Strongart數(shù)學(xué)筆記：Munkres《代數(shù)拓?fù)浠A(chǔ)》的閱讀與思考

1、Munkres代數(shù)拓?fù)浠A(chǔ)的閱讀與思考原本是去年看完Munkres代數(shù)拓?fù)浠A(chǔ)中譯本之后寫成的文章，一年之后自然又有了一些新收獲，所以就補(bǔ)充一點(diǎn)新的體會(huì)重發(fā)出來(lái)。先來(lái)說(shuō)說(shuō)讀這個(gè)書所需要的預(yù)備知識(shí)，主要就是代數(shù)與拓?fù)鋬蓚€(gè)方面的了。其實(shí)書中對(duì)一些基礎(chǔ)的知識(shí)都預(yù)先做了大致的介紹，所以起點(diǎn)還是比較低的，但若是已經(jīng)掌握一些基本技術(shù)，那么就可以把注意集中到拓?fù)涞闹饕獌?nèi)容上了。代數(shù)方面，最好了解一點(diǎn)模正合列，特別是要把圖表追趕的技術(shù)玩熟（盡管書中一般只涉及Abel群的情形），要是再了解一點(diǎn)Hom、Ext、Tor函子與張量積就更好了。拓?fù)浞矫媛?，正?guī)空間的知識(shí)是必須的，但更主要是商空間的理論，像20與37節(jié)都

2、是很精彩的補(bǔ)充，而對(duì)復(fù)形的理解最好先了解一點(diǎn)凝聚拓?fù)洌╟oherenttopology），還有就是了解一點(diǎn)常見曲面的粘合與剖分將是非常有益的。我想，這些知識(shí)大概可以從Munkres的第一本拓?fù)鋵W(xué)中找到，雖然我沒看過(guò)那本書，但它的口碑是不錯(cuò)的。接著，我來(lái)簡(jiǎn)單介紹一下這本書的特色：從取材來(lái)看，這本書其實(shí)更適合叫做同調(diào)論，因?yàn)樗饕褪翘幚韽?fù)形的同調(diào)。書里對(duì)同倫也就介紹了同論等價(jià)的概念，主要遇到的只是其特例形變收縮，目的還是為了得出同調(diào)群的相等（同倫不變性）。其實(shí)，我以前曾見到過(guò)一本中文的同調(diào)論，其內(nèi)容和這本書大致類似，現(xiàn)在新出的一本中文的同調(diào)論，仍然是依照著它的模式。就內(nèi)容來(lái)說(shuō)，此書是從直觀出發(fā)，

3、直到引入許多比較“前衛(wèi)”的概念。書中對(duì)單純形有很多具體的剖分，比如環(huán)面與Klein瓶都是經(jīng)常出現(xiàn)的角色，對(duì)一些比較抽象的定理也獨(dú)具匠心的在習(xí)題中安排了具體的例證。我想，代數(shù)拓?fù)潆m然有點(diǎn)抽象，但畢竟還不是同調(diào)代數(shù)，許多幾何化的材料還是必不可少的。同時(shí)，作者也引入了像無(wú)窮復(fù)形、同調(diào)流形這些同類書籍中不常見的概念，特別在鏈的意義上處理了同調(diào)與上同調(diào)的關(guān)系，這對(duì)進(jìn)一步深入學(xué)習(xí)都是有所幫助的?？梢?，此書內(nèi)容還是比較豐富的，但同時(shí)編排還比較靈活，讀起來(lái)有移步換景的感覺。比如，先介紹一點(diǎn)相對(duì)同調(diào)和任意系數(shù)的同調(diào)，到后來(lái)才講正合列與萬(wàn)有系數(shù)定理。我想，若是開始就把先進(jìn)的武器交出來(lái)，恐怕就沒有多少人愿意用土辦法

4、來(lái)計(jì)算了。這樣安排，既訓(xùn)練了學(xué)生計(jì)算的能力，又顯示了那些定理的威力。但值得商榷的是，其中正向極限一直到Cech上同調(diào)后才“很不情愿”的交出來(lái)，而有些同類書上是用它來(lái)處理Poincare對(duì)偶的。到此為止，似乎寫得有點(diǎn)像書評(píng)了，下面還是簡(jiǎn)單談?wù)勎业母邢氚?。相信很多學(xué)過(guò)代數(shù)拓?fù)涞呐笥讯加羞@樣的感受，代數(shù)拓?fù)浞路鹗侨A而不實(shí)的一個(gè)東西，盡管精心設(shè)計(jì)了各種各樣的同調(diào)理論，但真正能算出來(lái)的沒幾個(gè)。除了二維曲面能用技術(shù)處理一下之外，其余的可以計(jì)算的就只有錐了（球面說(shuō)到底不就是雙角錐嘛，射影空間與透鏡空間也不過(guò)是從球面派生出來(lái)的），或許那個(gè)錐還是因?yàn)楹盟悴盘貏e推薦出來(lái)的呢。不過(guò)，幸好同調(diào)群還有M-V列，要是同倫

5、群的話甚至連基本的球面都沒法計(jì)算！與實(shí)用（計(jì)算）方面的軟弱無(wú)力恰恰相反，在理論方面卻得到了專題性的發(fā)展，就此書的范圍已經(jīng)像我們展示同調(diào)論的工整結(jié)構(gòu)，甚至被升華為同調(diào)與上同調(diào)的公理（見下面的簡(jiǎn)圖，其中沒處理區(qū)分任意系數(shù)與常系數(shù)，對(duì)CW復(fù)形的情形也沒展開，不然就太恐怖了）。審禪下回溜一CM通於旳下回朋n忖克禪回溜一CM壹於旳回溜其實(shí)，許多代數(shù)拓?fù)涞慕Y(jié)構(gòu)可以從鏈上來(lái)統(tǒng)一把握，并且把Abel群推廣到模。這就催生出了同調(diào)代數(shù)一個(gè)非常具有統(tǒng)治力的領(lǐng)域。代數(shù)拓?fù)渲械暮芏嘟Y(jié)構(gòu)（比如鏈復(fù)形、鏈同倫）都在同調(diào)代數(shù)中有進(jìn)一步發(fā)展，甚至連單形也借助范疇論的語(yǔ)言公理化的發(fā)展起來(lái)。值得注意的是，上同調(diào)與同調(diào)可以通過(guò)對(duì)偶定

6、理與萬(wàn)有系數(shù)定理相聯(lián)系，似乎應(yīng)該是一種對(duì)稱的多余，但上同調(diào)卻顯示了比同調(diào)更加豐富的結(jié)構(gòu)（上同調(diào)環(huán)，Cech上同調(diào)），據(jù)說(shuō)在代數(shù)幾何中也起著更為重要的作用。最后來(lái)談一談單純與奇異理論的關(guān)系，原來(lái)看奇異同調(diào)的時(shí)候覺得似乎有點(diǎn)多此一舉，特別是看到它模仿著原始的單純逼近的剖分來(lái)證明奇異同調(diào)同構(gòu)的時(shí)候，差點(diǎn)就笑了出來(lái)。但后來(lái)發(fā)現(xiàn)奇異同調(diào)處理的范圍非常廣泛，只要有拓?fù)淇臻g就可以考慮建立它的同調(diào)，這里我想是不是對(duì)某些特殊的拓?fù)?，特別是一些非自然的拓?fù)洌ū热缢刈VSpecR上拓?fù)洌渫{(diào)或者上同調(diào)是不是有意義呢？或者反過(guò)來(lái)，能不能對(duì)某些特殊的同調(diào)或上同調(diào)找到相應(yīng)的拓?fù)淇臻g呢？這就有待于我的進(jìn)一步學(xué)習(xí)和探索了。本文作者S是一位自學(xué)數(shù)學(xué)的牛人，現(xiàn)在他依然努力堅(jiān)持自學(xué)數(shù)學(xué)，似乎又有了新的突破，還錄了一些數(shù)學(xué)專業(yè)教學(xué)視頻放在網(wǎng)上。然而，他卻一直沒有收到專業(yè)人士的邀請(qǐng)，至今只能依靠網(wǎng)絡(luò)書店購(gòu)買書籍，無(wú)法獲取海量的論文資料，也沒有機(jī)會(huì)和一流的學(xué)者們交