行列式性質行列式展開

1、關于行列式的性質行列式展開第一張，PPT共六十一頁，創(chuàng)作于2022年6月一、行列式的性質2、性質1 行列式與它的轉置行列式相等.行列式 稱為行列式 的轉置行列式. 1、記第二張，PPT共六十一頁，創(chuàng)作于2022年6月例如：對這個行列式進行轉置第三張，PPT共六十一頁，創(chuàng)作于2022年6月3、性質2 互換行列式的兩行(列),行列式變號.互換行列式的二、三行例4、推論 如果行列式有兩行（列）完全相同，則此行列式為零.證明互換相同的兩行，有 第四張，PPT共六十一頁，創(chuàng)作于2022年6月5、性質3 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一數 ，等于用數 乘此行列式.即行列式的某一行（列）中所有元素

2、的公因子可以提到行列式符號的外面第五張，PPT共六十一頁，創(chuàng)作于2022年6月6、性質4行列式中如果有兩行(列)元素成比例，則此行列式為零證明第六張，PPT共六十一頁，創(chuàng)作于2022年6月7、性質5若行列式的某一列(行)的元素都是兩數之和.則D等于下列兩個行列式之和：例如第七張，PPT共六十一頁，創(chuàng)作于2022年6月8、性質6把行列式的某一列(行)的各元素乘以同一數后加到另一列(行)對應的元素上去，行列式不變例如第八張，PPT共六十一頁，創(chuàng)作于2022年6月例2.1二、應用舉例計算行列式常用方法：利用運算把行列式化為三角形行列式，從而算得行列式的值 方法二：三角形法第九張，PPT共六十一頁，創(chuàng)

3、作于2022年6月解第十張，PPT共六十一頁，創(chuàng)作于2022年6月第十一張，PPT共六十一頁，創(chuàng)作于2022年6月第十二張，PPT共六十一頁，創(chuàng)作于2022年6月第十三張，PPT共六十一頁，創(chuàng)作于2022年6月第十四張，PPT共六十一頁，創(chuàng)作于2022年6月例2.2 計算n 階行列式解:將第 都加到第一列得技巧1：行和相同，全部加到某一列第十五張，PPT共六十一頁，創(chuàng)作于2022年6月技巧2:相同元素很多，化0（或者化為三角形）.第十六張，PPT共六十一頁，創(chuàng)作于2022年6月例2.3計算第十七張，PPT共六十一頁，創(chuàng)作于2022年6月解第十八張，PPT共六十一頁，創(chuàng)作于2022年6月提取第一

4、列的公因子，得第十九張，PPT共六十一頁，創(chuàng)作于2022年6月第二十張，PPT共六十一頁，創(chuàng)作于2022年6月評注本題利用行列式的性質，采用“化零”的方法，逐步將所給行列式化為三角形行列式化零時一般盡量選含有的行（列）及含零較多的行（列）；若沒有，則可適當選取便于化零的數，或利用行列式性質將某行（列）中的某數化為1；若所給行列式中元素間具有某些特點，則應充分利用這些特點，應用行列式性質，以達到化為三角形行列式之目的第二十一張，PPT共六十一頁，創(chuàng)作于2022年6月 (行列式中行與列具有同等的地位,行列式的性質凡是對行成立的對列也同樣成立). 計算行列式常用方法：(1)利用定義;(2)利用性質把

5、行列式化為上三角形行列式，從而算得行列式的值三、小結行列式的6個性質第二十二張，PPT共六十一頁，創(chuàng)作于2022年6月1.4 行列式按行(列)展開一、余子式與代數余子式二、行列式按行(列)展開法則三、關于代數余子式的重要性質四、行列式的計算方法小結五、思考與練習題第二十三張，PPT共六十一頁，創(chuàng)作于2022年6月例如一、余子式與代數余子式第二十四張，PPT共六十一頁，創(chuàng)作于2022年6月在 階行列式中，把元素 所在的第 行和第 列劃去后，留下來的 階行列式叫做元素 的余子式，記作叫做元素 的代數余子式例如第二十五張，PPT共六十一頁，創(chuàng)作于2022年6月第二十六張，PPT共六十一頁，創(chuàng)作于20

6、22年6月引理 一個 階行列式，如果其中第 行所有元素除 外都為零，那末這行列式等于 與它的代數余子式的乘積，即 例如第二十七張，PPT共六十一頁，創(chuàng)作于2022年6月性質 行列式等于它的任一行(列)的各元素與其對應的代數余子式乘積之和，即證二、行列式按行（列）展開法則第二十八張，PPT共六十一頁，創(chuàng)作于2022年6月第二十九張，PPT共六十一頁，創(chuàng)作于2022年6月例3.1方法三：用降階法第三十張，PPT共六十一頁，創(chuàng)作于2022年6月第三十一張，PPT共六十一頁，創(chuàng)作于2022年6月例3.2計算解第三十二張，PPT共六十一頁，創(chuàng)作于2022年6月第三十三張，PPT共六十一頁，創(chuàng)作于2022

7、年6月第三十四張，PPT共六十一頁，創(chuàng)作于2022年6月第三十五張，PPT共六十一頁，創(chuàng)作于2022年6月評注本題是利用行列式的性質將所給行列式的某行（列）化成只含有一個非零元素，然后按此行（列）展開，每展開一次，行列式的階數可降低 1階，如此繼續(xù)進行，直到行列式能直接計算出來為止（一般展開成二階行列式）這種方法對階數不高的數字行列式比較適用第三十六張，PPT共六十一頁，創(chuàng)作于2022年6月方法四:用數學歸納法例4.1證明第三十七張，PPT共六十一頁，創(chuàng)作于2022年6月證對階數n用數學歸納法第三十八張，PPT共六十一頁，創(chuàng)作于2022年6月第三十九張，PPT共六十一頁，創(chuàng)作于2022年6月評

8、注第四十張，PPT共六十一頁，創(chuàng)作于2022年6月 證用數學歸納法例4.2證明范德蒙(Vandermonde)行列式數學歸納法第四十一張，PPT共六十一頁，創(chuàng)作于2022年6月第四十二張，PPT共六十一頁，創(chuàng)作于2022年6月 n-1階范德蒙行列式第四十三張，PPT共六十一頁，創(chuàng)作于2022年6月推論 行列式任一行(列)的元素與另一行(列)的對應元素的代數余子式乘積之和等于零，即第四十四張，PPT共六十一頁，創(chuàng)作于2022年6月三、關于代數余子式的重要性質第四十五張，PPT共六十一頁，創(chuàng)作于2022年6月方法五:利用范德蒙行列式計算例5計算利用范德蒙行列式計算行列式，應根據范德蒙行列式的特點，

9、將所給行列式化為范德蒙行列式，然后根據范德蒙行列式計算出結果。第四十六張，PPT共六十一頁，創(chuàng)作于2022年6月解第四十七張，PPT共六十一頁，創(chuàng)作于2022年6月上面等式右端行列式為n階范德蒙行列式，由范德蒙行列式知第四十八張，PPT共六十一頁，創(chuàng)作于2022年6月評注本題所給行列式各行（列）都是某元素的不同方冪，而其方冪次數或其排列與范德蒙行列式不完全相同，需要利用行列式的性質（如提取公因子、調換各行（列）的次序等）將此行列式化成范德蒙行列式第四十九張，PPT共六十一頁，創(chuàng)作于2022年6月例6 計算 階行列式 解：先將 添上一行一列，變成下面的 階行列式方法六：加邊法第五十張，PPT共六

10、十一頁，創(chuàng)作于2022年6月顯然, 將 的第一行乘以 后加到其余各行，得注意：此為爪形行列式，記住解此行列式的方法。因,將第 列的 倍加到第一列,得第五十一張，PPT共六十一頁，創(chuàng)作于2022年6月注：此題也可不加邊，直接利用倍加及爪形行列式方法第五十二張，PPT共六十一頁，創(chuàng)作于2022年6月例7證明:第五十三張，PPT共六十一頁，創(chuàng)作于2022年6月證明:第五十四張，PPT共六十一頁，創(chuàng)作于2022年6月第五十五張，PPT共六十一頁，創(chuàng)作于2022年6月 四、行列式的計算方法小結(3) 降階法 (參見例3.1，例3.2)(最常用)(2) 三角形法(參見例2.1，例2.2) 利用行列式的運算性質運算把行列式化為上（下）三角 形行列式，從而算得行列式的值(4) 數學歸納法(參見例4.1,例4.2)(5) 利用范德蒙行列式(參見例5)(6) 加邊法(參見例6)(7) 遞推法(參見課本例1.17)(1)用行列式的逆序數定義計算（證明）第五十六張，PPT共六十一頁，創(chuàng)作于2022年6月計算行列式的方法比較靈活，同一行列式可以有多種計算方法；有的行列式計算需要幾種方法綜合應用在計算時，首先要仔細考察行列式在構造上的特點，利用