數(shù)學(xué)競賽初賽試題分析

1、數(shù)學(xué)競賽初賽試題分析第四屆大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽初賽試題分析一、填空題 評(píng)講 2020/12/1823對(duì)于第四屆大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽初賽試題分析1. 設(shè)是柱面x2+y2 =4介于1z3之間的外側(cè)曲面部分，則 因 在XOY平面上的投影為零，2020/12/1834對(duì)于第四屆大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽初賽試題分析投影2020/12/1845對(duì)于第四屆大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽初賽試題分析所以：原式=0注意到：被積函數(shù) 關(guān)于 為偶函數(shù)積分區(qū)域 關(guān)于坐標(biāo)面yoz對(duì)稱，則積分02020/12/185想一想，若第二個(gè)積分為注意到：前側(cè)取“+”后側(cè)取“-”2020/12/1867不能用格林公式，不能直接用斯托克斯公式第四屆大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽初賽試題

2、分析2. 設(shè)L為空間圓周曲線： ， 則積分 2020/12/1878第四屆大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽初賽試題分析由對(duì)稱性（稱為“輪換對(duì)稱性”）2020/12/1889第四屆大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽初賽試題分析注：除重積分外，都可以將積分區(qū)域 代入被積函數(shù)2020/12/18910解：第四屆大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽初賽試題分析3. 設(shè)S是球面 的外側(cè)，則積分奧高公式由對(duì)稱性2020/12/181011第四屆大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽初賽試題分析原式換球坐標(biāo)系（）2020/12/181112第四屆大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽初賽試題分析不能代入，若代入并換成R2，那么被積函數(shù) 只在“球體”的表面上取值了！ 三重積分是要求在整個(gè)“球體”上取值2020/12

3、/181213分析：這是第一類曲線積分，它的實(shí)際背景可看成分布在曲線上的質(zhì)量。考查：第四屆大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽初賽試題分析4. 設(shè)L為圓弧段： ， 則曲線積分曲線 對(duì)稱于y軸，分布密度 關(guān)于 是奇函數(shù) 2020/12/181314第四屆大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽初賽試題分析4. 設(shè)L為圓弧段： ， 則曲線積分L關(guān)于Y軸對(duì)稱(軸對(duì)稱！)關(guān)于X為奇函數(shù)2020/12/181415二重積分的幾何背景：算曲頂柱體的體積第四屆大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽初賽試題分析5. 設(shè)平面區(qū)域 （R0）， 則二重積分2020/12/1815第四屆大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽初賽試題分析二、選擇題 評(píng)講 2020/12/181617則（A）x=0必是g(x)的第

4、一類間斷點(diǎn).（B）x=0必是g(x)的第二類間斷點(diǎn).（C）x=0必是g(x)的連續(xù)點(diǎn). （D）g(x)在點(diǎn)x=0處的連續(xù)性與a的取值有關(guān). 1. 設(shè) 在 內(nèi)有定義，且第四屆大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽初賽試題分析2020/12/181718考察：第四屆大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽初賽試題分析若a=0，則g(x)在x=0處連續(xù)若a0，則g(x)在x=0處間斷（可去間斷點(diǎn)）選D2020/12/181819（A）極限不存在（B）極限存在但不連續(xù)（C）連續(xù)但不可導(dǎo)（D）可導(dǎo)2. 設(shè)函數(shù) 則 在 x=0處_第四屆大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽初賽試題分析2020/12/181920無窮小量有界變量計(jì)算極限先考察連續(xù)性：第四屆大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽初賽試題

5、分析排除 A B2020/12/182021右導(dǎo)數(shù)都不存在，所以在x=0處不可導(dǎo)又因?yàn)榈谒膶么髮W(xué)生數(shù)學(xué)競賽初賽試題分析所以 極限不存在選C2020/12/182122（A）1 （B）2 （C）3 （D）43. 當(dāng) 時(shí)， 與 是同階 無窮小，則n的值應(yīng)該是_第四屆大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽初賽試題分析當(dāng) 時(shí)2020/12/182223所以選 C而第四屆大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽初賽試題分析2020/12/182324整理后上下求導(dǎo)也可作出請(qǐng)同學(xué)自行驗(yàn)證【注】：本題也可不用皮亞諾展開式 用羅必塔法則也行第四屆大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽初賽試題分析2020/12/182425解：A B C D第四屆大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽初賽試題分析4. 設(shè)函

6、數(shù) 連續(xù)，則換元必?fù)Q限2020/12/182526第四屆大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽初賽試題分析而：2020/12/182627取f(x)=1，則選項(xiàng)變?yōu)楸绢}雖然不是明顯的用特殊值法的題，但其選項(xiàng)均為抽象函數(shù)形式的結(jié)果，也可用特殊值法試試，不管能不能選出，至少可以先排除一些。第四屆大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽初賽試題分析A x B -x C 2x D -2x2020/12/1827285. 設(shè)函數(shù)f(x)二階可導(dǎo)，若f(x)有極值，且 曲線y= f(x)有拐點(diǎn)，則曲線y= f(x) 的圖形可能為_ 第四屆大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽初賽試題分析有極值-用一階導(dǎo)數(shù)的符號(hào)判定有拐點(diǎn)-用二階導(dǎo)數(shù)的符號(hào)判定2020/12/182829A第四屆

7、大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽初賽試題分析曲線凹所以無極值也無拐點(diǎn)曲線無極值2020/12/182930B第四屆大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽初賽試題分析（0，0）點(diǎn)兩邊二階導(dǎo)數(shù)變號(hào)曲線無極值所以（0，0）是曲線 的拐點(diǎn) 2020/12/183031C第四屆大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽初賽試題分析無拐點(diǎn)曲線是凹的X=0是曲線極小值點(diǎn)2020/12/183132D第四屆大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽初賽試題分析（0，0）點(diǎn)兩邊二階導(dǎo)數(shù)變號(hào)有拐點(diǎn)有兩個(gè)極值點(diǎn)有兩個(gè)極值點(diǎn)曲線2020/12/183233由6. 若 ，在 內(nèi) 則 在 內(nèi)_第四屆大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽初賽試題分析DCBA函數(shù)是奇函數(shù)2020/12/183334第四屆大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽初賽試題分析函數(shù)是奇函數(shù)單

8、調(diào)增加且凹現(xiàn)畫一草圖看圖說話可見2020/12/1834357. 設(shè) 的導(dǎo)數(shù)在 處連續(xù)，又 ，則_第四屆大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽初賽試題分析（A） 是 的極小值點(diǎn). （B） 是 的極大值點(diǎn). （C） 是曲線 的拐點(diǎn). （D） 不是 的極值點(diǎn)， 也不是曲線 的拐點(diǎn).2020/12/183536于是解:(用判定極值的第二充分條件)第四屆大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽初賽試題分析又因 在a點(diǎn)連續(xù)2020/12/183637由極值的第二判定定理可知第四屆大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽初賽試題分析 在 處取得極大值 2020/12/183738是一開口向下的拋物線，在頂點(diǎn)處取極大值此時(shí)解法二，用特殊值法第四屆大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽初賽試題分析取 ，顯然

9、滿足題設(shè)條件取積分常數(shù)C=02020/12/183839最后提示下：也可用“保號(hào)性”做第四屆大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽初賽試題分析在 點(diǎn)附近：上下異號(hào)也可判斷出是極大值2020/12/183940（A）沒有漸近線. （B）僅有水平漸近線. （C）僅有鉛直漸近線. （D）既有水平漸近線也有鉛直漸近線. 8. 曲線 【 】 第四屆大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽初賽試題分析兩讓2020/12/184041讓分母趨于零，即讓第四屆大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽初賽試題分析讓得水平漸近線:y=1得垂直漸近線:X=02020/12/184142的參考圖形第四屆大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽初賽試題分析y=1水平漸近線x=0垂直漸近線偶函數(shù)2020/12/18424

10、3分析：此題考查定積分的定義，由于定積分的定義式是一個(gè)特殊結(jié)構(gòu)的極限，這種數(shù)列極限問題要想到用定積分來處理，關(guān)鍵是找被積函數(shù)和積分區(qū)間9. 等于 第四屆大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽初賽試題分析ADCB2020/12/184344第四屆大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽初賽試題分析2020/12/184445下限：起步于第四屆大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽初賽試題分析注換換上限：終止于2020/12/184546下限0，上限1第四屆大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽初賽試題分析換換別誤選C換元換限2020/12/18464710. 設(shè)周期函數(shù) 在 內(nèi)可導(dǎo)， 周期為4. 又 ，則曲線 在點(diǎn) 處的切線斜率為_ 第四屆大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽初賽試題分析在 內(nèi)可導(dǎo)解：2020/1

11、2/184748第四屆大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽初賽試題分析在 內(nèi)可導(dǎo)2020/12/184849【注】： 周期函數(shù)f(x)在自變量x相距 整數(shù)倍周期的點(diǎn)處的各種性態(tài) （如：函數(shù)值，導(dǎo)數(shù)值，極值）均相同第四屆大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽初賽試題分析2020/12/18495011. 已知 ，設(shè) ，則F(x)為_ 第四屆大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽初賽試題分析ABCD2020/12/185051解：F(x)可導(dǎo)，當(dāng)然必定連續(xù)第四屆大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽初賽試題分析易知 在0,2上連續(xù)A不連續(xù)2020/12/185152解：F(x)可導(dǎo)，當(dāng)然必定連續(xù)易知 在0,2上連續(xù)第四屆大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽初賽試題分析C不連續(xù)2020/12/185253解：F(

12、x)可導(dǎo)，當(dāng)然必定連續(xù)易知 在0,2上連續(xù)第四屆大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽初賽試題分析D不連續(xù)綜上A,C,D被排除2020/12/1853B54解：F(x)可導(dǎo)，當(dāng)然必定連續(xù)易知 在0,2上連續(xù)第四屆大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽初賽試題分析連續(xù)，還可驗(yàn)證可導(dǎo)選B2020/12/185455第四屆大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽初賽試題分析【注】： 在I上有第一類間斷點(diǎn)，則 連續(xù)，在I上連續(xù)，則 可導(dǎo)，2020/12/185556（A）0個(gè). （B）1個(gè). （C）2個(gè). （D）無窮多個(gè).12. 設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a,b上連續(xù)， 且 ，則方程 在開區(qū)間（a,b）內(nèi)的根有_ 第四屆大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽初賽試題分析2020/12/185657記則

13、考察零點(diǎn)的個(gè)數(shù)解1：第四屆大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽初賽試題分析又根據(jù)零點(diǎn)定理F(x)=0在(a,b)內(nèi)只有一個(gè)根選B2020/12/1857取 ，顯然滿足題設(shè)條件，而此時(shí)原方程化為58解2：特殊值法第四屆大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽初賽試題分析而該方程顯然在（a，b）內(nèi)只有一個(gè)實(shí)根，可見ACD不正確選B2020/12/18585913. 曲線 與x軸所圍圖形 面積可表示為_ 第四屆大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽初賽試題分析ABCD所圍的面積要為正（幾何值）非定積分的有向代數(shù)和，當(dāng)曲線在x軸下側(cè)時(shí)，需在定積分前添負(fù)號(hào)求出2020/12/185960根一個(gè)實(shí)根+共軛復(fù)根三個(gè)不等的實(shí)根下面先講三次方程根的問題第四屆大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽初賽試題分

14、析三個(gè)相等的實(shí)根2020/12/186061有三個(gè)不等的實(shí)根的情形第四屆大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽初賽試題分析2020/12/186162僅有一個(gè)實(shí)根（一對(duì)共軛復(fù)根）的情形第四屆大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽初賽試題分析2020/12/186263三個(gè)相等的實(shí)根第四屆大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽初賽試題分析2020/12/186364算這塊面積時(shí)添負(fù)號(hào)就行了回到此題第四屆大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽初賽試題分析方程 有三個(gè)不等的實(shí)根選C2020/12/18646514. 通過坐標(biāo)系的原點(diǎn)，且與微分方程 的一切積分曲線均正交的曲線方程是_ 第四屆大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽初賽試題分析A BC D2020/12/186566的切線斜率過原點(diǎn)即：第四屆大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽

15、初賽試題分析的斜率是的法線斜率是選A2020/12/186667給一個(gè)大致的圖像演示第四屆大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽初賽試題分析2020/12/186768A BC D15. 具有特解 的三階常系數(shù)齊次線性微分方程是_第四屆大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽初賽試題分析2020/12/186869解：對(duì)應(yīng)的微分方程為特征方程為第四屆大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽初賽試題分析選B【注】：條件y2 , y3中的常系數(shù)在選擇中有什么作用嗎？不起作用2020/12/18697016. 設(shè)在XOY全平面上有則在下列條件中使成立的是_ 第四屆大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽初賽試題分析ADCB2020/12/187071所以當(dāng) 時(shí)：解：第四屆大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽初賽試題分析選

16、 C2020/12/187172解一： 交換累次積分的積分順序17. 設(shè)f(x)為連續(xù)函數(shù)， 則 等于_ 第四屆大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽初賽試題分析D 0ABC2020/12/187273從而于是第四屆大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽初賽試題分析選 B2020/12/187374解法二： 特殊值法第四屆大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽初賽試題分析選 B2020/12/187475下面我們先來復(fù)習(xí)下第一類曲面積分的物理意義18. 設(shè) S1為S在 第一卦限中的部分，則有_第四屆大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽初賽試題分析ABCD空間“殼”的質(zhì)量2020/12/187576曲面關(guān)于XOZ坐標(biāo)平面對(duì)稱曲面為上半球面：第四屆大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽初賽試題分析函數(shù)是關(guān)于y的奇

17、函數(shù)左右半球面正負(fù)質(zhì)量相互抵消2020/12/187677曲面關(guān)于YOZ坐標(biāo)平面對(duì)稱曲面為上半球面：第四屆大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽初賽試題分析函數(shù)是關(guān)于x的奇函數(shù)前后半球面正負(fù)質(zhì)量相互抵消2020/12/187778而第四屆大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽初賽試題分析函數(shù)是關(guān)于x的奇函數(shù)函數(shù)是關(guān)于y的奇函數(shù)同理：ABD都錯(cuò)2020/12/187879從物理上看： 正確另：現(xiàn)在看C第四屆大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽初賽試題分析？關(guān)于x 、y是偶函數(shù)用兩倍曲面關(guān)于yoz對(duì)稱曲面關(guān)于xoz對(duì)稱選C2020/12/18798019. 設(shè) ，則級(jí)數(shù)_第四屆大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽初賽試題分析A 與 都收斂 B 與 都發(fā)散 C 收斂而 發(fā)散D 發(fā)散而 收斂

18、2020/12/188081解：第四屆大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽初賽試題分析2020/12/188182易知：第四屆大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽初賽試題分析選C一般項(xiàng)趨于零，且遞減的交錯(cuò)級(jí)數(shù) 收斂2020/12/18828320. 設(shè)函數(shù) ，而 其中 第四屆大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽初賽試題分析則 等于_ 分析：不能從這個(gè)就說是偶函數(shù)（只是半?yún)^(qū)間）正弦級(jí)數(shù)，可見對(duì)f(x)做的是奇開拓2020/12/188384 圖1（函數(shù)圖）做奇開拓用三個(gè)圖來 說話第四屆大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽初賽試題分析不能說是偶函數(shù)（因是半?yún)^(qū)間）2020/12/188485第四屆大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽初賽試題分析 圖1（函數(shù)圖） 圖2（一個(gè)周期內(nèi) 的和函數(shù)圖）取平均值由狄利克雷結(jié)論2020/12/188586第四屆大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽初賽試題分析 圖2（一個(gè)周期內(nèi) 的和函數(shù)圖）現(xiàn)在我們來周期延拓圖2 （T=2） 圖3正弦級(jí)數(shù)在R上的和函數(shù) 圖，是周期為T=2的周期函數(shù)2020/12/188687第四屆大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽初賽試題分析 圖3（正弦級(jí)