電磁場的數(shù)值計(jì)算方法

1、 摘 要： 數(shù)值計(jì)算方法是一種研究并解決數(shù)學(xué)問題數(shù)值近似解的方法，廣泛運(yùn)用于電氣、軍事、經(jīng)濟(jì)、生態(tài)、醫(yī)療、天文、地質(zhì)等眾多領(lǐng)域。 本文綜述了電磁場數(shù)值計(jì)算方法的發(fā)展歷史、分類， 詳細(xì)介紹了三種典型的數(shù)值計(jì)算方法有限差分法、有限元法、矩量法 ,對每種方法的解題思路、原理、 步驟、特點(diǎn)、應(yīng)用進(jìn)行了詳細(xì)闡述, 并就不同方法的區(qū)別進(jìn)行了深入分析, 最后對電磁場數(shù)值計(jì)算方法的應(yīng)用前景作了初步探討。關(guān)鍵詞 ： 電磁場；數(shù)值計(jì)算；有限差分法；有限元法；矩量法引言自從 1864 年 Maxwell 建立了統(tǒng)一的電磁場理論，并得出著名的Maxwell 方程以來， 經(jīng)典的數(shù)學(xué)分析方法是一百多年來電磁學(xué)學(xué)科發(fā)展中一

2、個極為重要的手段 , 圍繞電磁分布邊值問題的求解國內(nèi)外專家學(xué)者做了大量的工作。在數(shù)值計(jì)算方法之前, 電磁分布的邊值問題的研究方法主要是解析法，但其推導(dǎo)過程相當(dāng)繁瑣和困難, 缺乏通用性, 可求解的問題非常有限。上個世紀(jì)六十年代以來, 伴隨著電子計(jì)算機(jī)技術(shù)的飛速發(fā)展, 多種電磁場數(shù)值計(jì)算方法不斷涌現(xiàn), 并得到廣泛地應(yīng)用 , 相對于解析法而言, 數(shù)值計(jì)算方法受邊界形狀的約束大為減少, 可以解決各種類型的復(fù)雜問題。但各種數(shù)值計(jì)算方法都有一定的局限性, 一個復(fù)雜的問題往往難以依靠一種單一方法解決，因此如何充分發(fā)揮各種方法的優(yōu)勢, 取長補(bǔ)短,將多種方法結(jié)合起來解決實(shí)際問題, 即混合法的研究和應(yīng)用已日益受到

3、人們的關(guān)注。 本文綜述電磁場的數(shù)值計(jì)算方法，對三種常用的電磁場數(shù)值計(jì)算方法進(jìn)行分類和比較。功地解算了二維非線性磁場1，此后有限差分法在工程電磁場計(jì)算領(lǐng)域大為發(fā)展。1965年， Winslow 首先將有限元法從力學(xué)界引入電氣工程中，1969年加拿大MeGill 大學(xué) P. P. Silvester運(yùn)用有限元法成功地進(jìn)行了波導(dǎo)的計(jì)算 電磁場數(shù)值計(jì)算方法的分類求解電磁問題的最終要求就是獲得滿足實(shí)際條件的Maxwell 方程的解，借助于計(jì)算數(shù)學(xué)中的數(shù)值算法能夠得到大多數(shù)電磁問題的近似解。數(shù)值算法的基本思想 5 就是把連續(xù)變量函數(shù)離散化，把微分方程化為差分方程；把積分方程化為有 ； 七十年代初，P. P

4、. Silvester和 M. V. K. Chari 合作將有限元法應(yīng)用于二維非線性磁場的計(jì)算，成功地計(jì)算了直流電機(jī)、同步電機(jī)的恒定磁場。此后有關(guān)有限元法探討的論文越來越多，有限元法運(yùn)用的范圍由靜態(tài)場到渦流場到輻射場，由線性場到非線性場，由各向同性媒質(zhì)到各向異性、要考慮磁滯損耗，由工程電磁場到生物電磁場等等。有人認(rèn)為有限元法是求解工程電磁場的最有效最成功的方法。有限元法和有限差分法都是求解邊值問題的方法，屬于微分方程法。對于開區(qū)域或要求求解連續(xù)分布場量的區(qū)域，這類方法就會受到自身的限制。1972 年英國盧瑟福實(shí)驗(yàn)室的C.W.Trowbridge 等人提出了積分方程法的思想，給出了二維、 三維

5、場問題的離散形式2 ， 由于此種方法只需離散源區(qū)，不需考慮邊界條件，所以它較好地解決了無界開域場和要求連續(xù)計(jì)算場量的問題。該方法計(jì)算精度高，但計(jì)算量很大。該實(shí)驗(yàn)室Sinkin 等人又在積分方程法基礎(chǔ)上提出了邊界積分方程法（ 又稱邊界元法） ， 用此解決線性場的計(jì)算，計(jì)算量大為減小。此后該室的學(xué)者們將積分方程與微分方程法結(jié)合起來，提出了求解三維靜磁場的雙標(biāo)量位法等。在解決天線輻射場、散射場問題中，矩量法是一個很重要的數(shù)值計(jì)算方法。1968年 R. F. Harrington 發(fā)表了專著“Field computation by Moment Method ”，對散射場、天線輻射場、波導(dǎo)場等方面的

6、問題起了很好的推進(jìn)作用。除以上所介紹的方法外，隨著電磁場數(shù)值分析的不斷發(fā)展，各種新方法不斷涌現(xiàn)，如計(jì)算電場的模擬電荷法，最小二乘配點(diǎn)法，求解磁場的模擬電流法，以及計(jì)算場的圖論模型法，快速Fourier變換法、有限體元法、無網(wǎng)格計(jì)算法等等。各種方法互相配合，出現(xiàn)了一些混合方法，如：矩量法模擬電荷法、模擬電荷法有限元法、有限元法邊界元法等，有效地解決了一些實(shí)際問題。近年來人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，小波理論限和的形式，從而建立起收斂的代數(shù)方程組，然后利用計(jì)算機(jī)技術(shù)進(jìn)行求解。數(shù)值計(jì)算方法從求解方程的形式看，主要分為積分方程法和微分方程法兩大 等也引入了電磁場的數(shù)值計(jì)算中，瞬態(tài)電磁場計(jì)算如時域有限差分法的應(yīng)用有了長

7、足的發(fā)展?？傊S著現(xiàn)有的電磁場數(shù)值計(jì)算方法的不斷深入發(fā)展、提高和完善，新的方法不斷產(chǎn)生。在電磁場的數(shù)值解法不斷發(fā)展的同時，人們并沒有忘記長期以來所運(yùn)用的解析方法。 解析法計(jì)算結(jié)果精確，且可以用解析式表達(dá)計(jì)算結(jié)果，受這些特點(diǎn)吸引，解析法與數(shù)值計(jì)算方法相結(jié)合形成的半解析法應(yīng)運(yùn)而生，也成為了一種主流解算方法，并還在不斷發(fā)展。電磁場數(shù)值計(jì)算方法發(fā)展走向成熟的一個重要標(biāo)志是：成熟的方法越來越多地應(yīng)用于工程實(shí)際問題中，商業(yè)化通用軟件包不斷出現(xiàn)2 * 類。 積分方程法主要有矩量法和邊界元法，微分方程法主要有有限差分法和有限 。一個商業(yè)化軟件包通常由下面幾部分組成：數(shù)據(jù)定義：幾何尺寸、材料性能參數(shù)、邊界條件前

8、處理 模擬化：空調(diào)剖分、網(wǎng)格自動產(chǎn)生、節(jié)點(diǎn)形成網(wǎng)格圖形顯示離散方程組系數(shù)矩陣形成數(shù)據(jù)處理求解代數(shù)方程組非線性疊代按要求輸出計(jì)算結(jié)果場圖顯示（含線性媒質(zhì)和非線性媒質(zhì)區(qū) ）后處理受力和損耗計(jì)算與圖形顯示局部場域分布的精細(xì)計(jì)算與顯示以上三部分中前、后處理占用了軟件包語句的90%以上，編程的主要工作量在此，而數(shù)據(jù)處理，也就是我們目前正在學(xué)習(xí)的數(shù)值計(jì)算方法僅占軟件語句的10%以內(nèi)，但它卻是占用計(jì)算機(jī)內(nèi)存量和消耗CPU 時間的主要部分。表一 積分方程法和微分方程法的比較積分方程法微分方程法共性對場問題的處理是一致的，即需離散化場域，結(jié)果是數(shù)值解不同點(diǎn)離散域僅在場源區(qū)，無需對整 個場域離散整個場域計(jì)算對象場

9、量先求位函數(shù)，再求場量求解域可在場域內(nèi)某一局部區(qū)域 求解，也可在全場域內(nèi)求 解全場域內(nèi)求解計(jì)算程度較高較低應(yīng)用不適用邊界區(qū)域復(fù)雜的場 域邊界形狀復(fù)雜的場域較 易處理聯(lián)系兩種方法的結(jié)合形式，可處理較復(fù)雜的電磁場問題3 幾種重要的數(shù)值計(jì)算方法有限差分法在電磁場數(shù)值計(jì)算方法中，有限差分法是應(yīng)用最早的一種方法。有限差分法以其概念清晰，方法簡單、直觀，有大致固定的處理和計(jì)算模式，具有一定的通用性等特點(diǎn)，在電磁場數(shù)值分析領(lǐng)域內(nèi)得到了廣泛的應(yīng)用。有限差分法的基本原理有限差分法的基本思想是把連續(xù)的定解區(qū)域用有限個離散點(diǎn)構(gòu)成的網(wǎng)格來代替， 這些離散點(diǎn)稱作網(wǎng)格的節(jié)點(diǎn)；把連續(xù)定解區(qū)域上的連續(xù)變量的函數(shù)用在網(wǎng)格上定義

10、的離散變量函數(shù)來近似；把原方程和定解條件中的微商用差商來近似，積分用積分和來近似，于是原微分方程和定解條件就近似地代之以代數(shù)方程組，即有限差分方程組，解此方程組就可以得到原問題在離散點(diǎn)上的近似解。然后再利用插值方法便可以從離散解得到定解問題在整個區(qū)域上的近似解。差分與差商設(shè)函數(shù) f (x)的自變量x有一小增量x h，則 f(x)的增量為f(x) f(x h) f (x)( 3.1)f (x) 為函數(shù) f (x) 的一階差分。當(dāng)增量h 足夠小，差分f 與微分 df 之間的差才足夠小。一階差分f 是自變量x的函數(shù)。 按式(1) , 計(jì)算 f(x)的差分 2f(x)稱二階差分，且2f (x) f(x

11、 h) f(x)( 3.2)f(x)的一階導(dǎo)數(shù)f (x)為dff x dx limx 0fxx應(yīng)用差分，f (x)可表示為3.3) f (x) f (x h) f (x)f (x) xh故 f (x) 可表示為差分f(x) 除以有限小差分x 的商，稱為差商。同理，函數(shù)f(x)的二階導(dǎo)數(shù)f (x)可表示為d2fdx21x ( ddfxdfx x dxx)1 f (x h) f (x) hhf (x) f (x h)h3.4)f (x h) 2f(x) f(x h)h2差分方程的構(gòu)造現(xiàn)以二維靜態(tài)電、磁場泊松方程的第一類邊值問題為例，來具體闡明有限差分法的應(yīng)用。設(shè)具有平行平面場特征的電磁場場域D ,

12、 如圖 1 所示 , 為一由閉合邊界 L 所界定的平面域，其定解條件可表述為222uu3.5)3.6)u x, y 22 F x, y x, y Dxyu x,y L f x,y對于所給定的偏微分方程定解問題，應(yīng)用有限差分法，首先需從網(wǎng)格剖分著手決定離散點(diǎn)的分布方式。原則上， 可以采用任意的網(wǎng)格剖分方式，但這將直接影響所得差分方程的具體內(nèi)容，進(jìn)而影響解題的經(jīng)濟(jì)性與計(jì)算精度。為簡化問題， 通常采用完全有規(guī)律的分布方式，這樣在每個離散點(diǎn)上就能得出相同形式的差分方程，有效地提高解題速度，因而經(jīng)常采用正方形的網(wǎng)格的剖分方式。現(xiàn)即以這種正方形網(wǎng)格剖分場域D ，也就是說，用分別與x, y兩坐標(biāo)軸平行的兩簇

13、等距網(wǎng)格線來生成正方形網(wǎng)格，即 TOC o 1-5 h z xxiih(i 0, 1, 2)y y j jh(j 0, 1, 2)h 為步長，網(wǎng)格線的交點(diǎn)O xi , yj 稱為節(jié)點(diǎn)， 這樣 D 域就離散化為由網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)標(biāo)成的離散點(diǎn)得集合。對場域 D 中節(jié)點(diǎn) O xi , yj 是一典型節(jié)點(diǎn)，它與周圍的1， 2， 3 和 4 點(diǎn)構(gòu)成一個對稱星型。設(shè)這些離散點(diǎn)上待求函數(shù)的近似值記為y1 正方形網(wǎng)格劃分u0 u(i, j)， u1 u(i 1, j)，u2u(i,j 1) ， u3 u(i 1, j)，u4u(i, j 1)則式(6)可近似離散化為12 u(i 1,j) 2u(i,j) u(i 1,

14、j)12 u(i,j 1) 2u(i, j) u(i, j 1) F ( 3.7)hh即2u(i 1,j) u(i,j 1) u(i 1,j) u(i,j 1) 4u(i,j) h2F ( 3.8)若式(6) F =0, 則節(jié)點(diǎn) O上函數(shù) u 的值等于其四周相鄰點(diǎn)函數(shù)值的平均。因?yàn)椴罘址匠?7) ， ( 8)只出現(xiàn)待求函數(shù)u 在點(diǎn) O xi , yj 及其四個臨近點(diǎn)的值，故稱之為五點(diǎn)差分格式6 ，根據(jù)差分方程組解出各離散點(diǎn)處的待求函數(shù)值。3.2 有限元法傳統(tǒng)的變分法在20 世紀(jì)二三十年代為其新型時期，理論上發(fā)展很快，各種變分問題的最后求解都可歸結(jié)為解尤拉方程的邊值問題，然而只有在一些特殊情況下

15、尤拉方程才能求出精確解，在大多數(shù)情況下，尤拉方程的精確解無法求出。四五十年代，隨著計(jì)算機(jī)的出現(xiàn)，使其在實(shí)際應(yīng)用中逐漸為比較靈活、通用的有限差分法所替代。但是， 有限差分法在理論上沒有以變分原理為基礎(chǔ)，因而其收斂性和數(shù)值穩(wěn)定性往往得不到保證。隨后發(fā)展形成的有限元法正是變分法與有限差分法相結(jié)合的成果，它取長補(bǔ)短地在理論上以變分原理為基礎(chǔ)，在具體方法構(gòu)造上又利用了有限差分法網(wǎng)格離散化處理的思想7 。有限元法的基本原理有限元法是以變分原理為基礎(chǔ)，將要求解的微分方程型數(shù)學(xué)模型邊值問 題，首先轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的變分問題，即泛函求極值問題；然后，利用剖分插值將變分問題離散化為普通多元函數(shù)的極值問題，最終歸結(jié)為一組

16、多元的代數(shù)方程組，求解該方程組，從而獲得邊值問題的數(shù)值解。泛函、變分問題簡介在微積分學(xué)形成初期，以數(shù)學(xué)物理問題為背景，與多元函數(shù)的極值問題相對應(yīng)，已在幾何、 力學(xué)上提出了若干個求解泛函極值的問題。如圖 2 中的質(zhì)點(diǎn)最速降線問題所述，質(zhì)點(diǎn) A從定點(diǎn)(x1,y1)自由下滑到定點(diǎn)B(x2,y2)，試求使滑行時間最短的質(zhì)點(diǎn)下滑軌道y y(x)。2 最速降線問題ds所需時間為ds sec dx 1 y 2dx dtv 2gy 2gyTx2J y(x) Ty(x) dt 0 x11 y2dx2gy3.9)滑行總時間為( 3.9)式J Jy(x)不僅取決于積分端點(diǎn)x1和 x2，而且取決于y y(x)的選取。

17、J 取決于 y(x)，所以 J 是函數(shù) y(x)的函數(shù)，稱之為y(x)的泛函，記作Jy(x)。于是所述之最速降線問題，在數(shù)學(xué)上就歸結(jié)為研究泛函Jy(x) 的極值問題，即x21 y 2Jy(x)dx minx12gy( 3.10)y(x1) 0 y(x2 ) y2泛函的極值問題就稱為變分問題。對一般問題而言，可導(dǎo)出下列對應(yīng)于一個自變量 x、單個函數(shù)y(x)及其導(dǎo)數(shù)y (x)的已知函數(shù)3.11)x2Jy F(x, y,y )dx x1式中 F 為x、 y和 y 的已知函數(shù) 。是一個或幾個函數(shù)所屬的函數(shù)族y(x)泛函 Jy的自變量不是一般的自變量，而x1 和 x2上分別等于給定值的無數(shù)個 函數(shù) y(

18、 x)中，僅有一個y(x)能使定積分J y達(dá)到極小值，此函y(x)數(shù)稱為極值函數(shù)。 因此， 變分問題就在于尋求使泛函達(dá)到極值的該極值函數(shù)y(x)， 即分析研究泛函的極值問題。3.2.3 泛函的變分與尤拉方程泛函變分問題的經(jīng)典解法有兩種，一種稱之為直接解法，另一類是間接解法。直接解法是直接把泛函的極值問題近似地轉(zhuǎn)化為一般多元函數(shù)的極值問題，用有限維子空間中的函數(shù)去逼近無窮維空間中的極值函數(shù)，從而近似求得泛函的極值。間接解法是將變分問題轉(zhuǎn)化為尤拉方程(微分方程)的定解問題，即邊值問題來求解。以式(3.11)這種最簡形式來推導(dǎo)尤拉方程。設(shè)函數(shù)y(x)稍有變化，記作yy，y稱之為 y(x)的變分，它反

19、映了整個函數(shù)的變化量。這樣泛函Jy的值也應(yīng)隨之變動，相應(yīng)于變分y的泛函增量為x2J Jy y Jy F(x,y y,y y) F(x, y, y)dx ( 3.12) x1將(3.12)式由多元函數(shù)的泰勒公式展開J Fy yyF y 21 2yF2 (y)22F2F2 F y yF2 ( y )2dxyyyJ 2J3J( 3.13)式中作為泛函增量J 的線性主部為x2 FFJ y y dx( 3.14)x1yyJ 稱為泛函Jy 的一次變分(簡稱變分)。 而 2 J 、3J , 分別是函數(shù)變分 y 及其導(dǎo)數(shù)y 的二次、三次齊次式, 等的積分，依次稱為二次變分，三次變分 , 令變分問題的解為y y

20、(x)，且設(shè)極值解y y(x) 稍有變動y y，令y (x)( 3.15)式中 為任意給定的微量實(shí)參數(shù)，值就確定了y y(x, )函數(shù)族中的某一曲 線 ， 進(jìn) 而 確 定 泛 函 Jy(x, ) 之 值 ； 而 (x) 是 定 義 于 區(qū) 間 x1,x2 且 滿 足x1x20 齊次邊界條件的可微函數(shù)。于是泛函J y = J y x, =就成為變量的函數(shù)，且當(dāng)0時獲極值函數(shù)的解。( )在0時取得極值的必要條件是 TOC o 1-5 h z x2FF（ ） 0（0）y y dx 0 x1yy利用分部積分，并根據(jù)變分與微分順序可互換原理，（ 3.16）式可寫為x2 FdFx （） ydx 0 x1y

21、dx y3.17）對任意y均成立，故有F d（ F） 0（ 3.18）y dx y方程（3.18）就稱為泛函（3.11）的極值問題的尤拉方程。綜上所述，有限元法的基本特點(diǎn)是：（ 1）離散化過程保持了明顯的物理意義。這是因?yàn)椋兎衷砻枋隽酥湮锢憩F(xiàn)象的物理學(xué)中的最小作用原理（如力學(xué)中的最小勢能原理、靜電學(xué)中的湯姆遜定理等）。2） 優(yōu)異的解題能力。與其他數(shù)值計(jì)算方法相比較，有限元法在適應(yīng)場域邊界幾何形狀，以及媒質(zhì)物理性質(zhì)變異情況復(fù)雜的問題求解上，有突出的優(yōu)點(diǎn)。3）從數(shù)學(xué)理論意義上講，有限元法作為應(yīng)用數(shù)學(xué)的一個重要分支，很少有其他方法應(yīng)用的這樣廣泛。它使微分方程的解法和理論面目一新，推動了泛函分析

22、與計(jì)算方法的發(fā)展。3.3 矩量法矩量法， 是近年來在天線、微波技術(shù)和電磁波散射等方面廣泛應(yīng)用的一種方法。 從這些實(shí)際問題涉及開域、激勵場源分布形態(tài)較為復(fù)雜等特征出發(fā)，矩量法是將待求的積分方程問題轉(zhuǎn)化為一個矩陣方程的問題7 ，借助于計(jì)算機(jī)，求得其數(shù)值解， 從而在所得激勵源分布的數(shù)值解基礎(chǔ)上，即可算出輻射場的分布及其波阻抗等特性參數(shù)。矩量法的基本原理先選定基函數(shù)對未知函數(shù)進(jìn)行近似展開，代入算子方程，再選取適當(dāng)?shù)臋?quán)函數(shù)，使在加權(quán)平均的意義下方程的余量等于0，由此將連續(xù)的算子方程轉(zhuǎn)換為代數(shù)方程。 原則上， 矩量法可用于求解微分方程和積分方程，但用于微分方程時所得到的代數(shù)方程組的系數(shù)矩陣往往是病態(tài)的，故

23、在電磁場問題中主要用于求解積分方程。加權(quán)余量法設(shè)給定邊值問題的場方程統(tǒng)一表述為如下的算子方程，即L(f) gs1 us rb3.20)s2 qs rb3.21)其中 : L 是線性算子, f 是待求函數(shù), g 是已知的源。若 u為精確解，則方程(3.19)和邊界條件( 3.20),( 3.21)應(yīng)該完全滿足。但大多數(shù)情況下，不能得到u 的精確解，只能通過數(shù)值方法進(jìn)行估計(jì)。構(gòu)造一個由有限個線性無關(guān)函數(shù)Ni ( i =1, 2, , , n )所組成的基函數(shù)集合N ，借以展開待求函數(shù)u 的近似解為nuN i uiN T u( 3.22)i1將 u代入式( 3.19)中必然存在誤差，即R uLu g

24、(3.23)取一個歸屬于試探函數(shù)的權(quán)函數(shù)集合W ，令Wj Lu g dV 0 ( j =1, 2, , , n)( 3.24)v式 (3.24)由 n個方程構(gòu)成的方程組，它等價于人為地強(qiáng)制近似解u，使其因不能精確地滿足場方程而導(dǎo)致的誤差在平均的含義上等于零。按式( 3.24)展開，所構(gòu)成的各種求解積分或微分方程近似解的方法可被統(tǒng)稱為加權(quán)余量法8 。 因?yàn)榘唇o定權(quán)函數(shù)Wj展開式的式(3.24)，即意味著余量R Lu g 對 Wj 取矩的一組平衡式，故式( 3.24)的構(gòu)造亦就被稱為矩量法?；诩訖?quán)余量式( 3.24)，進(jìn)行移項(xiàng)處理，便得vWjLudVvWj gdV( j =1, 2, , , n

25、)( 3.25)nnWjLNiui uivi1i1WjL Ni dV3.26)將式 (3.22)代入式 ( 3.25)的左端，有n為了書寫方便，令ui WjL Ni dV Wj,L Ni和WjgdV Wj, gi1 vv代入 （ 3.26）式，則可寫成nui WjL Ni dVWj,gj 1,2, n（ 3.27）i1 v這樣，即展開成含n個未知數(shù)ui的n個方程。若用矩陣形式表示，則有l(wèi) u g（ 3.28）綜上所述，矩量法的特點(diǎn)是：矩量法將連續(xù)方程離散化為代數(shù)方程組, 既適用于求解微分方程, 又適用于求解積分方程。它的求解過程簡單, 求解步驟統(tǒng)一應(yīng)用起來比較方便，然而需要一定的數(shù)學(xué)技巧, 如

26、離散化的程度、基函數(shù)與權(quán)函數(shù)的選取, 矩陣求解過程等。另外必須指出的是, 矩量法可以達(dá)到所需要的精確度、 解析部分簡單, 可計(jì)算量很大, 即使用高速大容量計(jì)算機(jī), 計(jì)算任務(wù)也很繁瑣。4 電磁場數(shù)值計(jì)算的應(yīng)用前景電磁場數(shù)值計(jì)算方法近六十年來發(fā)展如此之快，除由于從事這方面的科研人員的努力之外，主要是其研究成果迅速被電機(jī)、電器、變壓器、加速器、微波器件、計(jì)算機(jī)磁頭等領(lǐng)域采用9 ，對改善產(chǎn)品性能、降低生產(chǎn)成本，起著越來越大的作用。眾所周知，任何電磁器件，包括國民經(jīng)濟(jì)中應(yīng)用極其廣泛的電機(jī)與變壓器，其能量轉(zhuǎn)換都是通過電磁場來實(shí)現(xiàn)的。但傳統(tǒng)的電磁產(chǎn)品的設(shè)計(jì)方式由于客觀條件與手段的限制，把場的實(shí)際分布參數(shù)當(dāng)作

27、集中參數(shù)處理，不可避免地帶來相當(dāng)大的誤差。在迫不得已的情況下，只能用模擬、實(shí)驗(yàn)等方法處理，其耗費(fèi)大、周期長，可借鑒的經(jīng)驗(yàn)不多，而實(shí)驗(yàn)的模擬也不都是有條件的，此外，工農(nóng)業(yè)和日常生活中所用電磁裝置越來越多，生產(chǎn)和銷售競爭劇烈，因此有效的設(shè)計(jì)方法顯然受到重視。在采用電磁場數(shù)值計(jì)算以前的任何方法，即使是十分精巧的代數(shù)解析方法，也只能適用于特別簡單的幾何結(jié)構(gòu)以及一些特殊的假定模型，有時模型甚至簡化到不能容忍的程度，但除此之外別無它法。因?yàn)閷?shí)際的電磁場問題，特別是電機(jī)電磁場， 其邊界情況十分復(fù)雜，加上鐵的飽和以及導(dǎo)體中的渦流效應(yīng)，解析方法是無能為力的。而數(shù)值方法可以模擬復(fù)雜的形狀，可以適應(yīng)非線性問題，可以

28、進(jìn)行渦流的分布計(jì)算。電磁場的數(shù)值計(jì)算與流體力學(xué)分析、溫度分析、機(jī)械應(yīng)力分析、電磁力分析和生產(chǎn)計(jì)劃等等有機(jī)聯(lián)系起來，由計(jì)算機(jī)完成全部設(shè)計(jì)，構(gòu)成所謂CAE 10系統(tǒng)( Computer Aided Engineering) 。 CAE 系統(tǒng)基本可包括設(shè)計(jì)與制造的全部過程，產(chǎn)品的設(shè)計(jì)、制造方案、準(zhǔn)備零件、草圖、計(jì)算、成本核算、生產(chǎn)、機(jī)床數(shù)控和試驗(yàn)、 模擬和產(chǎn)品的自動測試都可能列入到CAE 系統(tǒng)中。 目前 CAE 系統(tǒng)在西方國家發(fā)展很快，估計(jì)每年增長40%，尤其在機(jī)械行業(yè)中，形成了所謂CADMAT 即計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)、加工與試驗(yàn)。從長遠(yuǎn)觀點(diǎn)看，電磁場數(shù)值計(jì)算要發(fā)揮更實(shí)際的作用，必須與其他多種學(xué)科相結(jié)合以

29、形成CAE 系統(tǒng)， CAE 的發(fā)展必然給工業(yè)結(jié)構(gòu)上帶來巨大的變化。結(jié)束語數(shù)值計(jì)算是一門計(jì)算的藝術(shù)，電磁場的數(shù)值計(jì)算橫跨了多個學(xué)科，是數(shù)學(xué)理論、電磁理論和計(jì)算機(jī)應(yīng)用能力的完美組合。通過本次論文設(shè)計(jì)，我對差分、變分、泛函、加權(quán)余量法等數(shù)學(xué)知識有了深刻的認(rèn)識，掌握了有限差分法、有限元法、 矩量法的基本原理，并能進(jìn)行簡單的運(yùn)算。但若用數(shù)值計(jì)算方法解決復(fù)雜的電磁場問題，則在很大程度上依賴于數(shù)學(xué)知識及計(jì)算機(jī)編程能力，這就需要進(jìn)一步系統(tǒng)學(xué)習(xí)相關(guān)的理論知識。參考文獻(xiàn)文舸一計(jì)算電磁學(xué)的進(jìn)展與展望J 電子學(xué)報，1995， 23(10) ： 62-69 劉圣民電磁場的數(shù)值方法M 武漢：華中理工大學(xué)出版社，1991：

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31、值的計(jì)算J 計(jì)算數(shù)學(xué)，1995(3) ： 173-185 樓仁海，符果行， 袁敬閎 電磁理論 M 成都： 電子科技大學(xué)出版社，1996： 73-102 Electromagnetic numerical methodAbstract： Numerical calculation, which is widely used in many fields, such as electric, military affairs, economy, ecology, medical treatment, astronomy, geology and so on is a method of getti

32、ng the numerical approximate solution in the studying and solving of mathematical problems. This paper reviews the development history and classification of the electromagnetic numerical calculation, and explicitly introduces three typical numerical calculation methods -the finite difference method, the finite element method, and the moment method. Besides, it also giv