新高考高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)鞏固練習(xí)7.1第56練《基本立體圖形、簡(jiǎn)單幾何體的表面積與體積》（解析版）

1、專題7立體幾何與空間向量第56練基本立體圖形、簡(jiǎn)單幾何體的表面積與體積考點(diǎn)一基本立體圖形1(多選)給出下列命題正確的是()A用一個(gè)平面去截圓錐，得到一個(gè)圓錐和一個(gè)圓臺(tái)B圓錐的頂點(diǎn)、底面圓的圓心與圓錐底面圓周上任意一點(diǎn)這三點(diǎn)的連線都可以構(gòu)成直角三角形C一直角梯形繞下底所在直線旋轉(zhuǎn)一周，所形成的曲面圍成的幾何體是圓臺(tái)D圓柱的任意兩條母線所在的直線是互相平行的答案BD解析只有在平面平行于圓錐底面時(shí)，才能將圓錐截為一個(gè)圓錐和一個(gè)圓臺(tái)，所以A錯(cuò)；由圓錐的性質(zhì)可知B正確；直角梯形繞下底所在直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體是由一個(gè)圓柱與一個(gè)圓錐組成的簡(jiǎn)單組合體，如圖所示，所以C錯(cuò)；由圓柱的定義可知D正確2(多選)

2、已知一個(gè)正方形的直觀圖是一個(gè)平行四邊形，其中有一邊長(zhǎng)為4，則此正方形的面積可能為()A16 B64C32 D無(wú)法確定答案AB解析根據(jù)題意，正方形的直觀圖如圖所示， 若直觀圖中平行四邊形的邊AB4，則原正方形的邊長(zhǎng)為ABAB4，所以該正方形的面積S4416；若直觀圖中平行四邊形的邊AD4，則原正方形的邊長(zhǎng)為AD2AD8，所以該正方形的面積S8864.3(2022上海市徐匯區(qū)模擬)在四面體ABCD中，ABBCCA1，DA與直線AB，CA均垂直，且DAeq r(3)，一只螞蟻從ABC的中心沿表面爬至點(diǎn)D，則其爬過(guò)的路程最小值為()A.eq f(r(39),3) B.eq f(r(15),2)eq f

3、(r(3),6)C.eq f(4r(3),3) D.eq f(r(37),3)答案A解析因?yàn)镈AAB，DAAC，ABACA，AB，AC平面ABC，所以DA平面ABC，又DA平面DAC，所以平面DAC平面ABC，將底面ABC以AC為軸旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)至平面DAC與平面ABC共面，且平面DAC與平面ABC位于AC的異側(cè)，如圖，點(diǎn)O為ABC的中心，此時(shí)OD的直線距離即為最短距離，設(shè)O到直線AC的距離為d，則deq f(1,3)eq r(12blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)2)eq f(r(3),6)，所以O(shè)Deq r(blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)2blc(rc)(avs

4、4alco1(r(3)f(r(3),6)2)eq f(r(39),3).考點(diǎn)二表面積與體積4正六棱柱的底面邊長(zhǎng)為2，最長(zhǎng)的一條對(duì)角線長(zhǎng)為2eq r(5)，則它的表面積為()A4(3eq r(3)4) B12(eq r(3)2)C12(2eq r(3)1) D3(eq r(3)8)答案B解析正六棱柱的底面邊長(zhǎng)為2，最長(zhǎng)的一條對(duì)角線長(zhǎng)為2eq r(5)，則高為BB1eq r(2r(5)2222)2，它的表面積為S底6S矩形26eq f(1,2)22sin eq f(,3)62212eq r(3)2412(eq r(3)2)5.(2022蘇州模擬)陀螺指的是繞一個(gè)支點(diǎn)高速轉(zhuǎn)動(dòng)的幾何體，是中國(guó)民間最早

5、的娛樂工具之一傳統(tǒng)陀螺大致是木或鐵制的倒圓錐形，玩法是用鞭子抽中國(guó)是陀螺的老家，從中國(guó)山西夏縣新石器時(shí)代的遺址中就發(fā)掘了石制的陀螺如圖，一個(gè)正放的陀螺，下半部分為圓錐，上半部分為同底圓柱其總高度為8 cm，圓柱部分高度為6 cm，已知該陀螺由密度為0.7 g/cm3的木質(zhì)材料做成，其總質(zhì)量為70 g，則最接近此陀螺圓柱底面半徑的長(zhǎng)度為() A2.0 cm B2.2 cmC2.4 cm D2.6 cm答案B解析由題意知該陀螺由密度為0.7 g/cm3的木質(zhì)材料做成，其總質(zhì)量為70 g，可得該陀螺的總體積為eq f(70,0.7)100(cm3)，設(shè)底面半徑為r，則r26eq f(1,3)r2(8

6、6)100，解得req r(f(15,)2.2(cm)6某圓錐的側(cè)面展開圖是一個(gè)半徑為4的半圓，正方體ABCDA1B1C1D1內(nèi)接于這個(gè)圓錐的內(nèi)切球，則該圓錐的體積與正方體ABCDA1B1C1D1的體積的比值為()A4 B.eq f(9r(3),8) C4eq r(3) D24eq r(3)答案B解析根據(jù)題意，設(shè)圓錐的底面半徑為r，則2r4，得r2，圓錐的軸截面是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，其內(nèi)切圓半徑為4eq f(r(3),2)eq f(1,3)eq f(2r(3),3)，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a，則eq f(2r(3),3)2eq r(3)a，得aeq f(4,3)，正方體的體積為eq f(64,27

7、)，又圓錐的高h(yuǎn)eq r(4222)2eq r(3)，則體積為eq f(8r(3),3)，圓錐的體積與正方體ABCDA1B1C1D1的體積的比值為eq f(9r(3),8).7(多選)(2022濟(jì)南一中模擬)下列說(shuō)法正確的是()A若球的表面積為36 cm2，則其體積為36 cm3B正三棱柱底面邊長(zhǎng)為2，側(cè)棱長(zhǎng)為3，則其表面積為18C正六棱臺(tái)的上、下底面邊長(zhǎng)分別是2 cm和6 cm，側(cè)棱長(zhǎng)是5 cm，則其表面積為(60eq r(3)24eq r(21) cm2D正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為3eq r(2)，側(cè)棱長(zhǎng)為5，則其體積為24答案ACD解析對(duì)于A，設(shè)球的半徑為R，因?yàn)榍虻谋砻娣e為36 cm2，可得

8、4R236，解得R3 cm，所以球的體積Veq f(4,3)R3eq f(4,3)3336(cm3)，所以A正確；對(duì)于B，因?yàn)檎庵酌孢呴L(zhǎng)為2，側(cè)棱長(zhǎng)為3，可得其表面積SS底S側(cè)2eq f(r(3),4)223232eq r(3)18，所以B不正確；對(duì)于C，正六棱臺(tái)的上、下底面邊長(zhǎng)分別是2 cm和6 cm，側(cè)棱長(zhǎng)是5 cm，可得正六棱臺(tái)的斜高h(yuǎn)eq r(21) cm，則上底面面積為S16eq f(r(3),4)226eq r(3) (cm2)，下底面面積為S26eq f(r(3),4)6254eq r(3) (cm2)，側(cè)面積為S36eq f(1,2)(26)eq r(21)24eq r(

9、21) (cm2)，所以六棱臺(tái)的表面積SS1S2S3(60eq r(3)24eq r(21) cm2，所以C正確；對(duì)于D，由正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為3eq r(2)，可得對(duì)角線長(zhǎng)為6，又由側(cè)棱長(zhǎng)為5，所以正四棱錐的高h(yuǎn)eq r(5232)4，所以體積Veq f(1,3)Sheq f(1,3)3eq r(2)3eq r(2)424，所以D正確8已知正四棱臺(tái)兩底面邊長(zhǎng)分別為4 cm,8 cm，側(cè)棱長(zhǎng)為8 cm，則它的側(cè)面積為_ cm2.答案48eq r(15)解析作出正四棱臺(tái)的一個(gè)側(cè)面，如圖，設(shè)E，F(xiàn)分別為AD，BC的中點(diǎn)，過(guò)D作DGBC于點(diǎn)G.由題知AD4 cm，BC8 cm，CD8 cm，得DE2

10、 cm，F(xiàn)C4 cm，解得GC2 cm，在RtDGC中，DGeq r(8222)2eq r(15)(cm)，即斜高為2eq r(15) cm，所以所求側(cè)面積為4eq f(1,2)(48)2eq r(15)48eq r(15)(cm2)9如圖所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，若E，F(xiàn)分別為AB，AC的中點(diǎn)，平面EB1C1F將三棱柱分成體積為V1和V2的兩部分，那么V1V2_.答案75解析設(shè)三棱柱ABCA1B1C1的高為h，底面積為S，體積為V，則VV1V2Sh，因?yàn)镋，F(xiàn)分別為AB，AC的中點(diǎn)，所以SAEFeq f(1,4)S，所以V1eq f(1,3)eq blc(rc)(avs4alco1

11、(Sf(1,4)Sr(Sf(1,4)S)heq f(7,12)Sh，V2VV1eq f(5,12)Sh，所以V1V275.10(2022連云港模擬)市面上出現(xiàn)某種如圖所示的冰激凌，它的下方可以看作一個(gè)圓臺(tái)，上方可以看作一個(gè)圓錐組成的組合圖形，經(jīng)過(guò)測(cè)量，圓臺(tái)上底面的半徑為4 cm，下底半徑為2 cm，深為6 cm，上方的圓錐高為9 cm，則此冰激凌的體積為_ cm3. 答案104解析設(shè)圓臺(tái)上底面半徑r14 cm，下底面半徑r22 cm，圓臺(tái)的體積V1eq f(1,3)(req oal(2,1)req oal(2,2)r1r2)h1eq f(1,3)(1648)656(cm3)，圓錐的體積V2eq

12、 f(1,3)req oal(2,1)h2eq f(1,3)16948(cm3)，所以冰激凌的體積V5648104(cm3)11(多選)某班級(jí)到一工廠參加社會(huì)實(shí)踐勞動(dòng)，加工出如圖所示的圓臺(tái)O1O2，在軸截面ABCD中，ABADBC2 cm，且CD2AB，下列說(shuō)法正確的有()A該圓臺(tái)軸截面ABCD的面積為3eq r(3) cm2B該圓臺(tái)的體積為eq f(7r(3),3) cm3C該圓臺(tái)的母線AD與下底面所成的角為30D沿著該圓臺(tái)表面，從點(diǎn)C到AD中點(diǎn)的最短距離為5 cm答案ABD解析由ABADBC2 cm，且CD2AB，可得CD4 cm，高O1O2eq r(4blc(rc)(avs4alco1(

13、f(42,2)2)eq r(3) cm，則圓臺(tái)軸截面ABCD的面積為eq f(1,2)(24)eq r(3)3eq r(3)(cm2)，故A正確；圓臺(tái)的體積Veq f(1,3)(142)eq r(3)eq f(7r(3),3)(cm3)，故B正確；圓臺(tái)的母線AD與下底面所成的角為ADO1，其正弦值為eq f(r(3),2)，所以ADO160，故C錯(cuò)誤；由圓臺(tái)補(bǔ)成圓錐，可得大圓錐的母線長(zhǎng)為4 cm，底面半徑為2 cm，側(cè)面展開圖的圓心角為eq f(22,4)，設(shè)AD的中點(diǎn)為P，連接CP，可得COP90，OC4 cm，OP213(cm)，則CPeq r(4232)5(cm)，所以沿著該圓臺(tái)表面，從

14、點(diǎn)C到AD中點(diǎn)的最短距離為5 cm，故D正確12.(多選)(2022濟(jì)南模擬)如圖所示，正方體ABCDABCD的棱長(zhǎng)為1，E，F(xiàn)分別是棱AA，CC的中點(diǎn)，過(guò)直線EF的平面分別與棱BB，DD交于點(diǎn)M，N，以下四個(gè)命題中正確的是() A.eq o(MN,sup6()eq o(EF,sup6()0B|eq o(ME,sup6()|eq o(NE,sup6()|C四邊形MENF的面積的最小值與最大值之比為23D四棱錐AMENF與多面體ABCDEMFN的體積之比為13答案ABD解析對(duì)于A選項(xiàng)，如圖，連接BD，BD，MN.由題意得EFBD，EFBB，BDBBB，所以EF平面BDDB，又MN平面BDDB，所

15、以EFMN，因此eq o(MN,sup6()eq o(EF,sup6()0，故A正確；對(duì)于B選項(xiàng)，由正方體性質(zhì)得，平面BCCB平面ADDA，平面BCCB平面EMFNMF，平面ADDA平面EMFNEN, 所以MFEN，同理得MENF，又EFMN，所以四邊形MENF為菱形，因此|eq o(ME,sup6()|eq o(NE,sup6()|，故B正確；對(duì)于C選項(xiàng)，由選項(xiàng)B易得四邊形MENF的面積Seq f(1,2)MNEF，所以當(dāng)點(diǎn)M，N分別為BB，DD的中點(diǎn)時(shí)，四邊形MENF的面積S最小，此時(shí)MNEFeq r(2)，即面積S的最小值為1；當(dāng)點(diǎn)M，N分別與點(diǎn)B(或點(diǎn)B)，D(或D)重合時(shí)，四邊形ME

16、NF的面積S最大，此時(shí)MNeq r(3)，即面積S的最大值為eq f(r(6),2)，所以四邊形MENF的面積最小值與最大值之比為2eq r(6)，故C不正確；對(duì)于D選項(xiàng)，四棱錐AMENF的體積為V1VMAEFVNAEFeq f(1,3)DBSAEFeq f(1,3)eq r(2)eq f(r(2),4)eq f(1,6)；因?yàn)镋，F(xiàn)分別是AA，CC的中點(diǎn)，所以BMDN，DNBM，于是被截面MENF平分的兩個(gè)多面體是完全相同的，則它們的體積也是相同的，因此多面體ABCDEMFN的體積V2eq f(1,2)V正方體ABCDABCDeq f(1,2)，所以四棱錐AMENF與多面體ABCDEMFN的

17、體積之比為13，故D正確13.(2022衡水中學(xué)模擬)如圖所示，某幾何體由底面半徑和高均為5的圓柱與半徑為5的半球?qū)佣?，在該封閉幾何體內(nèi)部放入一個(gè)小圓柱體，且小圓柱體的上、下底面均與外層圓柱的底面平行，則小圓柱體積的最大值為_答案eq f(4 000,27)解析小圓柱的高分為上、下兩部分，上部分的高同大圓柱的高相等且為5，下部分深入底部半球內(nèi)設(shè)小圓柱下部分的高為h(0h5)，底面半徑為r(0r5)由于r，h和球的半徑構(gòu)成直角三角形，即r2h252，所以小圓柱體積Vr2(h5)(25h2)(h5)(0h5)，V(3h5)(h5)當(dāng)0h0，體積V單調(diào)遞增；當(dāng)eq f(5,3)h5時(shí)，V0，體積V單調(diào)遞減所以當(dāng)heq f(5,3)時(shí)，小圓柱的體積取得最大值，即Vmaxeq