5-7晶體中電子能態(tài)密度

1、.PAGE ：.；PAGE 45-7 晶體中電子的能態(tài)密度571 帶底附近的能態(tài)密度在本章第一節(jié)中，我們?cè)?jīng)得到自在電子的態(tài)密度NE，圖5-7-1 自在電子能態(tài)密度5-圖5-7-1 自在電子能態(tài)密度而且N(E)E的關(guān)系曲線已由圖5-7-1給出。晶體中電子遭到周期性勢(shì)場(chǎng)的作用，其能量E(k)與波矢的關(guān)系不再是拋物線性質(zhì)，因此式5-7-1不再適用于晶體中電子。下面以緊束縛實(shí)際的簡(jiǎn)立方構(gòu)造晶格的s態(tài)電子由前面的緊束縛實(shí)際，我們?cè)?jīng)得到簡(jiǎn)立方構(gòu)造晶格的s能帶的E(k)方式為：5-7-2其中能量極小植在點(diǎn)k=(0, 0, 0)處，其能量為，所以在點(diǎn)附近的能量，可以經(jīng)過(guò)將展開(kāi)為在k=0處的泰勒級(jí)數(shù)而得到，

2、以，取前兩項(xiàng)代入，可以得到：5-7-3在第五節(jié)，我們?cè)?jīng)根據(jù)有效質(zhì)量的定義，算得簡(jiǎn)立方晶格s帶點(diǎn)處的有效質(zhì)量為一個(gè)標(biāo)量，5-7-4代入后，可得到5-7-5式5-7-5闡明：在能帶底k=0附近，等能面是球面，假設(shè)以及分別替代自在電子的能量E及質(zhì)量m，就可得到晶體中電子在能帶底附近的能態(tài)密度函數(shù)：5-7-6572 帶頂附近的能態(tài)密度能帶頂在的R點(diǎn)處，容易知道，其能量為。以R點(diǎn)附近的波矢代入E(k)表達(dá)式中，就得到在能量極大值附近的能量表達(dá)式：5-7-7再利用(，就可得到：5-7-8將式中余弦函數(shù)展開(kāi)為后，上式變成：5-7-9或?qū)懗?-7-10式中，是波矢k與能帶頂R的波矢之差。所以，假設(shè)以R點(diǎn)為原

3、點(diǎn)建立坐標(biāo)系軸，那么的意義就與的意義是一樣的。因此，式5-7-10表示能量極大值附近的等能面是一些以R點(diǎn)為球心的球面。這樣，我們就得到能帶極大值附近的態(tài)密度函數(shù)：5-7-11雖然，式5-7-10和式5-7-11是從一個(gè)特例出發(fā)得到的，但卻具有普遍意義。也就是說(shuō)，當(dāng)能帶極值處的有效質(zhì)量是各向同性的，等能面是球面時(shí)，式5-7-10和5-7-11均適用。573 非極值點(diǎn)處能態(tài)密度圖5-7-2 緊束縛近似等能面AC當(dāng)能量遠(yuǎn)離極值點(diǎn)時(shí)，晶體電子的等能面不再是球面。圖5-7-2給出在截面上的簡(jiǎn)立方晶格電子等能面表示圖。從圖看出，從原點(diǎn)點(diǎn)，是能帶底向外，等能面根本上堅(jiān)持為球面的緣由在于周期性場(chǎng)的作用，使晶體

4、電子能量下降，為得到與自在電子一樣的能量E，晶體電子的波矢k圖5-7-2 緊束縛近似等能面AC在能量接近時(shí)，等能面向外突出，所以，這些等能面之圖5-7-3 自在電子與晶體中電子態(tài)密度E自在電子近自在電子間的體積顯然比球面之間的體積大，因此所包含的形狀代表點(diǎn)也較多，使晶體電子的態(tài)密度在接近時(shí)比自在電子的顯著增大見(jiàn)圖5-7-3。當(dāng)能量超越時(shí)，由于等能面開(kāi)場(chǎng)殘破，它們之間的體積愈來(lái)愈小，最后下降為零。因此，能量在到之間的態(tài)密度將隨能量添加而逐漸減小，最后下降為零，如圖5-7-3圖5-7-3 自在電子與晶體中電子態(tài)密度E自在電子近自在電子假設(shè)思索兩個(gè)沒(méi)有交疊的能帶的態(tài)密度，下面一個(gè)帶的態(tài)密度曲線亦如圖

5、5-7-3所示，在能帶頂處態(tài)密度為零。在禁帶內(nèi)亦不斷堅(jiān)持為零因禁帶內(nèi)無(wú)電子的量子態(tài)存在，當(dāng)能量到達(dá)上面能帶的帶底時(shí)，態(tài)密度才又隨能量的添加而添加，如圖5-7-4a所示。假設(shè)所思索的能帶有交疊，那么兩能帶態(tài)密度也會(huì)發(fā)生交疊，態(tài)密度函數(shù)如圖5-7-4b所示。可見(jiàn)，交疊能帶與不交疊能帶的態(tài)密度函數(shù)是很不一樣的，這一點(diǎn)，可以從軟X射線發(fā)射譜中得到證明。 a (b)圖5-7-4 a不交疊能帶b交疊能帶當(dāng)晶體遭到能量約為電子伏特的電子撞擊時(shí)，低能帶中的一些電子被激發(fā)，因此在能帶中留下空能級(jí)。由于低能帶是很窄的，可近似看作是分立能級(jí)。當(dāng)高能帶中的電子落入低能帶中的空能級(jí)上時(shí)，就發(fā)射出x射線。因這種X射線的波

6、長(zhǎng)較長(zhǎng)(約100)，所以，稱之為軟x射線軟x射線發(fā)射譜的強(qiáng)度I(E)與能量等于E處的態(tài)密度N(E)成正 a (b)圖5-7-4 a不交疊能帶b交疊能帶 I(E)W(E)N(E)圖5-7-5 金屬與非金屬的X射線發(fā)射譜上式中的W(E)是一個(gè)隨E延續(xù)緩變的函數(shù)，所以，可以以為，I(E)主要由EE)隨E的變化來(lái)決議。也就是說(shuō)，軟x射線發(fā)射譜的外形直接反映出晶體電子態(tài)密度的特征。圖5-7-5是幾種典型的金屬與非金屬的X射線發(fā)射譜由圖看出，各晶體的發(fā)射譜在低能方面都是隨能量添加而逐漸上升的，闡明從能帶底起，隨著電子能量的添加，態(tài)密度逐漸增大；在高能端，金屬的x射線發(fā)射譜是忽然下降的，所對(duì)應(yīng)的能量大致與費(fèi)米能一樣；非金屬的發(fā)射增那么隨能量添加而逐漸下降為零這正好反映了金屬與非金屆的電子填充能帶的情況。金屬中的電子沒(méi)有填滿能帶，電子填充的最高能級(jí)的能量約為，態(tài)密度，所以，發(fā)射譜就忽然下降。鎂及鋁的發(fā)射譜與圖5-7-4(b)的外形類似，