2021-2022學(xué)年高二物理競(jìng)賽課件：流體力學(xué)的平面勢(shì)流

1、流體力學(xué)的平面勢(shì)流 一、均勻等速流二、點(diǎn)源和點(diǎn)匯 三、點(diǎn)渦流函數(shù)在笛卡兒坐標(biāo)系中，平面、不可壓縮流體的連續(xù)性方程可寫成:若定義某一個(gè)函數(shù)（流函數(shù)） 令: 平面不可壓縮流體流函數(shù)的基本性質(zhì)1、等流函數(shù)線為流線當(dāng) 常數(shù)時(shí)即：（7-39）,流體通過兩流線間單位高度的體積流量等于兩條流線的流函數(shù)之差在xy平面上任取A和B點(diǎn)，AB連線如圖7-12所示，則（AB為使 與 同號(hào)） 不論是理想流體還是粘性流體，不論是有旋的還是無旋的流動(dòng)，只要是不可壓縮（或定常可壓縮）流體的平面（或軸對(duì)稱）流動(dòng)，就存在流函數(shù)。 圖7-12 流量與流函數(shù)的關(guān)系 由不可壓縮流體、平面、無旋流動(dòng)條件有： 將速度和流函數(shù)的關(guān)系代入上式

2、得 在極坐標(biāo)系中： 故不可壓縮流體的平面無旋流動(dòng)流函數(shù)也滿足拉普拉斯方程，也是調(diào)和函數(shù)。（7-40）（7-41） 速度勢(shì)函數(shù)和流函數(shù)的關(guān)系 對(duì)于不可壓縮流體的平面無旋流動(dòng)，速度勢(shì)函數(shù)和流函數(shù)都是調(diào)和函數(shù)，且具有以下關(guān)系：該數(shù)學(xué)關(guān)系式稱為柯西黎曼（CauchyRiemen）條件 。由它可得：兩族曲線的正交條件。在平面上它們構(gòu)成處處正交的網(wǎng)絡(luò)，稱為流網(wǎng) ?！纠恳阎豢蓧嚎s流體平面勢(shì)流，其速度勢(shì) ，試求速度投影和流函數(shù)。【解】由速度勢(shì)可求得速度分量 ，由速度和流函數(shù)的關(guān)系 ，將速度代入流函數(shù)的關(guān)系式積分得 將上式對(duì)求偏導(dǎo)數(shù)，并考慮速度和流函數(shù)的關(guān)系則有：上式對(duì)積分，得：代入原式有：物理背景 全流場(chǎng)

3、以等速( U )做平行直線流動(dòng)速度分布勢(shì)函數(shù)流函數(shù) 均勻等速流 均勻等速流流速的大小和方向沿流線不變的流動(dòng)為均勻流；若流線平行且流速相等，則稱均勻等速流。例如 ，其中 為常數(shù)，便是這樣的流動(dòng)。由于積分得 : （7-43a）由于 積分得 （7-43b）在以上二式中均取積分常數(shù)為零（下同），這對(duì)流動(dòng)的計(jì)算并無影響。顯然，等勢(shì)線 與流線 是相互垂直的兩族直線，如圖7-13所示。若已知來流速度 與x 軸的夾角 ，則有: 由于流場(chǎng)中各點(diǎn)的速度相同，流動(dòng)無旋，故處處有 常數(shù) ，即在流場(chǎng)中各點(diǎn)的總勢(shì)能保持不變。若是水平面上的均勻等勢(shì)流，或者不計(jì)重力的影響（例如大氣），則p =常數(shù)，即壓強(qiáng)在流場(chǎng)中處處相等。圖

4、7-13 均勻等速流（7-43d）（7-43c） 點(diǎn)源和點(diǎn)匯 無限大平面上，流體從一點(diǎn)沿徑向直線均勻地向外流出的流動(dòng)，稱為點(diǎn)源，這個(gè)點(diǎn)稱為源點(diǎn)；如果流體沿徑向均勻的流向一點(diǎn)，稱為點(diǎn)匯，這個(gè)點(diǎn)稱為匯點(diǎn)。不論是點(diǎn)源還是點(diǎn)匯，流場(chǎng)中只有徑向速度，即圖7-14 源流和匯流 (a)(b)根據(jù)流體的連續(xù)性原理，在極坐標(biāo)中流體流過任意單位高度圓柱面的體積流量 （也稱為源流或匯流的強(qiáng)度）都相等，即 上式中點(diǎn)源取正號(hào)，點(diǎn)匯取負(fù)號(hào)。根據(jù)上式， 只是 的函數(shù)，所以 積分得以上討論表明，當(dāng) 時(shí)， ，源點(diǎn)和匯點(diǎn)是奇點(diǎn)，以上 和 只有在 0時(shí)才有意義。流函數(shù)和速度的關(guān)系為:（7-44a），因此， 只 是 的函數(shù)，故有 上式積分得根據(jù)以上得到的流函數(shù)和勢(shì)函數(shù)可知，等勢(shì)線為不同半徑的同心圓，即 =常數(shù)；流線為不同極角的徑線，即 =常數(shù)。 在水平面 面上，對(duì)半徑 處 和無窮遠(yuǎn)處列伯努利方程 代入速度值后由上式可知，壓強(qiáng)隨著半徑的減小而降低。零壓強(qiáng)處的半徑為 。 以上各式僅適用于 的區(qū)域。（7-44b）（7-44c）點(diǎn)渦若直線渦束的半徑 ，則垂直于該渦束的平面內(nèi)的流動(dòng)稱為點(diǎn)渦或自由