立體幾何知識梳理線面的位置關系

1、立體幾何知識梳理：線面的位置關系一.基礎知識：(1)公理1:如果一條直線上的兩個點在一個平面內，那么這條直線上所有的點都在 這個平面內。作用：證明直線在平面內。(2)公理2:經過不在同一條直線上三點，有且只有一個平面。(確定一個平面)作用：如何確定一個平面。推論1:經過一條直線和這條直線外一點，有且只有一個平面。推論2:經過兩條相交直線，有且只有一個平面。推論3:經過兩條平行直線，有且只有一個平面。(3)公理3:如果兩個平面有一個公共點，那么它們還有其他公共點，且所有這些公 共點的集合是一條過這個公共點的直線。作用：證明點在直線上。(4)公理4:平行于同一條直線的兩條直線互相平行。作用：證明直

2、線與直線平行。二.直線與平面的位置關系：(1)直線與直線的位置關系：異面線面平行 線面相交現(xiàn)在面外(2)直線與平面的位置關系:線在面內(3)平面與平面的位置關系：.二,：例1 .已知：三條直線兩兩相交，由三個交點，求證：這三條直線共面。例2.已知：平面d、F,直線a、b、c且國。二。，BUS,。匚戶，4 ns二月, 以求證：6與。是異面直線。證明三.有關平行的判定：.直線與直線平行：(1)平行于同一條直線的兩條直線平行；(2)如果一條直線與一個平面平行，經過這條直線的平面與這個平面相交，那么這條 直線與交線平行；(3)如果兩條直線垂直于同一個平面，那么這兩條直線平行；(4)如果兩個平行平面同時

3、與第三個平面相交，那么它們的交線平行；.直線與平面平行：(1)如果平面外的一條直線和這個平面內的一條直線平行，那么這條直線與這個平面 平行；(2)如果兩個平面平行，那么其中一個平面內的直線平行于另一個平面；.平面與平面平行：(1)如果一個平面內的兩條相交直線都平行于另一個平面，那么這兩個平面平行；(2)如果一個平面內的兩條相交直線都平行于另一個平面內的兩條直線，那么這兩個 平面平行。例3.若三個平面兩兩相交有三條交線，則這三條交線平行或共點。例4,已知：正方體ABCD-AiBm 中，、/分別為、AC上的點, H幽:的B = AN:沈，求證：MNR平面阻CC。四.有關垂直的判定.直線與直線垂直：

4、(1)如果兩條平行線中的一條垂直于第三條直線，那么另一條直線也垂直于第三條直線；(2)如果一條直線垂直于一個平面，那么這條直線垂直于平面內的所有直線；(3)三垂線定理：如果平面內的一條直線與這個平面的一條斜線在這個平面內的射影垂直，那么它也與這條斜線垂直；三垂線定理的逆定理：如果平面內的一條直線與這個平面的一條斜線垂直，那么它也與這條斜線在這個平面內的射影垂直；.直線與平面垂直：(1)如果一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直，那么這條直線與這個平面垂直；(2)如果兩條平行線中的一條垂直于一個平面，那么另一條也垂直于這個平面；(3)兩個平面垂直，如果一個平面內的一條直線垂直于交線，那么這條直

5、線垂直于另 一個平面；.平面與平面垂直：(1)如果兩個平面相交所成的二面角為直二面角，那么么這兩個平面垂直；(2)如果一個平面經過另一個平面的垂線，那么這兩個平面垂直；例5.已知：ABCD為矩形，PA，底面ABCD , M、N分別為PC、AB的中點，求證：MN XAB 。五.有關成角問題：.異面直線所成的角：(00。W 900)經過空間任意一點，分別引兩條異面直線a、b的平行線a、 b, a、 b所成的銳角(或直角)叫做異面直線a、b所成的角。.直線與平面所成的角：(0w Q W 900)平面的斜線與它在平面上的射影所成的銳角，叫做斜線與平面所成的角；當線面垂直時，垂線與平面所成的角為直角； 線面平行或線在面內， 規(guī)定線面角為零角。.平面與平面所成的角：1)二面角：從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角。2)二面角的平面角：以二面角的棱上任意一點為端點，分別在兩個半平面內作垂直于棱的射線，這6兩條射線所成的角叫做二面角的平面角。(0。W 180)各種角都用空間向量來求大小。例6.如圖，正方形 ABCD和四邊形 ACEF所在的平面互相垂直，CEAC,EF /AC,AB=也，CE=EF=1.(1)求證：AF /平面BDE ;(2)求證：CFL平面BDE;(3)求：二面角 A-BE-D 的大小。PA = AC=AB2, n為證明：例7.