一維開(kāi)集閉集的構(gòu)造_第1頁(yè)
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第四節(jié) 一維開(kāi)集、閉集、完備集的構(gòu)造維空間中的點(diǎn)集1定理1 中任何非空的有界開(kāi)集都是有限 多個(gè)或可數(shù)個(gè)互不相交的開(kāi)區(qū)間的并。證明： 設(shè) 是有界開(kāi)集，則存在 ，使得 。對(duì)任意 ，由 是開(kāi)的，知存在開(kāi)區(qū)間 ，使 。 2定理2 設(shè)F是一非空的有界閉集，則F中必有一最大點(diǎn)(最大數(shù))和一最小點(diǎn)(最小數(shù)).類似可證F有最小點(diǎn)3問(wèn)題：根據(jù)開(kāi)集與閉集的互余關(guān)系，如何 構(gòu)造直線上的閉集？定理3 設(shè) 是非空的有界閉集，則 是由 一閉區(qū)間中去掉有限個(gè)或可數(shù)個(gè)互 不相交的開(kāi)區(qū)間而成。4定理3的證明： 設(shè) ，則由定理2知 ， ，故 是開(kāi)集.由定理1知，存在有限個(gè)或可數(shù)個(gè)互不相交的開(kāi)區(qū)間 ，使從而 。證畢。5問(wèn)題：直線上什么樣的閉集是完備的？所有 的完備集都是這樣的嗎？定理4 假設(shè) 是非空有界閉集，則 F 是完備 集當(dāng)且僅當(dāng) F 是從一閉區(qū)間a,b中去掉 有限個(gè)或可數(shù)個(gè)彼此沒(méi)有公共端點(diǎn)且與a,b 也無(wú)公共端點(diǎn)的開(kāi)區(qū)間而成。6定理4的證明： 若 是完備集；則顯然挖去的開(kāi)區(qū)間彼此無(wú)公共端點(diǎn)，否則這個(gè)公共端將是 的孤立點(diǎn)，故必要性是顯然的。再證充分性，只需證明任意 都是 的聚點(diǎn)。若不然，假設(shè) 是其孤立點(diǎn)，則存在 ，使 ，且 ，由 的

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