固體物理第三章習(xí)題

1、 # 第三章習(xí)題1邏子質(zhì)量為加，間距為d,恢復(fù)力常數(shù)為0的一維簡單晶格，頻率為格波u=Acos(a)t-qna).求該波的總能量，每個原子的時間平均總能量. 懈答格波的總能量為各原子能量的總和，其中第n個原子的動能為2I引丿而該原子與第n+l個原子之間的勢能為0(冷冷+】)2若只考慮最近鄰相互作用，則格波的總能量為-1)2將色=Acos（曲-卯）代入上式得:9I21E-加/彳工sirT(mgd)+/M?工4sirTcot(2+l)qa2以2i2設(shè)T為原子振動的周期，利用sin2cot-cpdt-CDt(2n+1)qasin可得E=mco12(a)t-qna)dt+/?A24jsin22nT02

2、nTG二卄杯+0仆sin誓式中N為原子總數(shù).每個原子的時間平均總能量則為=-marfic+/3A1sin2N42再利用色散關(guān)系=2(i_cosH=lsinmm2便得到每個原子的時間平均能量 2.一維復(fù)式格子，原子質(zhì)量都為加，原子統(tǒng)一編號，任一原子與兩最近鄰的間距不同，力常數(shù)不同,分別為0/和02，晶格常數(shù)為Q，求原子的運動方程及色散關(guān)系.此題實際是一雙原子分子鏈.設(shè)相鄰分子間兩原子的力常數(shù)為02,間距為4分子內(nèi)兩原子力常數(shù)為0廠晶格常數(shù)為Q.第-厶n,n+1,+2個原子的位移分別為知j,%un+1,un+2,第J與第+Z個原子屬于同一種原子，第與第+2個原子屬于同一種原子.第和第+/原子受的力

3、分別為九=禹(冷+1-冷)-01包-粘1)，fn+1=01(%”+2-%”+1)-02(%”+1-%，J，其運動方程分別為2m=02（血+1一冷）01（知-血1）m帀罟=01（如+2竝+1）02（冷+1一血）UH+1設(shè)格波的解分別為Be12丿 代入運動方程，得-mco2A=/72（B-A）+（A-Be-）,-mco25=/?1（Ae-B）+A（B-A）.整理得（A+02_m/）A（角+A*）3=0（/?2+/?嚴）人+（0+角皿2）3=0由于A和E不可能同時為零，因此其系數(shù)行列式必定為零，即（01+02_加/）（01+P2mC2-（02+0淳如）=0解上式可得:2_(A+02)JCU52m22

4、mw_16msin2(0+02)J(A+02)m(、1qa遼丿J1-sin2(A+Q由上式知，存在兩種獨立的格波，聲學(xué)格波的色散關(guān)系為1(A+02),廠1-1鉗角血2qaYim_S+02)dco=vAdq聲學(xué)波在dq的模式數(shù)目dq=27d(oA聲學(xué)波的熱振動能tiGDco)dcoLti(kBT、2其中嚴護一廠云In/TXdx0ex-hcoD燈%和分別為德拜頻率和德拜溫度可由下式德拜頻率求得-Dcodco-f-dco-“亠aJoJo7TVa7TVa聲學(xué)波對熱容的貢獻r_dEA_dVAdTdTam+m.(方a)Dco)d(DJo/鍬屛_1/2、gTx2exdxfl2eI2e2(n-l)LkjTro

5、/Tx2exdx乃方J。ex-l?-+)2,01)(、l/2q(加+阻)Lk在高溫情況下，幺上式化成1/2Lk；Tcd/tx2exdx7ltlJ先求岀高溫時的再求C更容易在甚低溫條件下，（/廠）8,c=_TJox1exdx其中是一常數(shù).晶格的熱容9.求一維簡單晶格的模式密度D(a)一維簡單晶格的色散關(guān)系曲線如圖所示.由色散曲線對稱性可以看岀，dm區(qū)間對應(yīng)兩個同樣大小的波矢區(qū)間q，2加區(qū)間對應(yīng)Z/q個振單位頻率區(qū)間包含的模式數(shù)目定義為模式密度,根據(jù)這一定義可得模式密度為LdqIdqL_dcL_兀da)2龍71由色散關(guān)系得CD2=mm2dcodqCOS將上式代入前式，得到模式密度D()=Lnarm

6、T12-設(shè)一長度為厶的一維簡單晶格，原子質(zhì)量為加，間距為Q,原子間的互作用勢可表示成U(a+)=4cos()a試由簡諧近似求(1)色散關(guān)系(2)模式密度D(3)晶格熱容(列出積分表達式)。求解根據(jù)已知條件，可求原子間的彈性恢復(fù)力系數(shù)將上式代入固體物理教程一維簡單晶格的(3.7)式得到色散關(guān)系CD-2sin(T其中（2）根據(jù)固體物理教程（3.7）式，一維簡單晶格簡正振動格波的色散關(guān)系式為此式表明為g偶函數(shù)。設(shè)D（、）（0分別表示單位頻率間隔內(nèi)和q空間中單位間隔內(nèi)振動方式數(shù)，考慮到振動方式總數(shù)為原子總數(shù)N,可得nJ(:D(e)de=J?D(q)dq=a由丿為常數(shù)得因此Na=5再由1711兀jDco

7、dcoD（a）dq2（）D（q）dq匕DTD（q）=二N恥淫=2Ddqdco_dqcos（）=|l-sin（學(xué)）2%=|曲一”qa式中由此得NaaDco)=2D()(-)-牙dq兀Z27 頻率為Q的格波的熱振動能為tia這個晶格的熱振動能ha)Dco)dcD則晶格的熱容 #13對于一維簡單格子，按德拜模型，求出晶格熱容，并討論高低溫極限。 求解按照德拜模型，格波色散關(guān)系為e=vq由色散曲線對稱性可以看岀，dm區(qū)間對應(yīng)兩個同樣大小的波矢區(qū)間dg。2加區(qū)間對應(yīng)皿個振動模式，單位波矢空間對應(yīng)有Z/2龍個振動模式，dm范圍則包含_IdqL_clqLa乙71aa個振動模式。L71V單位頻率區(qū)間包含的模式

8、數(shù)目定義為模式密度根據(jù)這一定義可得模式密度為D(勁二dzLdq-dco7idco再利用D)d(o二N土式中N為喩子總數(shù)，；為晶格常數(shù)得71現(xiàn)二一Va固體物理教程（3.119）式得其熱容量x=tlCDtico/ekliTdco作變量變換exx2dx（八IF其中在高溫時，兀是小量，上式中被積函數(shù)（八1）2exx2dw（八I）因此，晶格的高溫?zé)崛萘吭谏醯蜏貢r，C”中的被積函數(shù)按二項式定理展開級數(shù)（占-D200X（_?丁2二兀2工必n=則積分gexx2dxo（ex-1）2h=1n=H由此得到低溫時晶格的熱容量C嚴L7ikT3加17.按德拜近似，證明高溫時的晶格熱容1（M）C=3皿川-丄（學(xué)）2vbl2

9、0T求解由固體物理教程_3vVr3fyV_2卅於必Jo在高溫時，T0d,式（3.132）可知exxtdx則在整個積分范圍內(nèi)兀為小量，因此可將上式中被積函數(shù)化簡為eXXXX4X22/1兀2=:7X（1）（RT）2（屛/%）2（丫+蘭）2+三122412將上式代入q的表達式c=v2亍方3叱廠60L2兀請必3T20T咤1（勢一丄（空）2丄（空）31_丄）2代入上式得C廣 # 21.設(shè)某離子晶體中相鄰兩離子的互作用勢能e1bU（門=+rrb為待定常數(shù)，平衡間距ro=3xlO-Om,求膨脹系數(shù)求解、，根據(jù)固體物理教程（3.148）式，線膨脹系數(shù)t/（r）=-+4可近似表示為_冰B仇二式中177=29b尹）=Ao麗B（）.pdr2由平衡條件（字）產(chǎn)（