基于矩量法的二維金屬體散射內含matlab程序

1、-. z.基于矩量法的二維金屬體散射計算1 問題的描述此題是用矩量法計算二維金屬圓柱體的散射場，如下圖為一圓柱體和一個橢圓柱的截面，為了計算簡單，選入射波為垂直z軸入射的TM或TE平面波 y 2*2 矩量法求解過程2.1 電場積分方程 2.1.1問題的分析由麥克斯韋方程組 (1) (2)可得電場積分方程為 (3)表示在圓柱外表的面電流在遠處產生的總場。設入射場為E，散射場為E，由金屬外表的邊界條件=0 (4)得 (5)2.1.2 離散化設入射波為,將散射體截面C分為N份C，用點匹配法對上述積分式子進展離散化， 即基函數(shù)可取 (6)可得以下離散方程：PJ=b (7)其中： (8) (9)當mn時

2、， (10)當m=n時 解析積分為 (11)其中=1.781,e=2.7182.1.3方程組的求解可用LU分解求解方程組，即P=LU ，其中P為可逆矩陣，L為上三角矩陣，U為下三角矩陣，則可利用這兩個根本的三角矩陣進展求解J，求出J之后，就可求散射場 (12) (13)與二維場中的散射截面 (14)2.1.4輸出結果的驗證此散射問題也可用模式展開法進展求解，可用此結果對本問題進展驗證。所得J為 (15)2.2 磁場積分方程對于TE波垂直與z方向入射時的金屬體的散射。對于一般的TE波而言只有場分量，電流密度方程只有橫向分量。則MFIE為： (16)其中(17) yytn* (18) 其中t表示邊

3、界上的一點，是和*的夾角。根根據(jù)前面的過程，圓柱邊界分成N分。等效電流密度可以近似為一些脈沖函數(shù)的迭加： (19)其中 (20)則得到 (21)矩陣非對角元 (22) (23) 在上認為是常量故 (24)對角元 (25)其中回波寬度的近似公式為： (26)3 計算機數(shù)值實驗及分析本論文通過數(shù)值計算驗證前面理論分析的結果，并對數(shù)值計算結果進展分析。分別以金屬圓柱體和金屬橢圓體為計算例子，做數(shù)值實驗和分析。所使用的計算機程序是商業(yè)軟件MATLAB6.5，數(shù)值實驗在本人機子celeron4 1.8G CPU 128M存,操作系統(tǒng)是windows *p。3.1 二維金屬圓柱體的散射基于上面的分析，考慮

4、垂直z方向入射的橫向磁波TM,離散方程為7,編程的根本思路是對(10)式和11式編程實現(xiàn)，得出p矩陣，再由(9)式得出b列，用MATLAB6.5軟件上的線性方程組直接求解法求解出J。散射截面回波寬度可以通過14式離散計算出來。計算例子是一個z方向均勻且無限長的金屬圓柱，半徑為1.5米，金屬圓柱中心和z軸重合，入射波為z方向極化，幅值為1，從負*軸方向垂直z軸入射的TM平面波，工作頻率為100MHz，波長米。由于是金屬體且z方向均勻，可以只考慮對垂直z軸截面的圓周進展剖分并計算。以下圖給出了720個剖分下電流密度分布的計算結果與近似解析解的比擬，其中近似解析解是根據(jù)導波理論書上3.48式(本文的

5、15式)在n=-36到n=36下計算出來的。計算時入射角取為0度。其中*軸為，y軸為電流密度，由圖可見，電流密度分布和近似解析解無論幅度相位之間都有著非常好的吻合。計算所得的總等效電流Iz-0.0079 + 0.0083i,而在剖分精度為180時，計算所得的總等效電流Iz =-0.0084 + 0.0083i。而解析解的總電流Iz =-0.0077 + 0.0083i，可見隨著剖分精度的增加，計算結果收斂于解析解。 圖1aEFIE ，剖分精度720 圖1bEFIE 近似解析解以下圖給出的是回波寬度的分布 圖1cEFIE 剖分精度720其中*軸為，y軸為，據(jù)個人粗略分析應該根本符合事實。由于沒能

6、得到回波寬度的解析解，沒能作進一步的分析比擬。下面給出入射角為90度，半徑，而其他條件不變的情況下，所得的計算結果。dEFIE 剖分精度720由此可見，相對前面那種情況，入射角變化90度，等效電流密度分布也相應有90度的相移，回波寬度的幅度減小了很多，但大體的形狀保持不變。這時候的總電流Iz =0.0067 + 0.0028i。3.2 TM波入射金屬橢圓柱的散射對于二維金屬橢圓柱體的散射這種情況，由于圓柱體是橢圓柱的特殊情況，所以解題的根本思路根本一樣，就是對每個剖分步長用數(shù)值積分得到，這樣有利于得到準確的計算結果。實踐的過程也證明了這一點，當每個剖分步長用兩個剖分點的直線距離來近似的話，帶來

7、很大的誤差，而用數(shù)值積分得到的結果和解析解很好地吻合。計算例子是一個z方向均勻且無限長的橢圓柱，長軸，短軸，即金屬圓柱中心和z軸重合，即橢圓方程為。入射波為z方向極化，幅值為1，從負*軸方向垂直z軸入射的TM平面波，即入射角為0度。工作頻率為100MHz，波長米。由于是金屬體且z方向均勻，可以只考慮對垂直z軸截面的橢圓周進展剖分并計算。圖3a(b)給出了1000個剖分和2000個剖分下的電流密度分布的計算結果，圖3(c)給出解析解以作為比擬，而圖4(a)(b)給出了上述剖分精度下的回波寬度的計算結果，作為比擬圖4(c)給出回波寬度的解析解。其中解析解來自參考書計算電磁場的矩量法。為了方便與參考

8、書中的解析解比擬，*和y軸的參量都相應做了變化。以下圖中的*軸S為角度的歸一化，左端為S=0,右端為S=1。Y軸是 圖3(a) EFIE 剖分精度1000圖3(b) EFIE 剖分精度2000 圖3(c) EFIE 剖分精度2700圖3(d) EFIE 安得列解由上圖可見計算結果和參考書提供的解析解能夠有很好的吻合，而且隨著剖分加細，結果更趨接近于解析解。由于本人機子配置較低，難以對更多剖分點的情況進展運算，但可以預見隨著剖分點的增加，計算結果與解析解更好地吻合。但隨著剖分數(shù)N的增大，計算方法所用的近似不能收斂于解析解，這是因為時的，在極限時是不正確的。證明了計算方法的正確性。也可以看到要是用

9、磁場積分方程MFIE可以得到更好的解。以下圖是回波寬度散射截面的方向圖，其中*軸是角度，y軸是。 圖4aEFIE 剖分精度1000圖4(b) EFIE 剖分精度2000圖4cEFIE回波寬度安得列解比擬上圖可得，計算結果和解析解幾乎完全一致，可以注意到即使電流密度分布顯著不同，當這兩種情況得到的結果卻是幾乎完全一致的。這是因為是電流J的連續(xù)性泛函，因此J在準確值附近的大小變化是不敏感的。3.3 TE波入射金屬橢圓柱的散射與上面同樣條件，把入射波換為TE波，理論分析可見前面的2.2局部?；谏厦娴姆治?，考慮垂直z方向入射的橫向電波TE,離散方程為21,編程的根本思路是對(24)式編程實現(xiàn)，得出Z

10、矩陣，再由(17)式得出H列，用MATLAB6.5軟件上的線性方程組直接求解法求解出J。散射截面回波寬度可以通過26式離散計算出來。圖5給出剖分為720份時的計算結果，并給出相應的解析解，以資比擬。解析解來自參考書計算電磁場的矩量法。 圖5(a) MFIE 剖分精度720 圖5bMFIE安得列解可見，計算結果與解析解大體上符合，但還是存在較大的差異，原因估計是剖分精度不夠，還有數(shù)值計算P矩陣時引進了近似，由于時間倉促，沒能在離散化方程時考慮更好的近似方法，這有待于進一步的探討和研究。圖6是TE波入射金屬橢圓柱的回波寬度散射截面的方向圖，其中*軸是角度，y軸是?？梢娪嬎憬Y果和解析解很好地符合，可

11、見雖然電流分布計算結果和所給的解析解有較大的誤差，但回波寬度的計算結果和解析解確幾乎完全一致，這是因為是電流J的連續(xù)性泛函，因此J在準確值附近的大小變化是不敏感的。 圖6(a) MFIE 剖分精度720 圖6bMFIE安得列解4 存在問題和心得存在的問題之一：沒考慮到諧振問題，進一步的工作應該把電場積分方程EFIE和磁場積分方程MFIE組成聯(lián)合積分方程CFIE，來解決這個問題。存在的問題之二：使用的軟件MATLAB6.5雖然功能強大，但是運算效率不高，需要占用的存大和運行時間較長，而比不上用C語言或FORTRAN語言編寫的程序效率高。沒有利用到課本所介紹的快速多極子技術。存在的問題之三：沒有實

12、現(xiàn)在TM波入射情形下用磁場積分方程MFIE計算散射場，而據(jù)理論分析，用MFIE應該能夠得到更好的條件數(shù)，計算的結果也能更好地收斂于解析解。這有待于工作的進一步深入。存在問題之四：限于作者知識和經歷的缺乏，沒能有更為深厚的理論認識做指導，對結果的分析未免有失偏頗。進一步的工作應該朝著三維散射，介質體散射的方向進展。心得：本文凝結著本組成員的心血，期間經歷幾多挫折，幸好一一克制了，要說有什么心得的話，第一要對電磁理論有深刻的認識和理解，第二要有深厚的數(shù)學根底，對電磁積分方程的性能有深入的理解。第三要熟悉熟練掌握編程語言MATLAB，這是實現(xiàn)的工具。鳴：第一應該感盛新慶教師的悉心指導，第二感謝本組成

13、員的通力合作和不懈的努力。5 參考文獻1 盛新慶. 計算電磁學要論.：科學，2004 2 Roger F.Harrington. Field pution by Moment Methods.New York:The Macmillan pany, 1968 3 Andrew F.Peterson,Scott L.Ray and Raj Mittra. putational Methods for Electromagnetics. New York:IEEE PRESS,1998 4 志涌等. 精MATLAB6.5版. ：航空航天大學，20036 程序附錄由于作者已經對程序做了很好的注釋，應

14、該具備matlab根底的人一般都能夠看懂，所以不準備做再多的解釋說明。只簡單附在后面，以供參考：5.1金屬圓柱體散射的程序:function win(NU,L) %金屬圓柱體散射的程序，計算等效外表電流，回波寬度,NU為波長，L為半徑Z=377; %特性阻抗K=2*pi/NU; %波數(shù)m=720; fai=0; %入射方向和*軸的夾角R=L*NU; %金屬圓柱半徑h=2*pi*R/m; %剖分步長P=zeros(m,m); %生成Pmn矩陣框架Q=(pi/m:2*pi/m:2*pi*(m-1/2)/m); %角度細分，分為m分*=R*cos(Q); %*分量長度，隨角度Q變化Y=R*sin(Q

15、); %y分量長度，隨角度Q變化d*=zeros(m,m); %生成矩陣 dy=zeros(m,m);for n=1:m %對每個*和y分別計算(*-*m)2和(y-ym)2d*(n,:)=(*-*(n).2;dy(n,:)=(Y-Y(n).2;endI=eye(m);d=d*+dy+I; %(*-*m)2+(y-ym)2,對角線元素置為1，可以直接用hankel函數(shù)運算*=K*sqrt(d); H=besselh(0,2,*); %hankel functionP=Z*K*h*H/4; %得到P矩陣Pnn=Z*K*h*(1-i*2*log10(1.781*K*h/(4*2.718)/pi)/

16、4; %對m=n時，計算Pnnfor n=1:m P(n,n)=Pnn; %P矩陣對角元素賦值，所有對角元素一樣endb=e*p(-i*K*(*cos(fai)+Y*sin(fai); %b矩陣,行，要轉化為列M=b.; %b array是復數(shù)，不能用b取得它的轉置，而必須用b.。否則得出來的電流分布有180度的相移j=PM; %求解方程，得到電流密度分布arrayfigure(1)w2=(1:1:m);plot(w2*360/m,abs(j),.) %畫圖，電流密度在0360度的分布圖grid ontitle(TM波入射的金屬圓柱外表等效電流密度分布圖)*label(degrees)ylab

17、el(current dense)Iz=sum(h*j) %總電流w=(0:pi/180:pi*179/180);for n=1:180 %計算散射截面回波寬度g=e*p(i*K*(*cos(w(n)+fai)+Y*sin(w(n)+fai)*h; G=g.*j.; %j array是復數(shù)，不能用j取得它的轉置，而必須用j.。否則得出來的值有180度的相移T=abs(sum(G);out(n)=K*Z2*T2/4;endW=(0:1:179);figure(2)plot(W,20*log10(out/NU2),.) %畫圖，回波寬度，0180度grid ontitle(TM波入射金屬圓柱體的回

18、波寬度分布圖)*label(degrees)ylabel(echo width/wavelength2/dB)5.2 金屬圓柱體的外表等效電流密度分布圖近似的解析解程序：function current %3.48式數(shù)值計算,以便對前面的計算結果作檢驗。%計算金屬圓柱體的外表等效電流密度分布圖,得出近似的解析解。%各個條件與程序win完全一至R=1.5; %金屬圓柱半徑 Z=377; %特性阻抗 K=2*pi/3; %波數(shù)h=2*pi*R/360; %剖分步長w=(0:2*pi/360:2*pi*359/360); %角度細分為360分for m=1:360 %對每個角度分別計算Jzfor n

19、=1:73 %求和的上下限為36到36 H=besselh(n-37),2,K*R); %hankel函數(shù) T=(i-(n-37)*e*p(i*(n-37)*w(m);% 分子 s(n)=T/H; %對單個角度的求和元素endJz(m)=2*sum(s)/(K*Z*pi*R); %單個角度的電流密度endfigure(1)plot(w*180/pi,abs(Jz),-) %畫圖，在0360度grid ontitle(TM波入射金屬圓柱體面電流密度分布圖近似解析解)*label(degrees)ylabel(current dense)Iz=sum(h*Jz) %計算總電流5.3 TM波入射金屬

20、橢圓柱體的散射function win1(NU) %計算等效外表電流分布，散射截面分布,NU為波長%計算金屬橢圓柱體的散射，橢圓方程：(*/a)2+(y/b)2=1.入射波為TM波，%電場只有Ez方向入射，用電場積分方程EFIEsyms * a b; %定義變量Z=377; %特性阻抗K=2*pi/NU; %波數(shù)m=1000; %剖分個數(shù)P=zeros(m,m); %生成Pmn矩陣框架h=2*pi/m; %剖分角度步長Q=(0:2*pi/m:2*pi*(m-1)/m); %角度細分為m等分fai=0; %入射方向和*軸的夾角，可設定a=NU/4; %橢圓半長軸b=NU; %橢圓半短軸，當a=b

21、時就是圓柱體散射情形fun=inline(sqrt(a)2*(sin(*).2)+(b)2*(cos(*).2),*,a,b); %橢圓線長for n=1:m %通過數(shù)值積分計算橢圓每個剖分的線長 *1=(n-1)*h;*2=n*h; %積分上下限delta(n)=quadl(fun,*1,*2,a,b); %積分end*=a*cos(Q+h/2); %對每個剖分段，計算其角度中點的*和y值Y=b*sin(Q+h/2);d*=zeros(m,m); %生成矩陣 dy=zeros(m,m);Del=zeros(m,m);for n=1:m %對每個*和y分別計算(*-*m)2和(y-ym)2d*

22、(n,:)=(*-*(n).2;dy(n,:)=(Y-Y(n).2;Del(n,:)=delta;endI=eye(m);d=d*+dy+I; %(*-*m)2+(y-ym)2,對角線元素置為1，可以直接用hankel函數(shù)運算*=K*sqrt(d); H=besselh(0,2,*); %hankel functionP=Z*K*Del.*H/4; %得到P矩陣Pnn=Z*K*delta.*(1-i*2*log10(1.78107*K*delta/(4*2.71828)/pi)/4; %計算對角線元素 for n=1:m P(n,n)=Pnn(n); %P矩陣對角元素賦值，endb=e*p(-

23、i*K*(*cos(fai)+Y*sin(fai); %b矩陣,行，要轉化為列，M=b.; %b array是復數(shù)，不能用b取得它的轉置，而必須用b.。j=PM; %求解方程，得到電流密度分布arrayas=(j./M)*Z; %abs(j/H),畫圖的y軸as=as.; figure(1)w2=(0:m/2-1);plot(w2*2/m,abs(as(m/2:-1:1),.) %畫圖，電流密度在s=0到s=1的分布圖grid ontitle(TM波入射金屬橢圓體的等效外表電流密度分布圖)*label(S)ylabel(abs(J/H),current dense/incident magne

24、tic field);Iz=sum(j.*delta) %計算總電流w=(0:pi/180:pi*179/180);for n=1:180 %計算散射截面回波寬度g=delta.*e*p(i*K*(*cos(w(n)+Y*sin(w(n); %計算電磁學課本公式(2.206)的離散方程 G=g.*j.; %j array是復數(shù)，不能用j取得它的轉置，而必須用j.。T=abs(sum(G);out(n)=K*Z2*T2/4; %對每個散射角度計算其散射截面endW=(0:1:179);figure(2)plot(W,sqrt(out/NU),.) %畫圖，散射截面，0180度grid ontit

25、le(TM波入射金屬圓柱體的散射截面分布圖)*label(Degrees)ylabel(square root of echo width/wavelength)5.4 TE波入射金屬橢圓柱體的散射function TEsyms * L S;Z=377;lamda=3;K=2*pi/lamda;a=0.25*lamda; %a,b為橢圓的長軸和短軸b=1*lamda;N=720; %剖分數(shù)目fai=0; %入射角Q=(0:2*pi/N:2*pi*(N-1)/N);h=2*pi/N;*=a*cos(Q+h/2);Y=b*sin(Q+h/2);h=2*pi/N;P=zeros(N,N);fun=i

26、nline(sqrt(L)2*(sin(*).2)+(S)2*(cos(*).2),*,L,S); %橢圓線長for n=1:N %通過數(shù)值積分計算橢圓每個剖分的線長 *1=(n-1)*h;*2=n*h; %積分上下限d=quadl(fun,*1,*2,a,b);%積分delta(n)=d;endfor n=1:N sinn=sign(cos(Q(n)+h/2)*sqrt(1/(a*tan(Q(n)+h/2)/b)2+1); cosn=-1*sign(sin(Q(n)+h/2)*sqrt(1/(1+(b2/(a*tan(Q(n)+h/2)2); *n=a*cos(Q(n)+h/2);Yn=b*sin(Q(n)+h/2); for m=1:N *m=a*cos(Q(m)+h/2);Ym=b*sin(Q(m)+h/2); Rmn