高中數(shù)學之函數(shù)知識點總結(jié)集大成版

1、學員姓名 ： 年 級： 高三 課時數(shù)：輔導科目 ： 數(shù)學 學科教師： 樂征楠學科組長簽名及日期教務(wù)長簽名及日期課 題 函數(shù)的綜合性質(zhì)授課時間：備課時間： 教學目標基礎(chǔ)知識的掌握，解題能力的培養(yǎng)重點、難點函數(shù)綜合性質(zhì)的判斷與運用考點及考試要求考綱要求教學內(nèi)容函數(shù)知識點總結(jié)1. 函數(shù)的三要素是什么？如何比較兩個函數(shù)是否相同？ （定義域、對應(yīng)法則、值域）相同函數(shù)的判斷方法：表達式相同；定義域一致 (兩點必須同時具備) 2. 求函數(shù)的定義域有哪些常見類型？ 函數(shù)定義域求法：分式中的分母不為零；偶次方根下的數(shù)（或式）大于或等于零；指數(shù)式的底數(shù)大于零且不等于一；數(shù)式的底數(shù)大于零且不等于一，真數(shù)大于零。正切

2、函數(shù) 余切函數(shù) 反三角函數(shù)的定義域函數(shù)的定義域是 ，值域是，函數(shù)的定義域是 ，值域是 ，函數(shù)的定義域是，值域是.函數(shù)的定義域是，值域是.當以上幾個方面有兩個或兩個以上同時出現(xiàn)時，先分別求出滿足每一個條件的自變量的范圍，再取他們的交集，就得到函數(shù)的定義域。3. 如何求復合函數(shù)的定義域義域是 。 復合函數(shù)定義域的求法：已知的定義域為，求的定義域，可由解出x的范圍，即為的定義域。例 若函數(shù)的定義域為，則的定義域為 。4、函數(shù)值域的求法1、直接觀察法對于一些比較簡單的函數(shù)，其值域可通過觀察得到。例 求函數(shù)的值域2、配方法配方法是求二次函數(shù)值域最基本的方法之一。例、求函數(shù)的值域。3、判別式法對二次函數(shù)或

3、者分式函數(shù)（分子或分母中有一個是二次）都可通用，但這類題型有時也可以用其他方法進行化簡，不必拘泥在判別式上面。下面，我把這一類型的詳細寫出來，希望大家能夠看懂4、反函數(shù)法直接求函數(shù)的值域困難時，可以通過求其原函數(shù)的定義域來確定原函數(shù)的值域。例 求函數(shù)值域。5、函數(shù)有界性法直接求函數(shù)的值域困難時，可以利用已學過函數(shù)的有界性，來確定函數(shù)的值域。我們所說的單調(diào)性，最常用的就是三角函數(shù)的單調(diào)性。例 求函數(shù)，的值域。6、函數(shù)單調(diào)性法 通常和導數(shù)結(jié)合，是最近高考考的較多的一個內(nèi)容例求函數(shù)的值域7、換元法通過簡單的換元把一個函數(shù)變?yōu)楹唵魏瘮?shù)，其題型特征是函數(shù)解析式含有根式或三角函數(shù)公式模型。換元法是數(shù)學方法

4、中幾種最主要方法之一，在求函數(shù)的值域中同樣發(fā)揮作用。例 求函數(shù)的值域。8 數(shù)形結(jié)合法例：已知點在圓上，例求函數(shù)的值域。解：原函數(shù)可化簡得：上式可以看成數(shù)軸上點到定點間的距離之和。由上圖可知：當點在線段上時，當點在線段的延長線或反向延長線上時，故所求函數(shù)的值域為：例:求函數(shù)的值域解：原函數(shù)可變形為： 上式可看成軸上的點到兩定點的距離之和，由圖可知當點P為線段與x軸的交點時， 故所求函數(shù)的值域為。9 、不等式法利用基本不等式，求函數(shù)的最值，其題型特征解析式是和式時要求積為定值，解析式是積時要求和為定值，不過有時須要用到拆項、添項和兩邊平方等技巧。例：10 倒數(shù)法有時，直接看不出函數(shù)的值域時，把它倒

5、過來之后，你會發(fā)現(xiàn)另一番境況例 求函數(shù)的值域多種方法綜合運用總之，在具體求某個函數(shù)的值域時，首先要仔細、認真觀察其題型特征，然后再選擇恰當?shù)姆椒ǎ话銉?yōu)先考慮直接法，函數(shù)單調(diào)性法和基本不等式法，然后才考慮用其他各種特殊方法。5. 求一個函數(shù)的解析式或一個函數(shù)的反函數(shù)時，注明函數(shù)的定義域了嗎？ 切記：做題，特別是做大題時， 一定要注意附加條件，如定義域、單位等東西要記得協(xié)商，不要犯我當年的錯誤，與到手的滿分失之交臂 6. 反函數(shù)存在的條件是什么？ （一一對應(yīng)函數(shù)） 求反函數(shù)的步驟掌握了嗎？ （反解x；互換x、y；注明定義域） 在更多時候，反函數(shù)的求法只是在選擇題中出現(xiàn)，這就為我們這些喜歡偷懶的人

6、提供了大方便。請看這個例題：(2004.全國理)函數(shù)的反函數(shù)是（ B ）ABCD7. 反函數(shù)的性質(zhì) 反函數(shù)性質(zhì)：反函數(shù)的定義域是原函數(shù)的值域 （可擴展為反函數(shù)中的對應(yīng)原函數(shù)中的）反函數(shù)的值域是原函數(shù)的定義域（可擴展為反函數(shù)中的對應(yīng)原函數(shù)中的）反函數(shù)的圖像和原函數(shù)關(guān)于直線對稱 互為反函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱； 保存了原來函數(shù)的單調(diào)性、奇函數(shù)性； 由反函數(shù)的性質(zhì)，可以快速的解出很多比較麻煩的題目，如（04. 上海春季高考）已知函數(shù)，則方程的解_.8. 如何用定義證明函數(shù)的單調(diào)性？（取值、作差、判正負）判斷函數(shù)單調(diào)性的方法有三種：(1)定義法：根據(jù)定義，設(shè)任意得，找出之間的大小關(guān)系可以變形為求的正負號

7、或者與1的關(guān)系(2)參照圖象：若函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱，函數(shù)在關(guān)于點的對稱區(qū)間具有相同的單調(diào)性； （特例：奇函數(shù)）若函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，則函數(shù)在關(guān)于點的對稱區(qū)間里具有相反的單調(diào)性。（特例：偶函數(shù)）(3)利用單調(diào)函數(shù)的性質(zhì)：函數(shù)與(是常數(shù))是同向變化的函數(shù)與(是常數(shù))，當時，它們是同向變化的；當時，它們是反向變化的。如果函數(shù)同向變化，則函數(shù)和它們同向變化；（函數(shù)相加）如果正值函數(shù)同向變化，則函數(shù)和它們同向變化；如果負值函數(shù)同向變化，則函數(shù)和它們反向變化；（函數(shù)相乘）函數(shù)與在的同號區(qū)間里反向變化。若函數(shù)，與函數(shù)，或同向變化，則在上復合函數(shù)是遞增的；若函數(shù),與函數(shù)，或反向變化，則在 上復合函數(shù)是遞

8、減的。（同增異減）若函數(shù)是嚴格單調(diào)的，則其反函數(shù)也是嚴格單調(diào)的，而且它們的增減性相同。都是正數(shù)增增增增增增減減/減增減/減減增減減 9. 函數(shù)具有奇偶性的必要（非充分）條件是什么？ （定義域關(guān)于原點對稱） 注意如下結(jié)論： （1）在公共定義域內(nèi)：兩個奇函數(shù)的乘積是偶函數(shù)；兩個偶函數(shù)的乘積是偶函數(shù)；一個偶函數(shù)與奇函數(shù)的乘積是奇函數(shù)。 , ,判斷函數(shù)奇偶性的方法定義域法一個函數(shù)是奇（偶）函數(shù)，其定義域必關(guān)于原點對稱，它是函數(shù)為奇（偶）函數(shù)的必要條件.若函數(shù)的定義域不關(guān)于原點對稱，則函數(shù)為非奇非偶函數(shù).奇偶函數(shù)定義法在給定函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱的前提下，計算，然后根據(jù)函數(shù)的奇偶性的定義判斷其奇偶性.

9、復合函數(shù)奇偶性奇奇奇奇偶奇偶偶非奇非偶奇偶奇偶非奇非偶奇偶偶偶偶偶10. 你熟悉周期函數(shù)的定義嗎？ 函數(shù)，T是一個周期。） 我們在做題的時候，經(jīng)常會遇到這樣的情況：告訴你,我們要馬上反應(yīng)過來，這時說這個函數(shù)周期. 推導：，同時可能也會遇到這種樣子：,或者說.其實這都是說同樣一個意思：函數(shù)關(guān)于直線對稱， 對稱軸可以由括號內(nèi)的2個數(shù)字相加再除以2得到。比如，,或者說就都表示函數(shù)關(guān)于直線對稱。 11. 你掌握常用的圖象變換了嗎？ 聯(lián)想點, 聯(lián)想點, 聯(lián)想點, 聯(lián)想點, 聯(lián)想點, 聯(lián)想點, 注意如下“翻折”變換： 12. 你熟練掌握常用函數(shù)的圖象和性質(zhì)了嗎？ (為斜率，為直線與軸的交點) 的雙曲線。

10、應(yīng)用：“三個二次”（二次函數(shù)、二次方程、二次不等式）的關(guān)系二次方程求閉區(qū)間上的最值。 求區(qū)間定（動），對稱軸動（定）的最值問題。 一元二次方程根的分布問題。 由圖象記性質(zhì)！ （注意底數(shù)的限定?。?利用它的單調(diào)性求最值與利用均值不等式求最值的區(qū)別是什么？（均值不等式一定要注意等號成立的條件）13. 如何解抽象函數(shù)問題？ （賦值法、結(jié)構(gòu)變換法） （對于這種抽象函數(shù)的題目，其實簡單得都可以直接用死記了代y=x，令x=0或1來求出f(0)或f(1)求奇偶性，令y=x；求單調(diào)性：令x+y=x1 幾類常見的抽象函數(shù) 正比例函數(shù)型的抽象函數(shù) -冪函數(shù)型的抽象函數(shù) -指數(shù)函數(shù)型的抽象函數(shù) - 對數(shù)函數(shù)型的抽象

11、函數(shù)-；三角函數(shù)型的抽象函數(shù)- - 例1已知函數(shù)f（x）對任意實數(shù)x、y均有f（xy）f（x）f（y），且當x0時，f(x)0，f(1) 2求f(x)在區(qū)間2,1上的值域.分析：先證明函數(shù)f（x）在R上是增函數(shù)（注意到f（x2）f（x2x1）x1f（x2x1）f（x1）；再根據(jù)區(qū)間求其值域.例2已知函數(shù)f（x）對任意實數(shù)x、y均有f（xy）2f（x）f（y），且當x0時，f(x)2，f(3) 5，求不等式 f（a22a2）0,xN；f（ab） f（a）f（b），a、bN；f（2）4.同時成立？若存在，求出f（x）的解析式，若不存在，說明理由.分析：先猜出f（x）2x；再用數(shù)學歸納法證明.例6設(shè)

12、f（x）是定義在（0，）上的單調(diào)增函數(shù)，滿足f（xy）f（x）f（y），f（3）1，求：f（1）；若f（x）f（x8）2，求x的取值范圍.分析：（1）利用313；（2）利用函數(shù)的單調(diào)性和已知關(guān)系式.例7設(shè)函數(shù)y f（x）的反函數(shù)是yg（x）.如果f（ab）f（a）f（b），那么g（ab）g（a）g（b）是否正確，試說明理由.分析：設(shè)f（a）m，f（b）n，則g（m）a，g（n）b，進而mnf（a）f（b） f（ab）f g（m）g（n）.例8已知函數(shù)f（x）的定義域關(guān)于原點對稱，且滿足以下三個條件：x1、x2是定義域中的數(shù)時，有f（x1x2）；f（a） 1（a0，a是定義域中的一個數(shù)）；當0

13、x2a時，f（x）0. 試問：f（x）的奇偶性如何？說明理由；在（0，4a）上，f（x）的單調(diào)性如何？說明理由. 分析：（1）利用f （x1x2） f （x1x2），判定f（x）是奇函數(shù)；先證明f（x）在（0，2a）上是增函數(shù)，再證明其在（2a，4a）上也是增函數(shù). 對于抽象函數(shù)的解答題，雖然不可用特殊模型代替求解，但可用特殊模型理解題意.有些抽象函數(shù)問題，對應(yīng)的特殊模型不是我們熟悉的基本初等函數(shù).因此，針對不同的函數(shù)要進行適當變通，去尋求特殊模型，從而更好地解決抽象函數(shù)問題. 例9已知函數(shù)f（x）（x0）滿足f（xy）f（x）f（y），求證：f（1）f（1）0；求證：f（x）為偶函數(shù)；若f（

14、x）在（0，）上是增函數(shù)，解不等式f（x）f（x）0.分析：函數(shù)模型為：f（x）loga|x|（a0）先令xy1，再令xy 1；令y 1；由f（x）為偶函數(shù)，則f（x）f（|x|）.例10已知函數(shù)f（x）對一切實數(shù)x、y滿足f（0）0，f（xy）f（x）f（y），且當x0時，f（x）1，求證：當x0時，0f（x）1；f（x）在xR上是減函數(shù).分析：（1）先令xy0得f（0）1，再令yx；受指數(shù)函數(shù)單調(diào)性的啟發(fā)：由f（xy）f（x）f（y）可得f（xy），進而由x1x2，有f（x1x2）1.練習題：1.已知：f（xy）f（x）f（y）對任意實數(shù)x、y都成立，則（ ）（A）f（0）0 （B）f（0）1 （C）f（0）0或1 （D）以上都不對2. 若對任意實數(shù)x、y總有f（xy）f（x）f（y），則下列各式中錯誤的是（ ）（A）f（1）0 （B）f（） f（x） （C）f（） f（x）f（y） （D）f（xn）nf（x）（nN）3.已知函數(shù)f（x）對一切實數(shù)x、y滿足：f（0）0，f（xy）f（x）f（y），且當x0時，f（x）1，則當x0時，f（x）的取值范圍是（ ）（A）（1，） （B）（，1）