矩陣的特征值與特征向量的理論與應用-安徽工程大學畢業(yè)設計（論文）

1、引言眾所周知，矩陣理論在歷史上至少可以追溯到Sylvester與Cayley，特別是Cayley1858年的工作。自從Cayley建立矩陣的運算以來，矩陣理論便迅速開展起來，矩陣理論已是高等代數(shù)的重要組成局部。近代數(shù)學的一些學科，如代數(shù)結構理論與泛函分析可以在矩陣理論中尋找它們的根源。另一方面，作為一種根本工具，矩陣理論在應用數(shù)學與工程技術學科，如微分方程、概率統(tǒng)計、最優(yōu)化、運籌學、計算數(shù)學、控制論與系統(tǒng)理論等方面有著廣泛的應用。同時，這些學科的開展反過來又極大地促進了矩陣理論的開展。特征值與特征向量是矩陣理論中既具有根本理論意義，又具有重要應用價值的知識，與矩陣理論的其它知識也有著密切的聯(lián)系

2、?？梢哉f，特征值與特征向量問題是矩陣理論的根本核心問題。因此，掌握這方面的知識對于培養(yǎng)新的高素質(zhì)科技人才來說是必備的非常重要的。矩陣是高等代數(shù)課程的一個根本概念是研究高等代數(shù)的根本工具。線性空間、線性變換等，都是以矩陣作為手段，由此演繹出豐富多彩的理論畫卷。求解矩陣的特征值和特征向量，是高等數(shù)學中經(jīng)常碰到的問題。一般的線性代數(shù)教材中，都是先計算特征多項式，然后求得特征值，再通過解線性方程組得到對應的特征向量。特征多項式和特征根在整個矩陣理論體系中具有舉足輕重的作用，并且在于生活現(xiàn)實中的應用也很廣泛?！疤卣饕辉~來自 HYPERLINK ://wiki/%E5%BE

3、%B7%E8%AF%AD o 德語 德語的eigen，由 HYPERLINK ://wiki/%E5%A4%A7%E5%8D%AB%C2%B7%E5%B8%8C%E5%B0%94%E4%BC%AF%E7%89%B9 o 大衛(wèi)希爾伯特 希爾伯特在1904年首先在這個意義下使用 HYPERLINK ://wiki/%E8%B5%AB%E5%B0%94%E6%9B%BC%C2%B7%E5%86%AF%C2%B7%E4%BA%A5%E5%A7%86%E9%9C%8D%E5%85%B9 o 赫爾曼馮亥姆霍茲 亥爾姆霍爾茲在更早的時候也在類似

4、意義下使用過這一概念。eigen一詞可翻譯為“自身的，“特定于.的，“有特征的或者“個體的，這強調(diào)了特征值對于定義特定的變換上是很重要的。 矩陣特征值是高等代數(shù)研究的中心問題之一，也是碩士研究生招生考試的熱點.而且在自然科學如物理學、控制論、彈性力學、圖論等和工程應用如結構設計、振動系統(tǒng)、矩陣對策的研究中也同樣離不開矩陣特征值問題,因而對其研究具有重要的理論和應用價值。隨著計算機的迅速開展，現(xiàn)代社會的進步和科技的突飛猛進，高等代數(shù)作為一門根底的工具學科已經(jīng)向一切領域滲透，它的作用越來越為世人所重視。在多數(shù)高等代數(shù)教材中，特征值與特征向量描述為線性空間中線性變換的特征值與特征向量；而在大局部線性

5、代數(shù)教材中,特征值與特征向量的討論被作為矩陣理論研究的一個重要組成。矩陣的特征值應用于生活中的，為生活各類問題解決，創(chuàng)立有效的數(shù)學模型提供了有效的工具，為解決問題提供有效的方法。矩陣的特征值與特征向量是數(shù)學與其它科學研究的根底和工具。學習和研究數(shù)學，聯(lián)系實際，通過數(shù)學的工具來解決生活上問題。離開數(shù)學別的科學研究是寸步難行的，所以我們必須重視數(shù)學，深入研究矩陣特征值與特征向量，從而促進所有科學的開展。第1章 緒論及意義矩陣是數(shù)學中重要的一個根本概念之一，是代數(shù)中的一個主要研究對象，也是數(shù)學研究和應用的一個極其重要的工具。矩陣特征值與特征向量問題是矩陣理論中的重要組成局部，它在高等代數(shù)與其他科技領

6、域中占有非常重要的位置。同時它又貫穿了高等代數(shù)中的方方面面，對該課題的研究加深了我們對高等代數(shù)中各個局部的認識，從而使我們能更深刻的了解高等代數(shù)中的相關理論。對矩陣特征值與特征向量理論研究及其應用探究，不僅僅提高高等代數(shù)以及相關課程的理解有很大的幫助，而且在理論上也非常重要，可以直接用它個數(shù)學分支，矩陣的特征值與特征向量的應用是表達在多方面的，不僅僅在數(shù)學領域里，而且在力學、物理、科技方面都有十分廣泛的應用。在此之前已有很多專家學者都涉足此領域研究該問題。湯正華在2021年發(fā)表的?關于矩陣的特征值與特征向量的探討?討論了矩陣的特征值與特征向量的定義、性質(zhì)；特征值與特征向量的求法等問題。李延敏在

7、?關于矩陣的特征值與特征向量同步求解問題?中通過對矩陣進行行列互換，同步求出矩陣特征值與特征向量，解決了不少帶參數(shù)求特征值問題，并給出一些新定理。邵麗麗在2006年?矩陣的特征值和特征向量的應用研究?中通過對階矩陣的特征值與特征向量的研究，針對階矩陣的特征值與特征向量的應用進行了3方面的探討，并給出了相關命題的證明及相應的例題。向以華在?矩陣的特征值與特征向量的研究?對矩陣特征值與特征向量相關問題進行系統(tǒng)的歸納，得出了通過對矩陣進行行列互逆變換就可同時求出特征值與特征向量的結論，同時討論了反問題。汪慶麗在?用矩陣的初等變換求矩陣的特征值與特征向量?中研究了一種只對矩陣作適當?shù)某醯刃凶儞Q就能求到

8、矩陣的特征值與特征向量的方法，論證其方法的合理性，并闡述此方法的具體求解步驟。郭華、劉小明在?特征值與特征向量在矩陣運算中的作用?中從方陣的特征值與特征向量的性質(zhì)出發(fā)，結合具體的例子闡述了特征值與特征向量在簡化矩陣運算中所起的作用。王秀芬在?線性遞推關系中特征值與特征向量的應用?中推導出一種方法，通過此方法可以利用特征值與特征向量求線性遞推關系中的通項公式。馬巧云在?特征值法求解二次型的條件最值問題?中根據(jù)Lagrange 乘數(shù)法求解條件最值問題的原理，針對特殊的二次型條件最值問題，分析最值與特征值間的對應關系，給出二次型條件最值問題求解的特征值方法，并結合例子說明特征值方法求解的簡便及有效，

9、具有一定的應用價值。近年來，對矩陣特征值與特征向量的研究已經(jīng)很深入，本課題將對矩陣特征值與特征向量的相關問題進行系統(tǒng)的歸納。對矩陣的特征值與特征向量的根本性質(zhì)進行介紹，根據(jù)其性質(zhì)對矩陣特征值與特征向量的應用進行更深一步的探討。內(nèi)容及方法在前人的研究根底上，本文給出了特征值與特征向量的概念與性質(zhì)，特征值和特征向量性質(zhì)是最根本的內(nèi)容，特征值與特征向量的討論使這一工具的使用更加的便利，解決問題的作用更強有力，它的應用也就更加廣泛。在這根底上，對矩陣特征值與特征向量的計算進行了詳盡的闡述和說明。利用特征方程來求特征值進而求特征向量法、列行互逆變換法以及矩陣的初等變換求特征值與特征向量。由于矩陣特征值與

10、特征向量的應用是多方面的，本文重點介紹對特征值與特征向量應用的探究,闡述了特征值與特征向量在矩陣運算中的作用，利用特征值法求解二次型最值的問題和反求解問題的應用，以及特征值與特征向量在其他方面的應用。在例題解析中運用了一些特征值與特征向量的性質(zhì)與方法，可以使問題更加簡單，在運算上更方便，是簡化有關復雜問題的一種有效的途徑。本文就是通過大量的例子來說明運用特征值和特征向量的性質(zhì)可以使問題更清楚，從而使高等代數(shù)中大量習題迎刃而解，也把特征值和特征向量在解決實際問題中的優(yōu)越性表現(xiàn)了出來。 第2章 特征值與特征向量的概念特征值與特征向量的定義和性質(zhì)定義1：設是數(shù)域上線性空間的一個線性變換，如果對于數(shù)域

11、中一數(shù)，存在一個非零向量，使得那么稱為的一個特征值，而稱為的屬于特征值的一個特征向量.2.1.2 階方陣的特征值與特征向量定義2：設是階方陣，假設存在數(shù)和維向量，使得成立，那么稱為的特征值，是對應于特征值的的特征向量.性質(zhì)1假設是的重特征值，對應于特征值有個線性無關的特征向量，那么.性質(zhì)2 假設都是矩陣的屬于特征值的特征向量,那么當不全為零時, 仍是對應于特征值的的特征向量性質(zhì)3 假設是矩陣中互不相同的特征值，其對應特征向量分別為，那么是線性無關的性質(zhì)4 假設的特征值為，那么，性質(zhì)5 實對稱矩陣的特征值都是實數(shù)，屬于不同的特征值的特征向量正交2.2 中線性變換的特征值、特征向量與矩陣的特征值、

12、特征向量之間的關系 定理:設是的一組基,1的特征值必是的特征值，的屬于的特征向量，那么必是的屬于特征值的特征向量.2設是的一個特征值，且，那么是是的一個屬于特征值的一個特征向量，那么是的一個屬于的特征向量.證明：1設是的特征值，于是有使得，其中，設，那么，又，所以有，由他們的坐標列相等可得，所以其次線性方程組有非零解，于是，故是的特征多項式的根，即是的特征值，從而的坐標是的屬于的特征向量.2設是的一個特征值，且，于是有非零解，令，即，于是，故是的一個特征值，且是的屬于的特征向量.求數(shù)字方陣的特征值與特征向量由方陣的特征值和特征向量的定義知:是的屬于的特征向量 因為所以是齊次線性方程組的非零解，

13、所以是特征方程的根。 將上述過程逆敘得到求數(shù)字方陣的特征值和特征向量的步驟如下:(1) 計算的特征多項式；(2) 解特征方程,求出它的全部根 ,它們就是的全部特征值。(3) 對每一個特征值 ,求出齊次線性方程組的一個根底解系,這個根底解系便是的屬于的線性無關的特征向量,那么的屬于的全部特征向量是這個解系的非零線性組合: ,其中是不全為零的數(shù).例 設線性變換在下的矩陣是，求的特征值與特征向量.解：因為特征多項式為.所以特征值二重和5.把特征值代入齊次方程組得到它的根底解系是，.因此屬于的兩個線性無關的特征向量就是，.而屬于的全部特征向量就是，取遍數(shù)域5代入，得到它的根底解系是，因此，屬于5的一個

14、線性無關的特征向量就是，而屬于5的全部特征向量就是，是數(shù)域中任意不等于零的數(shù).行列互逆變換法解特征值與特征向量為了定理的表達方便，先給出一個定義.定義1.把矩陣的以下三種變換稱為列行互逆變換:1 . 互換i、j兩列,同時互換j、i兩行；2 . 第i行乘以非零數(shù)，同時第j列乘；3 . 第 i行倍加到第 j行，同時第 j列倍加到第 i列 .定理1 為n階可對角化矩陣，并且其中，那么為的全部特征值，為的對應的特征向量.證明：由行初等變換等價于左乘初等矩陣，列變換等價于右乘初等矩陣的性質(zhì)及行列互逆變換的定義知，為假設干初等矩陣的乘積，當然可逆，且，即，所以.因為，所以，那么，所以因此，該方法求出的為的

15、特征值，為的對應特征值的特征向量 為了運算上的方便，這里約定： 1.表示矩陣的第j行倍參加第i行； 2.表示矩陣的第j列的倍參加第 i 列 由于用定理1求解時，總會遇到形如 或形式的矩陣化對角陣問題，為此給出具體方法：或 ，其中.那么為的分別對應特征值和的特征向量； 為的分別對應特征值和的特征向量.例求的特征值與特征向量.解： 所以，特征值；特征向量分別為.例求的特征值與特征向量.解： . 所以，特征值分別為；特征向量分別為，.下面給出定理1的推廣定理.定理2. 為任意階方陣，假設，其中為約當矩陣，為約當標準形. ，那么為的特征值；為的對應特征值的特征向量.證明：由一般代數(shù)書中定理可知必相似于

16、一約當矩陣，按定理2中化簡方法，那么有，即，其中，所以，故有，所以為的特征值；為的對應的特征向量.例 求的特征值與特征向量.解：所以特征值為，對應特征值的特征向量，對應的特征向量為.利用矩陣的初等變換解特征值特征向量引理 矩陣為矩陣，分別是m和n階可逆矩陣，那么.由此可知，假設，且為n階單位矩陣，那么形如的矩陣必可經(jīng)過一系列變換成的形式，其中為矩陣且，分別為和矩陣，為零矩陣，從而有定理1 設為矩陣，其秩，那么比存在n階可逆矩陣，使，且的個列向量就是齊次線性方程組的根底解系.證明： 此處只需證明的列向量是的根底解系即可. 事實上，由得，即，從而，.這說明的個列向量是齊次線性方程組的解向量. 另設

17、矩陣的列向量為，那么由知向量組即為的列向量，因可逆，所以向量組線性無關，因此的列向量就是的根底解系.例 組的一組根底解系.解：利用初等列變換，得 從而，所求根底解系為.定理2. 設為階方陣，那么其特征矩陣可通過初等列變換化為下三角矩陣，記為，從而使的解就是矩陣的全部特征值.證明：由初等變換理論，存在n階可逆矩陣，使，由此得.從而使的解就是的解.這樣，由定理1和定理2可以得到同時求解方陣的特征值與特征向量的一種解法：第一步，作如下初等變換：，并由求得矩陣的特征值.第二步，將代入，那么有或. 因為，所以由定理1即知的列向量就是的對應于特征值的線性無關的特征向量.例 求矩陣的特征值與特征向量.解：所

18、以，由得矩陣的特征值為. 將代入，得. 所以對應于的特征向量為 ( 此處二重特征值只對應一個線性無關的特征向量). 將代入，得. 所以對應于的特征向量為. 這里用初等列變換的方法同時求出來矩陣的特征值與特征向量，完全類似地，利用初等行變換也可以實現(xiàn)這一過程，其方法如下： (1) 對矩陣施行初等行變換將其化為矩陣，其中為含有的上三角矩陣，為經(jīng)過初等變換得到的矩陣； (2) 由行列式求得矩陣的特征值； (3) 將代入中，假設不是行標準形， 那么通過初等行變換將其化為行標準型，并記秩， 那么中的后個行向量的轉(zhuǎn)置就是對應的特征向量 例 征值與特征向量.解：因為特征矩陣，所以 從而由即求得的特征值為二重

19、和. 當時，所以，且的后兩行的轉(zhuǎn)置即為對應的特征向量，即. 當時，所以，且的最后一行的轉(zhuǎn)置即為對應的特征向量，即.第3章 特征值與特征向量的根底應用3.1 特征值與特征向量在線性遞推關系中的應用用特征值和特征向量對一般線性遞推關系進行討論.設階線性循環(huán)數(shù)列滿足遞推關系：其中是常數(shù)，且，方程組可表示為矩陣形式 1令 那么1可寫成： 2由2式遞推得，其中，于是求通項就歸結為求，也就是求. 如果可對角化，即存在可逆矩陣，使得，那么，由于 從第一列開始每一列乘以加到后一列上，就得到如下的矩陣： 假設是的特征值，顯然有，那么線性齊次方程組的根底解系中只含有一個解向量，因此當有個特征值時，這個特征值對應的

20、特征向量分別為，由這個特征向量為列構成的方陣記為，那么是可逆的，并且.其中例 設數(shù)列滿足遞推關系：，并且，求通項.解：是三階循環(huán)數(shù)列，將方程組用矩陣表示為：，令并由上式遞推得其中由，即得的特征值為：再由特征方程解得對應于的特征值的特征向量分別為：令：那么代入2式得： 例 計算n階行列式解：將按第一行展開得：其中與分別是元素和的余子式，再將它們分別按第一列展開得：那么是三階線性循環(huán)數(shù)列.將方程組表示成矩陣形式為：令由上式遞推得： 3由解得的特征值為，再由特征方程，解得對應于的特征值的特征向量分別為：令那么由3式可得：將代入上式得：3.2 矩陣特征值反問題方面的應用有n個互不相等的特征值時，必有n

21、個線性無關的特征向量，那么矩陣必可對角化，故，其中相似變換矩陣由的n個線性無關的特征向量組成.例.設3階方陣的特征值為，對應于特征向量分別是：，求 分析 此題給出了矩陣的3個不相同的特征值及其特征向量.那么矩陣可對角化，顯然是矩陣特征值的反問題，可按上面討論的方法求之.解： 由于是方陣對應于特征值的特征向量，于是有：，令，那么那么有，其中.由上式可得即為所求.3.3 特征值法求解二次型的條件最值問題3.3.1 二次型的條件最值問題及求解該問題的特征值方法二次型的條件最值問題是一類特殊的多元函數(shù)極值問題 定義 設有滿足條件的n個變量，當存在變量的一組值，使或時，稱為最大或最小值.特征值法原理定理

22、1 二次型在條件下的最大值最小值恰是其實數(shù)特征值中最大值最小值的c倍.證明：利用拉格朗日數(shù)乘法，先作拉格朗日函數(shù)，其中：為參數(shù)，再令其關于的一階偏導數(shù)為0，得 1由于，所以1可化為 2這是一個齊次線性方程組由于，所以不全為0，從而2有非零解，即該方程的系數(shù)行列式為0，于是， 3所以是系數(shù)矩陣的特征值.又依次用分別乘1再相加得，又，因此.特別地，二次型在條件下的最大值最小值恰是二次型實特征值中的最大值最小值.定理2 二次型在條件下的最大值最小值是二次型正數(shù)特征值倒數(shù)中的最大值最小值的k倍；當特征值為0時，在條件下沒有最大值，最小值為最大正數(shù)特征值倒數(shù)的k倍.證明：作拉格朗日函數(shù)，令其關于的一階偏

23、導數(shù)為0，得 ， 4接下來證明參見定理1，直到是分別乘4再相加得，又由于，因此，.由于隨正數(shù)特征值的減小而增大，且當時，的極限不存在，所以不存在最大值，而其最小值那么是最大整數(shù)特征值倒數(shù)的k倍，證畢.特別地，二次型在條件下的最大值最小值是二次型正特征值倒數(shù)中的最大值最小值.特征值方法的求解步驟：根據(jù)定理1和定理2，只要知道二次型的特征值，就可以知道或者在特定條件下的最大和最小值了，因此應用特征值方法求解二次型條件最值問題是方便的，其步驟可歸結為：1判定問題確實屬于定理所描述的二次型條件最值問題；2求二次型的特征值；3根據(jù)定理寫出二次型或者在特定條件下的最大和最小值.3.3.2 應用舉例例4.5

24、.2.1求在時的最值.解：二次型的特征方程為解得特征值為10,1,1，根據(jù)定理1可知，在時的最大和最小值分別為70和7.例 在時的最值.解：二次型的特征方程為，的特征值為3,3,0，根據(jù)定理1可知，在時的最大值和最小值0和15.例 求在時的最值.解： 二次型的特征方程為的特征值為3,3,0，根據(jù)定理2可知，在是的最小值為，最大值不存在.3.4 特征值與特征向量在矩陣運算中的作用 3.4.1 特征值與特征向量在矩陣運算中使用的性質(zhì)性質(zhì)1.設為n階方陣，為的n個特征值，那么.性質(zhì)2.方陣可逆的n個特征值都不為零.性質(zhì)3.設為方陣的特征值，為的多項式，那么為的特征值.性質(zhì)

25、4. 不為方陣的特征值.性質(zhì)5.凱萊哈密頓定理設的特征多項式為，那么.性質(zhì)6.設n階方陣的n個特征值為，且為對應的n個線性無關的特征向量，記，那么.性質(zhì)7.設為n階實對稱矩陣，是它的n個特征值，那么當且僅當都大于零時，正定；當且僅當都小于零時，負定；當且僅當都非負，但至少一個等于零時，是半正定；當且僅當都非正，但至少一個等于零時，是半負定；當且僅當中既有正數(shù)，又有負數(shù)時，是不定的.3.4.2 特征值與特征向量在矩陣運算中的應用1.求方陣的行列式以及的多項式的行列式.例.1.三階矩陣的特征值為1，-1,2，設，求 (1) ；(2) ; (3) .解：(1) 由性質(zhì)1可得； (2) 因，由性質(zhì)3可

26、知的特征值為，.故.(3)的特征多項式為，令，得.2判斷方陣及的可逆性例.設，問當k為何值時，可逆.解：因，故，為的三個特征值，由性質(zhì)4可知，當時，可逆.例.4設矩陣滿足，證明可逆.證明 設，那么，因，即有，即，而，只有，于是，可知3不是的特征值，所以，即可逆.3.求方陣，的逆矩陣及的k次冪例.5.設，求(1) ; (2) ; (3).解：(1) ,由性質(zhì)5有，故 (2) 由，可知0不是的特征值，由性質(zhì)2知，故 (3) ，故.例.6 設3階方陣的特征值為；對應的特征向量依次為，.求k為大于1的正數(shù).解：因線性無關，記，由性質(zhì)6有所以，故于是當k為偶數(shù)時，；k為奇數(shù)時，.例.7.設

27、3階實對稱矩陣的特征值為6,3,3與特征值6對應的特征向量為，求.解：設對應于3的特征向量為，因?qū)崒ΨQ的不同特征值下的特征向量正交，即有，即的分量滿足.又因特征值3的重數(shù)為2，所以對應于3恰有兩個線性無關的特征向量，顯然的根底解系就是對應于3的兩個線性無關的特征向量. 由得它的一個根底解系為. 令，由性質(zhì)6有.故4求方陣的多項式.例.8 設，計算.解：，而顯然.由性質(zhì)5可知，所以5判斷實對稱的正定性.例.9. 設n階實對稱矩陣正定，那么存在矩陣，使，且也是正定矩陣.證明：因為為實對稱矩陣，故存在正交矩陣，使，其中為正定，故有.于是 第4章 特征值與特征向量在其他方面的應用研究與探討 HYPER

28、LINK l _Toc292902497 特征值與特征向量在力學中的應用特征值和特征向量是線性代數(shù)中的重要內(nèi)容之一，在力學中有3 處要運用這些知識，第一處是運用在求主應力和主方向中，第二處運用在求結構的動力學問題的固有頻率和振型中，第三處是運用在求結構屈曲臨界力中。力學對數(shù)學有很大的依賴性，沒有學好數(shù)學想要成為力學家是很難想象的。甚至可以說沒有學好數(shù)學就無法學好工科的其他課程。所以，作者要求自己大學一年級的學生一定要學好數(shù)學。像線性代數(shù)、微積分、空間解析幾何等知識在力學中無處不有。下面以特征值和特征向量知識在力學中的運用為例做一介紹。4.1.1 特征值和特征向量知識在求主應力和主方向中的運用某

29、一點的應力狀態(tài)由6個應力分量決定，可以寫成應力矩陣的形式 (1)如果能將式(1) 中的非對角線元素變?yōu)?，這時剪應力為0，根據(jù)主應力的定理：某一個面上只有正應力而無剪應力時，這個正應力為主應力。式(1) 為實對稱矩陣，總是可以對角化，也就是說通過初等變換可以把應力矩陣變?yōu)槿缦聦蔷€矩陣 (2)式(2) 中的非對角線元素為剪應力，這時剪應力為0。因此，式(2) 中的對角線元素分別為第一、第二和第三主應力。求主應力就變?yōu)榍笠韵绿卣髦捣匠痰奶卣髦?(3)3 個特征值對應的特征向量是3 個主平面的法線方向，而根據(jù)不同的特征值對應的特征向量正交可知3 個主應力的方向是相互正交的。4.1.2 特征值和特征

30、向量知識在求結構動力學問題中的運用無阻尼多自由度系統(tǒng)的動力學微分方程總是可以寫成2 (4)其中， 為系統(tǒng)質(zhì)量矩陣，為系統(tǒng)剛度矩陣， 為位移列向量。求解式(4) 的廣義特征值方程為 (5)系統(tǒng)的固有頻率，每一個特征值對應一個特征向量，對特征向量進行歸一化就得到每一固有頻率對應的振型。如果系統(tǒng)剛度矩陣線性相關，那么系統(tǒng)存在剛體運動，存在固有頻率為零的情況。4.1.3 特征值和特征向量知識在求結構臨界屈曲力中的運用結構屈曲的特征方程為 (6)其中， 為系統(tǒng)剛度矩陣，為系統(tǒng)幾何剛度矩陣，為位移列向量。最小特征值min(載荷因子)，即為屈曲臨界載荷的表征。不同的特征值對應不同的特征向量，這個特征向量也可

31、叫屈曲模式。在教學實踐中，發(fā)現(xiàn)很多同學在學了材料力學后，很難記住材料力學中求二維問題的主應力公式，但是如果知道了求主應力就是求應力矩陣的特征值問題時，就能很快求出主應力和主應力的方向。在學習和教學的過程中，對知識點進行總結，要學會從全局出發(fā)，對知識進行串聯(lián)、串講。4.2 特征值與特征向量在經(jīng)濟分析中的應用4. 經(jīng)濟開展與環(huán)境污染的增長模型經(jīng)濟開展與環(huán)境污染是當今世界亟待解決的兩個突出問題.為研究某地區(qū)的經(jīng)濟開展與環(huán)境污染之間的關系，可建立如下數(shù)學模型：設分別為某地區(qū)目前的環(huán)境污染水平與經(jīng)濟開展水平，分別為該地區(qū)假設干年后的環(huán)境污染水平和經(jīng)濟開展水平，且有如下關系：令 那么上述關系的矩陣形式為

32、此式反映了該地區(qū)當前和假設干年后的環(huán)境污染水平和經(jīng)濟開展水平之間的關系.如 那么由上式得 一般地，假設令 分別為該地區(qū)年后的環(huán)境污染水平與經(jīng)濟開展水平，那么經(jīng)濟開展與環(huán)境污染的增長模型為令 那么上述關系的矩陣形式為 由此，有 由此可預測該地區(qū)年后的環(huán)境污染水平和經(jīng)濟開展水平.下面作進一步地討論： 由矩陣的特征多項式得的特征值為對，解方程得特征向量對，解方程得特征向量顯然, 線性無關下面分三種情況分析：Case 1 一個性質(zhì):假設是矩陣的屬于特征值的特征向,那么也是的屬于特征值的特征向量度 *由(*)及特征值與特征向量的性質(zhì)知，即 或 此式說明：在當前的環(huán)境污染水平和經(jīng)濟開展水平的前提下，年后，

33、當經(jīng)濟開展水平到達較高程度時，環(huán)境污染也保持著同步惡化趨勢。Case 2 不討論此種情況Case 3 不是特征值, 不能類似分析。但是可以由唯一線性表出來由(*)及特征值與特征向量的性質(zhì)即由此可預測該地區(qū)年后的環(huán)境污染水平和經(jīng)濟開展水平。因無實際意義而在Case 2中未作討論，但在Case3的討論中仍起到了重作用. 由經(jīng)濟開展與環(huán)境污染的增長模型易見，特征值和特征向量理論在模型的分析和研究中獲得了成功的應用。4.2 萊斯利Leslie種群模型 萊斯利種群模型研究動物種群中雌性動物的年齡分布與數(shù)量增長之間的關系。 設某動物種群中雌性動物的最大生存年齡為 (單位：年，將區(qū)間作等分得個年齡組，每個年

34、齡組的長度為設第個年齡組 的生育率即每一雌性動物平均生育的雌性幼體的數(shù)目為 ，存活率即第個年齡組中可存活到第個年齡組的雌性動物的數(shù)目與第 個年齡組中雌性動物的總數(shù)之比為令即為初始時刻該動物種群中雌性動物的年齡分布向量。取 設在時刻該動物種群的第個年齡組中雌性動物的數(shù)目為令那么即為時刻該動物種群中雌性動物的年齡分布向量。顯然，隨著時間的變化，該動物種群的各年齡組中雌性動物的數(shù)目會發(fā)生變化。易知，時刻該動物種群的第一個年齡組中雌性動物的數(shù)目等于在時段 內(nèi)各年齡組中雌性動物生育的雌性幼體的數(shù)目之和，即 又時刻該動物種群的第 個年齡組中雌性動物的數(shù)目等于 時刻第個年齡組中雌性動物的存活量，即 聯(lián)立2.

35、1和2.2得即 令萊斯利矩陣 那么2.4即為于是由此，假設初始時刻該動物種群中雌性動物的年齡分布向量，那么可計算出 時刻該動物種群中雌性動物的年齡分布向量，從而對該動物種群中雌性動物的數(shù)量作出科學的預測和分析。例31 設某動物種群中雌性動物的最大生存年齡為15年，且以5年為間隔將雌性動物分為3個年齡組0,5,5,10,10,15.由統(tǒng)計資料知，3個年齡組的雌性動物的生育率分別為0，4，3，存活率分別為0.5，0.25，0，初始時刻3個年齡組的雌性動物的數(shù)目分別為500，1000，500。試利用萊斯利種群模型對該動物種群中雌性動物的年齡分布和數(shù)量增長的規(guī)律進行分析。解：由2.6得 下面求由矩陣L

36、的特征多項式 得L的特征值為由矩陣可相似對角化。對 解方程組 得特征向量對，解方程組得特征向量對，解方程組得特征向量令矩陣 那么可逆，且 于是 從而兩邊取極限得于是，當k充分大時， 由此式知，在初始狀態(tài)下，經(jīng)過充分長的時間后，該動物種群中雌性動物的年齡分布將趨于穩(wěn)定，即3個年齡組中雌性動物的數(shù)目之比為 且時刻該動物種群的3個年齡組中雌性動物的數(shù)目分別為且其總和為 矩陣的特征值和特征向量理論在經(jīng)濟分析、生命科學和環(huán)境保護等領域都有著廣泛而重要的應用。在經(jīng)濟開展與環(huán)境污染的增長模型，萊斯利Leslie種群模型這兩種模型中，矩陣的特征值和特征向量也起著極其重要的作用。結論與展望矩陣是線性代數(shù)中的一個

37、重要局部，特征值與特征向量問題是矩陣理論的重要組成局部，特征值與特征向量有著許多具體的應用，本文通過查閱相關的資料并在指導老師的指導和建議下對特征值與特征向量原理進行了歸納總結.首先簡單的表達了特征值與特征向量的概念及其性質(zhì)，探究了特征值與特征向量的幾種解法，在此根底上重點介紹了特征值與特征向量的應用問題.如果知道矩陣的特征值和對應的特征向量求出矩陣的計算方法以及特征值與特征向量在線性遞推關系中的應用，利用矩陣的特征值與特征向量給出了遞推關系的一種解法。本文通過應用舉例說明了特征值在求解二次型的條件最值問題的應用，給出了特征值法原理，運用特征值法求二次型的條件最值問題.給出了特征值與特征向量在

38、矩陣運算中使用的性質(zhì)，并且舉例說明了特征值與特征向量在矩陣運算中的應用。運用一些特征值與特征向量的性質(zhì)和方法，可以使問題更簡單，運算上更方便，是簡化有關復雜問題的一種有效途徑。特征值與特征向量理論的應用是多方面的，不僅在數(shù)學領域，而且在力學、物理、科技方面都有十分廣泛的應用，值得我們深入探究。致 謝在此論文完成之際，謹向恩師萬老師表示最衷心的感謝，他給我提供了良好的科研工作環(huán)境。萬老師雖然有繁重的科研教學工作，但是仍抽出珍貴的時間給予我學術上的指導和幫助，從選題伊始至課題研究及至論文寫撰寫整個過程無不滲透著萬老師的心血。萬老師一絲不茍的工作作風，勤奮的工作態(tài)度，以及事業(yè)心、責任心，都給了我潛移

39、默化的人生教導，讓我受益匪淺。從他的身上我不僅學到了專業(yè)知識，更學到了許多做人做事的道理。在這里請允許我對四年來精心培養(yǎng)我的數(shù)理學院的全體老師謹致以深深的感謝與衷心的祝愿，愿數(shù)理學院的明天更美好。在課題完成的過程中，我得到了其他同學的幫助和指導，在此一并致以誠摯的謝意。還要感謝我的朋友們，是你們的陪伴讓我擁有了一路向前的決心，最終完成了此次畢業(yè)設計的全部內(nèi)容。感謝參加論文選題、評審和辯論的各位專家和學者對我論文的評閱和指導。 我還要感謝我的父母，你們是我的長輩，更是我的朋友。感謝你們對我學業(yè)、生活的支持、理解和寬容，你們是我最堅強的后盾。我一定會在今后的人生道路上更加努力拼搏，不辜負父母的期望

40、。最后，再次感謝所有給我關心和幫助的人們！作者簽名： 2021年06月 16日參考文獻1 湯正華. 關于矩陣的特征值與特征向量的探討J.山東行政學院山東省經(jīng)濟管理干部學院學報,2021(06):91-1082 李延敏. 關于矩陣特征值與特征向量同步求解問題J. 2004(08):20-313 趙院娥,李順琴. 矩陣的特征值與特征向量J.江西科學,2021(10):05-144 邵麗麗. 矩陣的特征值與特征向量的應用研究J.菏澤學院學報,2006:18-235 黃金偉.矩陣的特征值與特征向量的簡易求法J.福建信息技術教育,2007(04):34-456向以華.矩陣的特征值與特征向量的研究J.重慶

41、三峽學院學報,2021(03):105-1177 張紅玉. 矩陣特征值的理論及應用J. 山西大同大學學報(自然科學版),2021(02):15-018 王英瑛. 矩陣特征值和特征向量求法的探討J. 山東理工大學學報( 自然科學版),2021(05):45-509 夏慧明,周永權. 求解矩陣特征值及特征向量的新方法J. (廣西民族大學數(shù)學與計算機科學學院學報,2021(11):83-9310 郭華,劉小明. 特征值與特征向量在矩陣運算中的作用J.渝州大學學報( 自然科學版),2021(03):117-12411 岳嶸. 由特征值與特征向量確定矩陣的方法證明及應用J. 高等函授學報( 自然科學版)

42、,2007(06):26-3412 賢鋒. 最大特征值及特征向量的應用J. 閩江學院學報(自然科學版),2006(05):35-3913 王秀芬. 線性遞推關系中特征值與特征向量的應用J. 濰坊學院學報,2004(04): 36-4214 施勁松,劉劍平. 矩陣特征值、特征向量確實定J.2003(12):19-615 張霓. 矩陣特征值與特征向量的一些應用J. 中國科技信息,2007(04):67-7416 Advanced algebra M .BEIJING: Peoples education press，1987.附錄A 一篇引用的外文文獻及其譯文6.2 Definitions and

43、 examples(Eigenvalue,eigenvector) Let be a complex square matrix. Then if is a complex number and a nonzero complex column vector satisfying , we call an eigenvector of , while is called an eigenvalue of . We also say that is an eigenvector corresponding to the eigenvalue .So in the above example an

44、d are eigenvectors corresponding to and , respectively. We shall give an algorithm which starts from the eigenvalues of and constructs a rotation matrix such that is diagonal.As noted above, if is an eigenvalue of an matrix , with corresponding eigenvector , then , with , so and there are at most n

45、distinct eigenvalues of .Conversely if , then has a nontrivial solution and so， is an eigenvalue of with a corresponding eigenvector.(Characteristicpolynomial,equation)The polynomial is called the characteristic polynomial of and is often denoted by . The equation is called the characteristic equati

46、on of A. Hence the eigenvalues of are the roots of the characteristic polynomial of .For a matrix , it is easily verified that the characteristic polynomial is , where is the sum of the diagonal elements of . Find the eigenvalues of and find all eigen-vectors.Solution. The characteristic equation of

47、 is, or.Hence or 3. The eigenvector equation reduces to，or.Taking gives,which has solution , arbitrary. Consequently the eigenvectors corresponding to are the vectors ，with .Taking gives,which has solution , arbitrary. Consequently the eigenvectors corre-sponding to are the vectors , with .Our next

48、result has wide applicability:THEOREM6.2.1 Let be a matrix having distinct eigenvalues and and corresponding eigenvectors and . Let be the matrix whose columns are and , respectively. Then is nonsingular and Proof. Suppose and . We show that the system of homogeneous equationshas only the trivial so

49、lution. Then by theorem 2.5.10 the matrix is nonsingular. So assume . (6.3)Then, so . Hence . (6.4)Multiplying equation 6.3 by and subtracting from equation 6.4 gives.Hence , as and . Then from equation 6.3, and hence .Then the equations and giveEXAMPLE6.2.2 Let be the matrix of example 6.2.1. Thena

50、nd are eigenvectors corresponding to eigenvalues1 and 3, respectively. Hence if, we have There are two immediate applications of theorem first is to the calculation of : If , then and.The second application is to solving a system of linear differential equations whereis a matrix of real or complex n

51、umbers and and are functions of t. The system can be written in matrix form as ,whereand We make the substitution , where . Then and are also functions of and, so .Hence and .These differential equations are wellknown to have the solutions and , where is the value of when .If, where is a constant, t

52、hen.Hence is constant, so . Hence .However , so this determines and interms of and . Hence ultimately and are determined as explicitfunctions of , using the equation .EXAMPLE6.1.3 Let . Use the eigenvalue method toderive an explicit formula for and also solve the system of differentialequations ,giv

53、en and when .Solution. The characteristic polynomial of is which has distinctroots and . We find corresponding eigenvectors and . Hence if , we have.Hence To solve the differential equation system, make the substitution . Then. The system then becomesso and . Now .soand , HenceFor a more complicated

54、 example we solve a system of inhomogeneous recurrence relations.EXAMPLE6.2.4 Solve the system of recurrence relations,given that and .Solution. The system can be written in matrix form as,Where and .It is then an easy induction to prove that . (6.5)Also it is easy to verify by the eigenvalue method

55、 thatwhere and . Hence.Then equation 6.5 gives,which simplifies to.Hence and .REMARK6.2.1 If existed (that is, if , orequivalently, if 1 is not an eigenvalue of ), then we could have used theformula. (6.6)However the eigenvalues of cannot be used there.Our discussion of eigenvalues and eigenvectors

56、has been limited to matrices. The discussion is more complicated for matrices of size greater than two and is best left to a second course in linear algebra. Nevertheless the following result is a useful generalization of theorem 6.2.1. The reader is referred to 28, page 350 for a proof.THEOREM6.2.2

57、 Let A be an matrix having distinct eigenvalues and corresponding eigenvectors . Let be the matrix whose columns are respectively . Then is nonsingular and.Another useful result which covers the case where there are multiple eigen-values is the following (The reader is referred to 28, pages 351352 f

58、or aproof):THEOREM6.1.3 Suppose the characteristic polynomial of has the factorization,where are the distinct eigenvalues of . Suppose that for, we have nullity . For each such, choose a basis for the eigenspace . Then the matrixis nonsingular and P1AP is the following diagonal matrix(The notation m

59、eans that on the diagonal there are elements , followedby elements ,. . . , elements .)譯文 舉例定義6.2.1特征值，特征向量設作為一個復雜的方陣，如果是一個復雜的變量，一個非零的復雜的列向量滿足，我們稱為的一個特征向量，而稱為的一個特征值。我們還說是一個對應于特征值的特征向量。 所以在上面的例子中和是分別對應和的特征向量。我們將給出的特征值和構造一個旋轉(zhuǎn)矩陣，這樣的是對角矩陣。正如上面所提到的，如果是一個特征值的一個矩陣，與之相應的特征向量，其中，所以且有最多種不同特征值。相反如果，有一個不平凡的解決方案

60、，所以是一個特征值且是對應的特征向量。定義6.2.2(特征多項式方程)這個被定義的多項式稱為的一個特征多項式的，通常是用表示。這個被定義的方程叫做的特征方程。因此, 的特征值的是的一個特征多項式的根。對于一個矩陣，它很容易證實在是的對角線元素之和時，特征多項式是。找到的特征值和其所有特征向量。解. 的特征方程是，或者。因此或3。特征向量方程化簡到,或 以 得出 已解出, 。因此所對應的特征向量與的向量，其中。以得出 已解出, 。因此所對應的特征向量與的向量，。我們的下一個結果具有廣泛的適用性:定理 設是一個矩陣有不同的特征值和，相應的特征向量和。設分別是和的列的矩陣。然后是非奇異矩陣且。證明.