令”的人數(shù)為X,那么X8(2, |),那么X的可能取值為0, 1, 2,那么 P(X=0)=以(1)0(|)2=尸(X=l)=般(|)1(|)1=|，P(X=2)=以02(|)。=套所以X的分布列為X012P4251225925那么 E(X) = 0X+1 X+2X=-； 2525255(3

16、)由題意得：因?yàn)?XiB(2, J X2B(2, J E(Xi) = E(X2).鞏固訓(xùn)練1解析：(1)設(shè)A表示事件“一個(gè)試用組中，服用甲種抗病毒藥物有效的有i 人，i=0, 1, 2,用表示事件“一個(gè)試用組中，服用乙種抗病毒藥物有效的有/人“，/=0,11111191, 2,依題意有尸(4)=2乂戶5, P(A2)=-x-=-, P(B0)=-x24124m)=2x-x-=-24124m)=2x-x-=-故一個(gè)試用組為“甲類組”的概率為P=P(&Ai) +尸(3oA2)+P(BiA2)=x： + x： + x：=，；9294949(2)的可能取值為0, 1, 2, 3,1257293)=程 (13)2=100243且3(3, 3,那么尸(=。)=以(1一：)3 =P(2) =廢02 (1一粉景33 =篝故的分布列為0123P1257291002438024364729例2解析：(1)由數(shù)據(jù)可得中位數(shù)為76,樣本中70分以上的所占比例為故 可估計(jì)該校測(cè)試成績(jī)?cè)?0分以上的約為3 000 x|=2 000(A);(2)由題意可得乙的可能取值為0, 1, 2, 3, 4.n z jx 或以 16 8，尸(G=D=飛=兀=布成=2)=以鬣一36一 18或 7035，%=3)=中儲(chǔ)一16一 8以 7035鞏固訓(xùn)練2解析：(1)設(shè)事件A為