兩點(diǎn)邊值問題的差分求解

1、微分方程數(shù)值解實(shí)驗(yàn)報(bào)告姓名丁建偉學(xué)號200708020211日期2010.11.25實(shí)驗(yàn)項(xiàng)目兩點(diǎn)邊值問題的差分求解指導(dǎo)教師徐強(qiáng)一、上機(jī)實(shí)驗(yàn)的問題和要求(需求分析):實(shí)驗(yàn)內(nèi)容：分別在步長h=1/20,1/40,1/80,1/160情形下用中心差分格式計(jì)算齊次兩點(diǎn) 邊值問題-u”=f,u(0)=u(1)=0。其中 f(x) = 100*exp(-10*x)，精確解為 u(x)= 1 - (1-exp(-10)*x - exp(-10*x)給出差分解近似精確解在無窮范數(shù)和L2范數(shù)下的誤差階。目的與要求：掌握中心差分格式的程序?qū)崿F(xiàn)掌握分析算法誤差的方法二、程序設(shè)計(jì)的基本思想，原理和算法描述：基本思想及

2、原理：做均勻網(wǎng)格剖分：0 = x x x = 1 x = ih h =01n ，分點(diǎn)， 步長 n在節(jié)點(diǎn)x i處，對微分方程離散化-= f ( x ) dx 2u (x ) - 2 u (x ) + u (x )i+iii-id 2 udx 2h 2 d 4 u+12 dx 4+ O (h 3)iu( xi+1)- 2u( x+ u( xi-i)= f ( x ) + R (u )h 2J i i其中R (u)=ih 2 d 4u12亦+ O(h3)記在節(jié)點(diǎn)xk，k = 0N數(shù)值解為顧 L u := ui+1 2ui + i1則有h ih2比較知七件）：=/（氣）+R（） 所以R （u） = L

3、 u（x.）- R .表示用差分算子Lh代替微分算子L產(chǎn)生的誤差稱之為（局部）截?cái)嗾`差。這里關(guān)于h的階為O（h2）隊(duì)=f （x）汪意ii所以R （u） = Lu（x）-f（x）由此知：（局部）截?cái)嗾`差可視為差分格式，將數(shù)值解換成相應(yīng)真解值后，左端 減右端，再做Taylor展式獲得的（可作為計(jì)算公式）。方程的聯(lián)立形式（中心差分格式）-Ui+1 2ui + Ui-1 = f, i = 1 n -11 hiu = 0, u = 0l0 N矩陣形式 AU = （其中A 是三對角矩陣）又因?yàn)锳是三對稱矩陣，而且符合追趕法的使用條件，故可用追趕法求解U的解。三、主要程序代碼或命令：#include#inc

4、lude#define MAX 200/*預(yù)定義數(shù)組大小*/void main() int n,i;/*初始化階數(shù)n*/float uMAX,yMAX;float FMAX,fMAX,mMAX;float h,x;/*步長和剖分點(diǎn)*/printf(請輸入等分?jǐn)?shù)n值：”)；scanf(%d,&n);/*讀入階數(shù) */h=1/float(n);m1=-0.5;/*使用追趕法求解系數(shù)矩陣三對稱的線性方程組*/for(i=2;i=n-2;i+)mi=-1/(2+mi-1);for(i=1,x=h;x1.0;x+=h,i+)Fi=100*exp(-10*x);fi=1-(1-exp(-10)*x-exp

5、(-10*x); y1=F1/(2/(h*h);for(i=2;i=1;i-)ui=yi-mi*ui+1;for(i=1;i11暮中心差分-OM.32 0 H_0 M_3551 0/7 3 0 0 0一互斧爰差差君差暑差是差暑是是差差芝藝君尹差芒芬著 J唐昭呸鳴店膳招鳴隋寤咨咯宿陷序咯客陷寤咨捋陷啥切 25 1M-56H-398GM-031-52-_b?G 0 5 1 7 8 ? 3 4 4 ? 27 I1H53 61 58 12 4228m-v3s14685 8 13 I I8 3 9 442973 3 2 28 9 94 9 4 29710 0942 0M-.項(xiàng)電用.甬南項(xiàng)珥甬.用頂用旬用

6、質(zhì)用旬旬角角WW 青青至星1青青圭早目育青歪星HZ言肯青青Mr王ieiirA-578682 0.5G7S43 Q.5361130=490723 0,467337 U.443G23 U.41653 H.3954S4 0-371161 0.34G71G 322178 0-297567 0-2728980.248195 0.22343S 0a1986S4 0.173869 0,149057 Q.124233W.O745S7 0.049709 0.024856且直直宜-10|01直宜白HnIH.且直有直直直直IWMHM直直 IzlLklblfcl/ILlrulhul/ltAlhklhuTfcltilL

7、ulhlfcl/ILAIrlhLI |勺勺勺勺勺勺勺勺勺勺勺勺勺勺勺勺勺勺勺勺勺 r_r一 - - - - I - - I - - M_一， - JT一 1 _r一 - - -, ，JT一 I - 二一 -r一 I - - I - M - ,二，!* L J 1 一8 9 -3 3u UJ22 LM出山出出出山III出出山II!出出出山出出1 4 2 uJ 7 2 u_J s 9 02 3 uuu由圖可知：四種步長下無窮范數(shù)分別為：h=1/20時(shí)為e1=0.013742, h=1/40時(shí)為e2=0.003477, h=1/80時(shí)為e3=0.000872，h=1/160時(shí)為e4=0.000218。計(jì)算可得差分解近似精確解在無窮 范數(shù)下誤差階數(shù)為二階(e=maxui)四種步長下 L2 范數(shù)分別為：h=1/20 時(shí)為 e1=0.009277，h=1/40 時(shí)為 e2=0.002342， h=1/80時(shí)為e3=0.000586, h=1/160時(shí)為e4=0.000145。計(jì)算可得差分解近似精確解在L2范數(shù)下誤差階數(shù)為二階。(。=(Z1