2021-2022學年高二物理競賽課件：流體力學平面勢流

1、流體力學平面勢流C2.1 引言(工程背景)1. 歐拉運動方程 （無粘）蘭姆葛羅米柯方程（無粘)2. 歐拉積分（無粘、無旋 正壓、重力 、定常）伯努利積分（無粘、無旋不可壓、重力、定常）常數(shù) (全流場）常數(shù) （全流場） 斯托克斯定理（封閉曲線、渦束）開爾文定理（無粘、正壓、有勢力）（沿封閉流體線）C2.2 一般概念(2-2)例 有自由面的勢渦：無旋流伯努利方程已知: 渦量處處為零的渦旋運動稱為勢渦（參見C2.4.3），速度分布為 v=v0=C/r，C為常數(shù)，r為徑向坐標。求： 若勢渦具有自由面（例如河中的水旋，見圖）， 試確定自由面方程。 解： 勢渦流場為無旋流場，伯努利方程在全流場成立，在任意

2、高度的兩點上流體微元的總能量守恒。設自由面的水平邊界漸近線為z=z 0，漸近線的無窮遠點與自由面上的任意點有關系式 在水平邊界上r0，v0=c/r00；且在自由面上，ps=p0，由上式可得 將v=C/r代入上式可得自由面方程為旋轉(zhuǎn)雙曲線方程 C2.3 速度勢與流函數(shù)名稱 : 勢函數(shù)(x,y) 條件: 無旋流引入:定義:等值線: =C (等勢線)性質(zhì): 等勢線與速度垂直流函數(shù)(x,y)平面不可壓縮=C (流線）,流線與等勢線正交C2.3 速度勢與流函數(shù)例 90角域流的速度勢和流函數(shù)(2-1) 已知: 90角域流的速度分布式為：u=kx,v=ky（k為常數(shù)）。 求：（1）判斷該流場是否存在速度勢，

3、若存在請確定其形式并畫等勢線圖； （2）判斷該流場是否存在流函數(shù)。若存在請確定其形式并畫流線圖； 解：（1）先計算速度旋度 上式中C為常數(shù)。速度勢函數(shù)為 說明流場是無旋的，存在速度勢(x, y)，由（C2.3.2）式 (a)等勢線方程為x2y2=常數(shù)，在xy平面上是分別以第一、三象限角平分線和第二、四象限角平分線為漸近線的雙曲線族，如上圖中的虛線所示。 （2）再計算速度散度 說明該流場是不可壓縮平面流動，存在流函數(shù)(x,y)，由（C2.3.11）式 上式中C為常數(shù)，流函數(shù)為 流線方程為xy=常數(shù)，在 xy平面上是分別以 x, y軸為漸近線的雙曲線族，如上圖中的實線所示。x, y軸也是流線，稱其

4、為零流線。流線族與等勢線族正交。 (b)例 90角域流的速度勢和流函數(shù)(2-2) 平面勢流平面流存在速度勢無旋流不可壓縮存在流函數(shù) 平面勢流與基本解 挑選一些基本解i(i)，疊加后若滿足邊界條件即是所求之解。 均流物理背景 全流場以等速( U )做平行直線流動速度分布勢函數(shù)流函數(shù) 點源與點匯物理背景當源匯位于A點當源匯位于原點O點源（Q 0）：流體從一點均勻地流向各方向; 點匯（Q 0）：流體從各方向均勻地流入一點。C2 點渦物理背景 與平面垂直的直渦線（強度為）誘導的流場。當點渦位于A點當點渦位于原點O當偶極子位于原點等勢線=C流線 =C物理背景 點源點匯無限接近(0)形成的流場。 （偶極矩

5、M = Q= 常數(shù)，源匯）例 蘭金半體繞流：均流+點源(2-1)已知: 位于原點的強度為Q（Q0）的點源與沿x方向速度為U的均流疊 加成一平面流場。求： （1）流函數(shù)與速度勢函數(shù)；（2）速度分布式；（3）流線方程； （4）畫出零流線及部分流線圖。解： （1）流函數(shù)與速度勢函數(shù)的極坐標形式分別為 （2）速度分布式為 （3）流線方程為 C 取不同值代表不同流線，零流線的一部分為該流場繞流物體的輪廓線。(a)(d)(c)(b)(e)通過駐點A（-b,0）的右半部分零流線由A點的流函數(shù)值決定 （4）零流線的左半支是負x軸的一部分（=），駐點A（-b,0）由 下式?jīng)Q定零流線方程為 零流線及部分流線如右上圖所示，右半部分所圍區(qū)