線性變換的值域與核Y

1、一、值域與核的概念二、值域與核的有關(guān)性質(zhì)7.6 線性變換的值域與核 提供網(wǎng)站： 一、值域與核的概念定義1：設(shè) 是線性空間V的一個線性變換，集合 稱為線性變換的值域，也記作或 集合 注： 皆為V的子空間.稱為線性變換的核，也記作 有事實上， 且對 即 對于V的加法與數(shù)量乘法封閉.為V的子空間. 再看 首先，又對 有 從而 對于V的加法與數(shù)量乘法封閉.即 故 為V的子空間.定義2：線性變換的值域 的維數(shù)稱為的秩； 的核 的維數(shù)稱為 的零度. 例1、在線性空間 中，令則 所以D的秩為n1，D的零度為1. 1. (定理10) 設(shè)是n 維線性空間V的線性變換， 是V的一組基，在這組基下的矩陣是A，則1）

2、 的值域 是由基象組生成的子空間，即2） 的秩A的秩. 二、有關(guān)性質(zhì)證：1） 設(shè) 于是 又對 有 即 的秩，又等于矩陣A的秩. 故 2）由1）， 的秩等于基象組由第六章5的結(jié)論3知， 的秩秩 秩2. 設(shè)為n 維線性空間V的線性變換，則的秩的零度n即 并把它擴充為V的一組基： 生成的.證明：設(shè) 的零度等于r ，在核 中取一組基 由定理10， 是由基象組即 可被 線性表出. 線性無關(guān).但 設(shè) 則有 下證 為 的一組基，即證它們設(shè) 于是有 由于為 V的基. 故 線 性無關(guān)，即它為 的一組基. 因此， 的秩 的零度n.的秩nr .如在例1中, 注意： 與 的維數(shù)之和等于n，但是未必等于V. 基的原象與

3、 的基合起來是V的一組基) 是滿射證明：) 顯然.3. 設(shè)為n 維線性空間V的線性變換，則) 是單射 即 ) 因為 若 為單射，則 反之 ，若 任取 若 故是單射.則從而 是單射 是滿射. 4. 設(shè)為n 維線性空間V的線性變換，則證明：是單射 是滿射. 例2、設(shè)A是一個n階方陣， 證明：A相似于證：設(shè)A是n維線性空間V的一個線性變換 在一組基 下的矩陣，即 一個對角矩陣由 知 任取 設(shè) 則 故有 當(dāng)且僅當(dāng) 因此有 又 所以有 從而是直和 .在 中取一組基： 則 就是V的一組基. 顯然有， 在 中取一組基 ：用矩陣表示即 所以，A相似于矩陣線性變換在此基下的矩陣為 1) 求 及 2) 在 中選一組基，把它擴充為V的一組基， 并求 在這組基下的矩陣.并求 在這組基下的矩陣.3) 在 中選一組基，把它擴充為V的一組基，例3、設(shè)是線性空間V的一組基，已知解：1）先求 設(shè) 它在下的坐標(biāo)為故由于 有 在 下的坐標(biāo)為 解此齊次線性方程組，得它的一個基礎(chǔ)解系： 從而 是 的一組基. 由于 的零度為2 ，所以 的秩為2，又由矩陣A，有即 為2維的.再求2）因為 從而有所以，線性無關(guān)，就是 的一組基. 而 可逆. 從而 ， 線性無關(guān)，即為V的一組