新教材新高考一輪復(fù)習(xí)人教B版 第三章 第二節(jié)　第五課時(shí)　思維能力加強(qiáng)課(三)　利用導(dǎo)數(shù)探究函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題 作業(yè)

1、第三章 第二節(jié)第五課時(shí)思維能力加強(qiáng)課(三)利用導(dǎo)數(shù)探究函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題綜合提升練1(2021錦州重點(diǎn)中學(xué)聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)ex1，g(x)eq r(x)x，其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，e2.718 28.(1)證明：函數(shù)h(x)f(x)g(x)在區(qū)間(1,2)上有零點(diǎn)；(2)求方程f(x)g(x)的根的個(gè)數(shù)，并說(shuō)明理由解：(1)證明：由題意可得h(x)f(x)g(x)ex1eq r(x)x，所以h(1)e30，h(2)e23eq r(2)0，所以h(1)h(2)0，所以函數(shù)h(x)在區(qū)間(1,2)上有零點(diǎn)(2)由(1)可知h(x)f(x)g(x)ex1eq r(x)x.由g(x)eq r(x)x

2、知x0，)，而h(0)0，則x0為h(x)的一個(gè)零點(diǎn)又h(x)在(1,2)內(nèi)有零點(diǎn)，因此h(x)在0，)上至少有兩個(gè)零點(diǎn)h(x)exeq f(1,2)xeq f(1,2)1，記(x)exeq f(1,2)xeq f(1,2)1，則(x)exeq f(1,4)xeq f(3,2).當(dāng)x(0，)時(shí)，(x)0，因此(x)在(0，)上單調(diào)遞增，易知(x)在(0，)內(nèi)至多有一個(gè)零點(diǎn)，即h(x)在0，)內(nèi)至多有兩個(gè)零點(diǎn)，則h(x)在0，)上有且只有兩個(gè)零點(diǎn)，所以方程f(x)g(x)的根的個(gè)數(shù)為2.2已知函數(shù)f(x)exaxa(aR且a0)(1)若f(0)2，求實(shí)數(shù)a的值，并求此時(shí)f(x)在2,1上的最小值

3、；(2)若函數(shù)f(x)不存在零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍解：(1)由題意知，函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，又f(0)1a2，得a1，所以f(x)exx1，求導(dǎo)得f(x)ex1.易知f(x)在2,0上單調(diào)遞減，在(0,1上單調(diào)遞增，所以當(dāng)x0時(shí)，f(x)取得最小值2.(2)由(1)知f(x)exa，由于ex0，當(dāng)a0時(shí)，f(x)0，f(x)在R上是增函數(shù)，當(dāng)x1時(shí)，f(x)exa(x1)0；當(dāng)x0時(shí)，取xeq f(1,a)，則feq blc(rc)(avs4alco1(f(1,a)1aeq blc(rc)(avs4alco1(f(1,a)1)a0.所以函數(shù)f(x)存在零點(diǎn)，不滿足題意當(dāng)a0時(shí)，令f(x)

4、0，得xln(a)在(，ln(a)上，f(x)0，f(x)單調(diào)遞減，在(ln(a)，)上，f(x)0，f(x)單調(diào)遞增，所以當(dāng)xln(a)時(shí)，f(x)取最小值函數(shù)f(x)不存在零點(diǎn)，等價(jià)于f(ln(a)eln(a)aln(a)a2aaln(a)0，解得e2a0.綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍是(e2,0)3已知函數(shù)f(x)x3x2axb.(1)當(dāng)a1時(shí)，求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)若函數(shù)f(x)的圖像與直線yax恰有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)b的值解：(1)當(dāng)a1時(shí)，f(x)x3x2xb，則f(x)3x22x1，由f(x)0，得x1或xeq f(1,3)，所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(，1

5、)和eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,3)，).(2)函數(shù)f(x)的圖像與直線yax恰有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，等價(jià)于f(x)ax0有兩個(gè)不等的實(shí)根令g(x)f(x)axx3x2b，則g(x)3x22x.由g(x)0，得xeq f(2,3)或x0；由g(x)0，得eq f(2,3)x0.所以函數(shù)g(x)在eq blc(rc)(avs4alco1(，f(2,3)和(0，)上單調(diào)遞增，在eq blc(rc)(avs4alco1(f(2,3)，0)上單調(diào)遞減所以當(dāng)xeq f(2,3)時(shí)，函數(shù)g(x)取得極大值geq blc(rc)(avs4alco1(f(2,3)eq f(4,27)b；當(dāng)x

6、0時(shí)，函數(shù)g(x)取得極小值為g(0)b.要滿足題意，則需geq blc(rc)(avs4alco1(f(2,3)eq f(4,27)b0或g(0)b0，所以beq f(4,27)或b0.創(chuàng)新應(yīng)用練4(2021泉州調(diào)研)設(shè)函數(shù)f(x)eq f(x2,2)kln x，k0.(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值；(2)證明：若f(x)存在零點(diǎn)，則f(x)在區(qū)間(1，eq r(e) 上僅有一個(gè)零點(diǎn)解：(1)由f(x)eq f(x2,2)kln x(k0)得f(x)xeq f(k,x)eq f(x2k,x).由f(x)0解得xeq r(k).f(x)與f(x)在區(qū)間(0，)上的情況如下：x(0，eq r(

7、k)eq r(k)(eq r(k)，)f(x)0f(x)單調(diào)遞減eq f(k1ln k,2)單調(diào)遞增所以，f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(0，eq r(k)，單調(diào)遞增區(qū)間是(eq r(k)，)；f(x)在xeq r(k)處取得極小值f(eq r(k)eq f(k1ln k,2).(2)證明：由(1)知，f(x)在區(qū)間(0，)上的最小值為f(eq r(k)eq f(k1ln k,2).因?yàn)閒(x)存在零點(diǎn)，所以eq f(k1ln k,2)0，從而ke.當(dāng)ke時(shí)，f(x)在區(qū)間(1，eq r(e) )上單調(diào)遞減，且f(eq r(e)0，所以xeq r(e)是f(x)在區(qū)間(1，eq r(e) 上的唯一零點(diǎn)當(dāng)ke時(shí)，f(x)在區(qū)間(0，eq r(e) )