工程數(shù)學(xué)概率論

1、1了解二維隨機(jī)變量及聯(lián)合分布函數(shù)的概念第5章 二維隨機(jī)變量及其分布 重點(diǎn)：了解二維隨機(jī)變量的邊緣分布2 在實(shí)際應(yīng)用中, 有些隨機(jī)現(xiàn)象需要同時(shí)用兩個(gè)或兩個(gè)以上的隨機(jī)變量來描述. 這樣，要研究這些隨機(jī)變量之間的聯(lián)系, 就需考慮多維隨機(jī)變量及其取值規(guī)律多維分布. 由于從二維推廣到多維一般無實(shí)質(zhì)性的困難, 故我們重點(diǎn)討論二維隨機(jī)變量. 例如, 研究某地區(qū)學(xué)齡前兒童的發(fā)育情況時(shí), 就要同時(shí)抽查兒童的身高H 、體重W, 這里, H和W是定義在同一個(gè)樣本空間S= =某地區(qū)的全部學(xué)齡前兒童上的兩個(gè)隨機(jī)變量. 又如,考察某次射擊中彈著點(diǎn)的位置時(shí)，就要同時(shí)考察彈著點(diǎn)的橫坐標(biāo)X和縱坐標(biāo)Y. 3二維隨機(jī)變量0Y( )

2、xyX( )(X( ), Y( )X( )Y( )RXRY定義則稱( X , Y )為二維隨機(jī)變量。相應(yīng)地，稱( X , Y )的取值規(guī)律為二維分布。設(shè)為隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間，4 二維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布函數(shù)定義 設(shè)( X , Y ) 為二維隨機(jī)變量 ，對(duì)任意實(shí)數(shù) x , y, 稱為二維隨機(jī)變量( X ,Y ) 的聯(lián)合分布函數(shù)。定義了一個(gè)二元實(shí)函數(shù) F ( x , y )，(記為 )的概率事件即5分布函數(shù)的幾何意義如果用平面上的點(diǎn) (x, y) 表示二維隨機(jī)變量(X , Y )的一組可能的取值，則 F (x, y) 表示 (X , Y ) 的取值落入圖所示區(qū)域D的概率.Dxy0 xy6F (x ,

3、 y) = F (x+ 0 , y )F (x , y) = F (x , y + 0 )F(x,y)關(guān)于x和y均單調(diào)非減, 即(2)F(x,y)關(guān)于x和y均為右連續(xù), 即(3)固定 x , 對(duì)任意的 y1 y2 , F (x, y1) F (x, y2)固定 y , 對(duì)任意的 x1 x2 , F (x1, y) F (x2, y)(1)對(duì)任意的x,y,有聯(lián)合分布函數(shù)F(x,y)的性質(zhì)7xy(x, y)xy(4)xyxy對(duì)任一固定x,有對(duì)任一固定y,有即即9（5）F (x2 , y1) F (x1, y2)+ F (x1, y1)F (x2 , y2)x1x2y1y2對(duì)任意的 x1 x2 ,

4、y1 2)15解 (1)(2)16(3)可以將二維隨機(jī)變量及其邊緣分布函數(shù)的概念推廣到 n 維隨機(jī)變量及其聯(lián)合分布函數(shù)與邊緣分布函數(shù)注：17若二維隨機(jī)變量(X ,Y )所有可能的取值為有限多個(gè)或無窮可列多個(gè), 則稱 (X ,Y ) 為二維離散型隨機(jī)變量，稱它的分布為二維離散型分布。要描述二維離散型隨機(jī)變量的概率特性及其與每個(gè)隨機(jī)變量之間的關(guān)系常用其聯(lián)合分布律和邊緣分布律。二維離散型隨機(jī)變量定義注：18二維離散型隨機(jī)變量的聯(lián)合分布律設(shè)( X ,Y )的所有可能的取值為則稱為二維離散型隨機(jī)變量( X ,Y ) 的聯(lián)合概率分布，也簡稱 概率分布 或 分布律。顯然，19x1 xi XY ( X ,Y

5、) 的聯(lián)合分布律y1yj20二維離散隨機(jī)變量的邊緣分布律設(shè)( X ,Y )為二維離散型隨機(jī)變量，其聯(lián)合分布律為為X的邊緣分布律。稱21二維離散隨機(jī)變量的邊緣分布律由聯(lián)合分布可確定邊緣分布,其逆不真.注：221x1 xi pip1pip jp1p jyjy1XY 聯(lián)合分布律及邊緣分布律23 利用古典概型直接求； 利用乘法公式的求法通常24例2 某校新選出的學(xué)生會(huì) 6 名女委員, 文、理、工科各占1/6、1/3、1/2，現(xiàn)從中隨機(jī)指定 2 人為學(xué)生會(huì)主席候選人. 令X , Y 分別為候選人中來自文、理科的人數(shù). 解 X 與Y 的可能取值分別為0 , 1與0 , 1 , 2. 求(X, Y) 的聯(lián)合

6、分布律和邊緣分布律.由乘法公式25或由古典概型相仿有26故聯(lián)合分布律與邊緣分布律為 0 10 1 23/15 6/15 1/153/15 2/15 0XY pip j1/32/316/15 8/15 1/1527二維連續(xù)型隨機(jī)變量定義 設(shè)二維隨機(jī)變量( X ,Y )的分布函數(shù)為 F(x ,y ),若存在非負(fù)實(shí)值函數(shù) f (x,y) , 使得對(duì)任意實(shí)數(shù) x , y 有則稱( X ,Y ) 為二維連續(xù)型隨機(jī)變量， f (x,y) 為( X ,Y ) 的聯(lián)合概率密度函數(shù)，簡稱聯(lián)合密度函數(shù)。28聯(lián)合密度函數(shù)f(x,y)的性質(zhì)（1）（2）F(x,y)為連續(xù)函數(shù), 且在 的連續(xù)點(diǎn)處（3）29P( X =

7、a ,- Y + ) = 0P(- X + , Y= a ) = 0若D 為xOy平面內(nèi)任一區(qū)域，則P( X = a ,Y = b ) = 0（4）30邊緣分布函數(shù)與邊緣密度函數(shù)定義 設(shè)二維連續(xù)型隨機(jī)變量( X , Y )有聯(lián)合密度函數(shù) f( x ,y )，由X的邊緣分布函數(shù)的定義有故, 稱為X的邊緣密度函數(shù)。31為Y的邊緣分布函數(shù)；為Y的邊緣密度函數(shù)。同樣可知由聯(lián)合分布可確定邊緣分布,其逆不真.注：32隨機(jī)變量的獨(dú)立性定義 設(shè)及分別是二維隨機(jī)變量 的聯(lián)合分布函數(shù)及邊緣分布函數(shù)，若對(duì)一切都有 ，即，則稱隨機(jī)變量和是相互獨(dú)立的.33隨機(jī)變量的相互獨(dú)立 特別，對(duì)于離散型和連續(xù)型的隨機(jī)變量，該定義分別等價(jià)于 34 在實(shí)際問題或應(yīng)用中，當(dāng)X的取值與Y的取值互不影響時(shí)，我們就認(rèn)為X與Y是相互獨(dú)立的，進(jìn)而把上述定義式當(dāng)公式運(yùn)用. 在X與Y是相互獨(dú)立的前提下，由聯(lián)合分布可求邊緣分布；由邊緣分布也可求聯(lián)合分布！實(shí)際意義補(bǔ)充說明35設(shè)（X，Y）的分布律為 2/5 1/5 2/5 pi . 2/4 4/20 2/20 4/20 2 1/4 2/20 1/20 2/20 1 1/4 2/20 1/20 2/20 1/2 p. j 2 0 -1XY證明