工程數(shù)學(xué)概率論

1、1了解二維隨機變量及聯(lián)合分布函數(shù)的概念第5章 二維隨機變量及其分布 重點：了解二維隨機變量的邊緣分布2 在實際應(yīng)用中, 有些隨機現(xiàn)象需要同時用兩個或兩個以上的隨機變量來描述. 這樣，要研究這些隨機變量之間的聯(lián)系, 就需考慮多維隨機變量及其取值規(guī)律多維分布. 由于從二維推廣到多維一般無實質(zhì)性的困難, 故我們重點討論二維隨機變量. 例如, 研究某地區(qū)學(xué)齡前兒童的發(fā)育情況時, 就要同時抽查兒童的身高H 、體重W, 這里, H和W是定義在同一個樣本空間S= =某地區(qū)的全部學(xué)齡前兒童上的兩個隨機變量. 又如,考察某次射擊中彈著點的位置時，就要同時考察彈著點的橫坐標(biāo)X和縱坐標(biāo)Y. 3二維隨機變量0Y( )

2、xyX( )(X( ), Y( )X( )Y( )RXRY定義則稱( X , Y )為二維隨機變量。相應(yīng)地，稱( X , Y )的取值規(guī)律為二維分布。設(shè)為隨機試驗的樣本空間，4 二維隨機變量的聯(lián)合分布函數(shù)定義 設(shè)( X , Y ) 為二維隨機變量 ，對任意實數(shù) x , y, 稱為二維隨機變量( X ,Y ) 的聯(lián)合分布函數(shù)。定義了一個二元實函數(shù) F ( x , y )，(記為 )的概率事件即5分布函數(shù)的幾何意義如果用平面上的點 (x, y) 表示二維隨機變量(X , Y )的一組可能的取值，則 F (x, y) 表示 (X , Y ) 的取值落入圖所示區(qū)域D的概率.Dxy0 xy6F (x ,

3、 y) = F (x+ 0 , y )F (x , y) = F (x , y + 0 )F(x,y)關(guān)于x和y均單調(diào)非減, 即(2)F(x,y)關(guān)于x和y均為右連續(xù), 即(3)固定 x , 對任意的 y1 y2 , F (x, y1) F (x, y2)固定 y , 對任意的 x1 x2 , F (x1, y) F (x2, y)(1)對任意的x,y,有聯(lián)合分布函數(shù)F(x,y)的性質(zhì)7xy(x, y)xy(4)xyxy對任一固定x,有對任一固定y,有即即9（5）F (x2 , y1) F (x1, y2)+ F (x1, y1)F (x2 , y2)x1x2y1y2對任意的 x1 x2 ,

4、y1 2)15解 (1)(2)16(3)可以將二維隨機變量及其邊緣分布函數(shù)的概念推廣到 n 維隨機變量及其聯(lián)合分布函數(shù)與邊緣分布函數(shù)注：17若二維隨機變量(X ,Y )所有可能的取值為有限多個或無窮可列多個, 則稱 (X ,Y ) 為二維離散型隨機變量，稱它的分布為二維離散型分布。要描述二維離散型隨機變量的概率特性及其與每個隨機變量之間的關(guān)系常用其聯(lián)合分布律和邊緣分布律。二維離散型隨機變量定義注：18二維離散型隨機變量的聯(lián)合分布律設(shè)( X ,Y )的所有可能的取值為則稱為二維離散型隨機變量( X ,Y ) 的聯(lián)合概率分布，也簡稱 概率分布 或 分布律。顯然，19x1 xi XY ( X ,Y

5、) 的聯(lián)合分布律y1yj20二維離散隨機變量的邊緣分布律設(shè)( X ,Y )為二維離散型隨機變量，其聯(lián)合分布律為為X的邊緣分布律。稱21二維離散隨機變量的邊緣分布律由聯(lián)合分布可確定邊緣分布,其逆不真.注：221x1 xi pip1pip jp1p jyjy1XY 聯(lián)合分布律及邊緣分布律23 利用古典概型直接求； 利用乘法公式的求法通常24例2 某校新選出的學(xué)生會 6 名女委員, 文、理、工科各占1/6、1/3、1/2，現(xiàn)從中隨機指定 2 人為學(xué)生會主席候選人. 令X , Y 分別為候選人中來自文、理科的人數(shù). 解 X 與Y 的可能取值分別為0 , 1與0 , 1 , 2. 求(X, Y) 的聯(lián)合

6、分布律和邊緣分布律.由乘法公式25或由古典概型相仿有26故聯(lián)合分布律與邊緣分布律為 0 10 1 23/15 6/15 1/153/15 2/15 0XY pip j1/32/316/15 8/15 1/1527二維連續(xù)型隨機變量定義 設(shè)二維隨機變量( X ,Y )的分布函數(shù)為 F(x ,y ),若存在非負實值函數(shù) f (x,y) , 使得對任意實數(shù) x , y 有則稱( X ,Y ) 為二維連續(xù)型隨機變量， f (x,y) 為( X ,Y ) 的聯(lián)合概率密度函數(shù)，簡稱聯(lián)合密度函數(shù)。28聯(lián)合密度函數(shù)f(x,y)的性質(zhì)（1）（2）F(x,y)為連續(xù)函數(shù), 且在 的連續(xù)點處（3）29P( X =

7、a ,- Y + ) = 0P(- X + , Y= a ) = 0若D 為xOy平面內(nèi)任一區(qū)域，則P( X = a ,Y = b ) = 0（4）30邊緣分布函數(shù)與邊緣密度函數(shù)定義 設(shè)二維連續(xù)型隨機變量( X , Y )有聯(lián)合密度函數(shù) f( x ,y )，由X的邊緣分布函數(shù)的定義有故, 稱為X的邊緣密度函數(shù)。31為Y的邊緣分布函數(shù)；為Y的邊緣密度函數(shù)。同樣可知由聯(lián)合分布可確定邊緣分布,其逆不真.注：32隨機變量的獨立性定義 設(shè)及分別是二維隨機變量 的聯(lián)合分布函數(shù)及邊緣分布函數(shù)，若對一切都有 ，即，則稱隨機變量和是相互獨立的.33隨機變量的相互獨立 特別，對于離散型和連續(xù)型的隨機變量，該定義分別等價于 34 在實際問題或應(yīng)用中，當(dāng)X的取值與Y的取值互不影響時，我們就認為X與Y是相互獨立的，進而把上述定義式當(dāng)公式運用. 在X與Y是相互獨立的前提下，由聯(lián)合分布可求邊緣分布；由邊緣分布也可求聯(lián)合分布！實際意義補充說明35設(shè)（X，Y）的分布律為 2/5 1/5 2/5 pi . 2/4 4/20 2/20 4/20 2 1/4 2/20 1/20 2/20 1 1/4 2/20 1/20 2/20 1/2 p. j 2 0 -1XY證明