現(xiàn)代控制技術(shù)2 可控性和可觀性

1、控制原理與接口技術(shù)Tel:1 在控制工程中，有兩個問題經(jīng)常引起設(shè)計者的關(guān)心。那就是加入適當(dāng)?shù)目刂谱饔煤螅芊裨谟邢迺r間內(nèi)將系統(tǒng)從任一初始狀態(tài)控制（轉(zhuǎn)移）到希望的狀態(tài)上，以通過對系統(tǒng)輸出在一段時間內(nèi)的觀測，能否判斷（識別）系統(tǒng)的初始狀態(tài)。這便是控制系統(tǒng)的能控性與能觀性問題?？刂葡到y(tǒng)的能控性及能觀性是現(xiàn)代理論中很重要的兩個概念。在多變量最優(yōu)控制系統(tǒng)中，能控性及能觀性是最優(yōu)控制問題解的存在性問題中最重要的問題，如果所研究的系統(tǒng)是不可控的，則最優(yōu)控制問題的解是不存在的。系統(tǒng)的可控性和可觀性2可控性定義：當(dāng)系統(tǒng)用狀態(tài)方程描述時，給定系統(tǒng)的任意初始狀態(tài)，可以找到允許的輸入量，在有限的時間內(nèi)使系統(tǒng)的所有狀態(tài)

2、達到任一終止?fàn)顟B(tài)，則稱系統(tǒng)是完全可控的。有狀態(tài)方程x(t)=Ax(t)+Bu(t) 其解為：如果有限的時間內(nèi)0 t a=0 1；0 0； b=expm(a*0.1) matlab語句系統(tǒng)的可控性和可觀性16根據(jù)要求，希望極點位于s平面s1,2= -n j (1- 2n)1/2=-1.8 j 3.12滿秩，能控根據(jù)z=esT的關(guān)系，將s1,2和T0.1代入，可得：z1,2 =0.835 e j 0.312 = 0.835cos0.312 j 0.835sin0.312 換言之，希望得到的閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程為(z-0.8)2-(j 0.256)2=0 z2 1.6 z + 0.7 = 0系統(tǒng)的可控

3、性和可觀性17若狀態(tài)反饋控制規(guī)律為 L= L1 L2 則閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程為|(zI-F+GL)|= z2+ (0.1L2+0.005L12)z+0.005L1-0.1L2+1=0求解得 L2=3.5 L1=10 于是 L= 10 3.5 u(k)= -Lx(k)系統(tǒng)的可控性和可觀性18狀態(tài)觀測器之所以可以做狀態(tài)反饋，是因為假定所有的狀態(tài)是可以測得 (可觀的)。在生產(chǎn)實際中，絕大多數(shù)的情況是：被控對象模型可知，狀態(tài)方程可寫出，但是對象內(nèi)部的狀態(tài)不一定可測得，往往得到的只是輸出。狀態(tài)觀測器19在這種情況下，如果不能得到所有狀態(tài)的情況，就不能采用極點配置的方法構(gòu)成所希望的控制系統(tǒng)?？捎^性定義告訴我

4、們，當(dāng)系統(tǒng)用狀態(tài)方程描述時，給定控制后，如果系統(tǒng)的每一個初始狀態(tài)x(0-)都可以在有限的時間內(nèi)通過系統(tǒng)的輸出y(t)唯一確定，則稱系統(tǒng)完全可觀。換言之，如果被控系統(tǒng)完全可觀，我們可以用通過系統(tǒng)的輸入、輸出計算出系統(tǒng)的所有狀態(tài)。狀態(tài)觀測器20狀態(tài)觀測器具體地說，狀態(tài)重構(gòu)問題的實質(zhì)，就是重新構(gòu)造一個系統(tǒng)，利用原系統(tǒng)中可直接測量的變量如輸入量和輸出量作為它的輸入信號，并使其輸出信號在一定的提法下等價于原系統(tǒng)的狀態(tài)而稱這個用以實現(xiàn)狀態(tài)重構(gòu)的系統(tǒng)為狀態(tài)觀測器。一般，兩者間的等價性常采用漸近等價提法，即使得兩者僅成立通常，稱 為的重構(gòu)狀態(tài)或估計狀態(tài)21通過輸出計算得到的系統(tǒng)狀態(tài)，顯然是一個估計值，如果對狀

5、態(tài)估計的很準(zhǔn)，通過極點配置法，就可以得到比較理想的控制系統(tǒng)。預(yù)報觀測器未來狀態(tài)的估計值對“當(dāng)前狀態(tài)當(dāng)前輸入修正值”求加權(quán)和修正的越準(zhǔn)，狀態(tài)預(yù)測越準(zhǔn)。對(真實輸出-預(yù)測輸出)的修正對象F、G對象F、GCCKu(k)x(k)y(k)預(yù)報觀測器是一個輸入為u(k)和偏差修正值，輸出為狀態(tài)變量預(yù)測值的系統(tǒng)。狀態(tài)觀測器22狀態(tài)觀測器 定義為實際狀態(tài)和估計狀態(tài)間的狀態(tài)誤差矢量，可導(dǎo)出狀態(tài)誤差矢量所應(yīng)滿足的動態(tài)方程為23如何選擇修正矩陣(觀測器的增益矩陣)K成為關(guān)鍵狀態(tài)變量的預(yù)測誤差(誤差的動態(tài)模型)為：合理選擇K使預(yù)測誤差收斂是最終目的。該模型的特征方程的極點為：|(zI-F+KC)|0于是可以根據(jù)要求的

6、預(yù)測誤差動態(tài)變化規(guī)律，配置極點使預(yù)測誤差收斂于0。具體作法：給定極點，構(gòu)造特征方程： (z-z1)(z-z2)(z-zn)=0求出預(yù)測誤差模型的特征方程：|(zI-F+KC)|0其中 K=k1,k2,kn用待定系數(shù)法，求取K。狀態(tài)觀測器24未來狀態(tài)的估計值對“未來狀態(tài)的預(yù)估值對未來輸出偏差的修正值”求加權(quán)和；修正的越準(zhǔn)，狀態(tài)預(yù)測越準(zhǔn)。狀態(tài)變量的預(yù)測誤差(誤差的動態(tài)模型)為：該模型的特征方程的極點為：|(zI-F+KCF)|0可以通過極點配置求取K。對(未來真實輸出-未來預(yù)測輸出)的修正現(xiàn)實觀測器25預(yù)報觀測器和現(xiàn)實觀測器都是根據(jù)輸出量重構(gòu)全部狀態(tài)，即觀測器的階數(shù)等于狀態(tài)的個數(shù)全階觀測器在實際系

7、統(tǒng)中，在測量到的輸出y(k)=Cx(k)中，已直接給出了部分狀態(tài)變量。顯然，這部分變量不必通過估計就可直接得到。對狀態(tài)的估計可限制在剩余的、不可測量的狀態(tài)變量范圍內(nèi)。將狀態(tài)變量分為兩部分xa(k)為可測量的狀態(tài)變量；xb(k)為不可測量的狀態(tài)變量(需估計的狀態(tài)變量)。降階觀測器26x(k+1)=Fx(k)+Gu(k) y(k)=Cx(k)將導(dǎo)出結(jié)果與狀態(tài)方程格式進行比較x(k) xb(k)FFbbGu(k)Fbaxa(k)+Gbu(k)y(k) xa(k+1)-Faaxa(k)+Gau(k)CFab將矩陣展開27如果選擇預(yù)報觀測器模型，狀態(tài)的估計值為將矩陣展開28上式為各狀態(tài)預(yù)測誤差的運動方程

8、，對其求z變換可得各狀態(tài)預(yù)測誤差傳遞函數(shù)的特征函數(shù)(傳遞函數(shù)分母的z-1多項式)。特征函數(shù)的極點為|zI-Fbb+KFab|0根據(jù)希望誤差運動規(guī)律配置極點，即可求出K。同理，可求出選擇現(xiàn)實觀測器模型時的K值。預(yù)測誤差方程29被控對象狀態(tài)方程x(k+1)=Fx(k)+Gu(k) y(k)=Cx(k)狀態(tài)觀測(預(yù)報觀測器)和狀態(tài)反饋狀態(tài)反饋控制系統(tǒng)設(shè)r(k)=0觀測器控制規(guī)律零階保持器被控對象y(t)u(k)u(t)x(k)y(k)按極點配置設(shè)計控制器30狀態(tài)及狀態(tài)預(yù)測的運動方程，對其求z變換可得各狀態(tài)及狀態(tài)預(yù)測傳遞函數(shù)的特征函數(shù)(傳遞函數(shù)分母的z-1多項式)。按極點配置設(shè)計控制器31分離性原理：

9、可分別設(shè)計系統(tǒng)的控制規(guī)律和觀測器。第二列加到第一列第二行減去第一行按極點配置設(shè)計控制器32根據(jù)閉環(huán)系統(tǒng)性能要求給定幾個控制極點；按極點配置設(shè)計狀態(tài)反饋控制規(guī)律，計算L；合理選擇給定觀測器的極點，選擇觀測器類型，計算觀測器增益矩陣K；根據(jù)所設(shè)計的控制規(guī)律和觀測器，由計算機實現(xiàn)之。幾點說明：控制極點，根據(jù)對閉環(huán)系統(tǒng)的性能要求來選擇，為系統(tǒng)的主導(dǎo)極點，個數(shù)與系統(tǒng)狀態(tài)數(shù)相同；觀測器極點，使?fàn)顟B(tài)估計值能夠較快地逼進真值；其對應(yīng)的衰減速度應(yīng)是主導(dǎo)極點衰減速度的45倍；個數(shù)與預(yù)測狀態(tài)數(shù)相同。狀態(tài)反饋控制器的設(shè)計33觀測器類型的選擇，如果控制器的計算延時與采樣周期處于同一數(shù)量級，則可使用預(yù)報觀測器；反之，可使

10、用現(xiàn)時觀測器。如果輸出測量比較準(zhǔn)確，且輸出是系統(tǒng)的一個狀態(tài)，則可使用降階觀測器；反之，用全階觀測器。例：有被控系統(tǒng)的離散狀態(tài)方程系統(tǒng)采樣周期0.1s。要求控制極點配置在z1=0.6，z2=0.8；預(yù)報觀測器極點配置在0.9j0.1處。解：求反饋增益矩陣L。狀態(tài)反饋控制器的設(shè)計34根據(jù)要求有特征多項式：(z- 0.6)(z- 0.8)=z2+1.4z+0.48|zI-F+GL|=z2 +(0.005L1 +0.1L2-2)z+1+ 0.005L1 +0.1L2與要求的特征多項式比較，解待定系數(shù)方程，可得L=L1 L2=8 5.6求預(yù)測增益矩陣K根據(jù)要求有特征多項式：(z- 0.9)2+0.12=

11、z2-1.8z+0.82|zI-F+KC|=z2 -(2-K1)z+1- K1 +0.1K2與要求的特征多項式比較，解待定系數(shù)方程，可得K=K1 K2=0.2 0.2狀態(tài)反饋控制器的設(shè)計35系統(tǒng)狀態(tài)反饋控制器為帶PI狀態(tài)反饋控制器的設(shè)計前面所言的狀態(tài)反饋控制器是將系統(tǒng)狀態(tài)按比例反饋。當(dāng)有階躍或常值干擾時，這種控制方式會產(chǎn)生靜態(tài)誤差。為了克服由常值干擾帶來的系統(tǒng)靜態(tài)誤差，有效方法是加入積分控制。 x(k+1)=Fx(k)+Gu(k)+(k) y(k)=Cx(k)由于(k)是階躍干擾，當(dāng)k1時，(k)=0對離散狀態(tài)方程做差分運算，有階躍干擾狀態(tài)反饋控制器的設(shè)計36x(k+1)=Fx(k)+Gu(k

12、) k1 y(k)=Cx(k)y(k+1)= y(k)+CFx(k)+CGu(k) x(k+1)=Fx(k)+Gu(k) k1狀態(tài)方程變?yōu)檩敵龊蜖顟B(tài)變化率的運動方程。且輸出取決于控制器輸出u(k)的變化率和系統(tǒng)狀態(tài)x(k)的變化率。根據(jù)對輸出和系統(tǒng)狀態(tài)變化率的要求，可用配置極點的方法滿足要求。u(k)=-Lm(k)=-L1y(k)-L2x(k)L=L1 L2狀態(tài)反饋控制器的設(shè)計37最終的控制器輸出應(yīng)該為u(k)的累計。u(k)=-Lm(k)=-L1y(k)-L2x(k)對其兩端求和控制器輸出對象輸出的積分對狀態(tài)的比例反饋通過極點的配置使系統(tǒng)y(k+1)= y(k)+CFx(k)+CGu(k)

13、x(k+1)=Fx(k)+Gu(k) k1處于穩(wěn)定狀態(tài)(輸入為零時，最終穩(wěn)態(tài)也為零)，與(k)無關(guān)。(k)-L1零階保持器被控對象y(t)u(k)u(t)x(k)y(k)-L2C-狀態(tài)反饋控制器的設(shè)計38如果對帶PI調(diào)節(jié)得狀態(tài)反饋控制器增加輸入L1x(k+1)=Fx(k)+Gu(k)+(k)y(t)u(k)u(t)x(k)e(k)L2Cr(k)-跟蹤系統(tǒng)設(shè)計39對于r(k)=常數(shù)，(k)0時有x(k+1)=Fx(k)+Gu(k) y(k)=Cx(k)可得x(k+1)=(F-GL2)x(k)+Guc(k)其解為x()=(I-F+GL2)-1Guc()y()=Cx()=C(I-F+GL2)-1Gu

14、c()按極點配置法設(shè)計得閉環(huán)系統(tǒng)是漸進穩(wěn)定的。跟蹤系統(tǒng)設(shè)計40LQ最優(yōu)控制器設(shè)計設(shè)無干擾情況下，被控對象的連續(xù)狀態(tài)方程為 x(t)=Ax(t)+Bu(t)y (t)=Cx(t)被控對象與離散調(diào)節(jié)器之間采用零階保持器u(t)=u(k) kTt(k+1)T與其對應(yīng)的離散狀態(tài)方程為最優(yōu)設(shè)計是指在給定某個最優(yōu)指標(biāo)后，使系統(tǒng)的運動狀態(tài)滿足給定指標(biāo)。狀態(tài)空間的最優(yōu)設(shè)計法41LQ最優(yōu)設(shè)計是指：給定指標(biāo)函數(shù)J(二次型性能指標(biāo))當(dāng)系統(tǒng)運動到tt0時，以J最小為準(zhǔn)則設(shè)計最優(yōu)調(diào)節(jié)器 u(k)=-Lx(k)當(dāng)r(k)=0時，系統(tǒng)框圖如下。LQ最優(yōu)調(diào)節(jié)器x(k+1)=Fx(k)+Gu(k)y(k)u(k)x(k)LC當(dāng)

15、N為有限拍時，稱為有限時間最優(yōu)調(diào)節(jié)器問題；當(dāng)N=時，為無限時間最優(yōu)調(diào)節(jié)器。狀態(tài)空間的最優(yōu)設(shè)計法42令tkT，有令t(k+1)T，有兩式相減，并考慮到零階保持器的作用當(dāng)tNT時，有二次型性能指標(biāo)的離散化43對J(k)離散化最優(yōu)控制規(guī)律的計算問：如何構(gòu)造u(k)，使系統(tǒng)狀態(tài)的運動滿足給定指標(biāo)函數(shù)J。二次型性能指標(biāo)的離散化44答案：控制過程：給定N；有S(N)=Q0；求S(k)=S(N-1)，L(k)=L(N-1)，u(k)=u(N-1) 求S(k)=S(N-2)，L(k)=L(N-2)，u(k)=u(N-2)直至求出S(k)=S(0)，L(k)=L(0)，u(k)=u(0)得到控制序列u(0)，u

16、(1)， u(N-1)。二次型性能指標(biāo)的離散化45前面的推導(dǎo)是建立在所有的系統(tǒng)狀態(tài)都可測的基礎(chǔ)之上。如果系統(tǒng)狀態(tài)不完全可測，則必須對系統(tǒng)的狀態(tài)進行估計，設(shè)計狀態(tài)觀測器(預(yù)報、現(xiàn)實、降階)。如果，被控對象的運動被噪聲c干擾，同時在對其輸出進行測量的測量結(jié)果被噪聲c(t)污染，則觀測到的狀態(tài)是不準(zhǔn)確的。為了達到使觀測到的狀態(tài)盡可能的準(zhǔn)確，就必須設(shè)計可以濾除噪聲的觀測器卡爾曼濾波器。x(t)=Ax(t)+Bu(t)+c(t)y (t)=Cx(t)+c(t)假設(shè)噪聲互不相關(guān)，且噪聲的統(tǒng)計特性已知Ec(t)=0；Ec(t)cT(t)=Vc(t-)Ec(t)=0；Ec(t)cT(t)=Wc(t-)卡爾曼濾

17、波46將混入噪聲的被控對象離散化x(t)=Ax(t)+Bu(t)+c(t)y (t)=Cx(t)+c(t)根據(jù)一階微分方程組的解有：設(shè)調(diào)節(jié)器的輸出與被控對象之間有一零階保持器u(t)=u(k) kTt(k+1)T令t0=kT， t=(k+1)T x(k+1)=Fx(k)+Gu(k+1)+d(k) y(k)=Cx(k)+d(k)卡爾曼濾波47根據(jù)給定條件，求取噪聲序列的統(tǒng)計參數(shù)Ed(k)=0， Ed(k)dT(k)=VkjEd(k)=0， Ed(k)dT(k)=Wkjkj=1，k=j；kj=0，kj為了得到對系統(tǒng)狀態(tài)(隨機序列) 較為準(zhǔn)確的估計，應(yīng)將隨機噪聲帶來的干擾降到最低卡爾曼濾波。由于狀態(tài)

18、誤差也是一個隨機量求取其統(tǒng)計參數(shù)協(xié)方差矩陣如果能使協(xié)方差矩陣變得最小，就可使?fàn)顟B(tài)的估計最準(zhǔn)。換言之最優(yōu)估計應(yīng)是在前k次輸出y(k)的條件下，狀態(tài)的期望值?？柭鼮V波48如果記根據(jù)k時刻即k時刻以前的量測值，估計j時刻的狀態(tài)。如果kj：根據(jù)k時刻即k時刻以前的量測值，估計以前的狀態(tài)平滑或內(nèi)插。如果kj：根據(jù)k時刻即k時刻以前的量測值，估計未來的狀態(tài)預(yù)報或外推。如果k=j：根據(jù)k時刻即k時刻以前的量測值，估計當(dāng)前(現(xiàn)時刻)的狀態(tài)濾波?？柭鼮V波49引入說明符號為k-1時刻的狀態(tài)估計為k-1時刻的狀態(tài)估計誤差為k-1時刻的狀態(tài)估計誤差的協(xié)方差矩陣為下一步的預(yù)報估計為下一步的預(yù)報估計誤差卡爾曼濾波50為下一步的預(yù)報估計誤差的協(xié)方差矩陣為k時刻的狀態(tài)估計為k時刻的狀態(tài)估計誤差為下一步的預(yù)報估計誤差的協(xié)方差矩陣卡爾曼濾波51狀態(tài)預(yù)報根據(jù)狀態(tài)方程x(k+1)=Fx(k)+Gu(k+1)+d(k) y(k)=Cx(k)+d(k)卡爾曼濾波52因為Ed(k)=0且因此預(yù)報方程為預(yù)報誤差為卡爾曼濾波53預(yù)報誤差的協(xié)方差設(shè)x(