精選小學(xué)六年級(jí)奧數(shù)詳解-工程問(wèn)題

1、精選小學(xué)六年級(jí)奧數(shù)詳解-工程問(wèn)題第一講 工程問(wèn)題工程問(wèn)題是應(yīng)用題中的一種類型在工程問(wèn)題中，一般要出現(xiàn)三個(gè)量：工作總量、工作時(shí)間（完成工作總量所需的時(shí)間）和工作效率（單位時(shí)間內(nèi)完成的工作量）這三個(gè)量之間有下述一些關(guān)系式：工作效率工作時(shí)間工作總量，工作總量工作時(shí)間工作效率，工作總量工作效率工作時(shí)間為敘述方便，把這三個(gè)量簡(jiǎn)稱工量、工時(shí)和工效例1 一項(xiàng)工程，甲乙兩隊(duì)合作需12天完成，乙丙兩隊(duì)合作需15天完成，甲丙兩隊(duì)合作需20天完成，如果由甲乙丙三隊(duì)合作需幾天完成？分析 設(shè)這項(xiàng)工程為1個(gè)單位，則甲、乙合作的工效為，乙、丙合作的工效為，甲、丙合作的工效為。因此甲、乙、丙三隊(duì)合作的工效的2倍為，所以甲、乙

2、、丙三隊(duì)合作的工效為（）2=。因此三隊(duì)合作完成這項(xiàng)工程的時(shí)間為1=10（天）解：1（）2=10（天）答：甲、乙、丙三隊(duì)合作需10天完成說(shuō)明：我們通常把工量“一項(xiàng)工程”看成一個(gè)單位，這樣，工效就用工時(shí)的倒數(shù)來(lái)表示。如例1中甲、乙兩隊(duì)合作的工時(shí)為12天，那么工效就為，它表示甲、乙兩隊(duì)一天完成全部工程的。例2 師徒二人合作生產(chǎn)一批零件，6天可以完成任務(wù)師傅先做5天后，因事外出，由徒弟接著做3天，共完成任務(wù)的批零件各需幾天？分析設(shè)一批零件為單位“”，其中天完成任務(wù)，用表示師徒的工效和要求每人單獨(dú)做各需幾天，首先要求出各自的工效，關(guān)鍵在于把師傅先做5天，接著徒弟做3天轉(zhuǎn)化為師徒二人合作3天，師傅再做2天

3、解：師傅工效：（）；徒弟工效：；師傅單獨(dú)做需幾天：10（天） 徒弟單獨(dú)做需幾天：115（天）。答：如果單獨(dú)做，師傅需10天，徒弟需15天例3 一項(xiàng)工程，甲單獨(dú)完成需12天，乙單獨(dú)完成需9天若甲先做若干天后乙接著做，共用10天完成，問(wèn)甲做了幾天？分析 解答工程問(wèn)題時(shí)，除了用一般的算術(shù)方法解答外，還可以根據(jù)題目的條件，找到等量關(guān)系，列方程解題。解：設(shè)甲做了x天那么，甲完成工作量的，乙做的天數(shù)10，乙完成工作量（10），因此（10）=1，兩邊同乘36，得到：3x404x36x4答：甲做了4天例4 一件工作甲先做6小時(shí)，乙接著做12小時(shí)可以完成；甲先做8小時(shí)，乙接著做6小時(shí)也可以完成如果甲做3小時(shí)后由

4、乙接著做，還需要多少小時(shí)完成？分析 設(shè)一件工作為單位“1”甲做6小時(shí)，乙再做12小時(shí)完成或者甲先做8小時(shí)，乙再做6小時(shí)都可完成，用圖表示它們的關(guān)系如下： 由圖不難看出甲2小時(shí)工作量乙6小時(shí)工作量，甲1小時(shí)工作量乙3小時(shí)工作量可用代換方法求解問(wèn)題解：若由乙單獨(dú)做共需幾小時(shí)：631230（小時(shí)）若由甲單獨(dú)做需幾小時(shí)：86310（小時(shí)）甲先做3小時(shí)后乙接著做還需幾小時(shí)：（103） 321（小時(shí)）答：乙還需21小時(shí)完成例5 筑路隊(duì)預(yù)計(jì)30天修一條公路先由18人修12天只完成全部工程的。如果想提前6天完工，還需增加多少人？分析 由18人修12天完成了全部工程的，可通過(guò)1812求出用一天完成工作量共需要的

5、總?cè)藬?shù)，也可通過(guò)1812求出用一人完成工作量共需要的總天數(shù)。所以由（1812）求出1人1天完成全部工程的幾分之幾（即一人的工效）。解：1人1天完成全部工程的幾分之幾（即一人的工效）： （182）=剩余工作量若要提前6天完成共需多少人：（1）（30126）=36（人）需增加幾人：361818（人）答：還要增加18人例6 蓄水池有一條進(jìn)水管和一條排水管要灌滿一池水，單開(kāi)進(jìn)水管需5小時(shí)排光一池水，單開(kāi)排水管需3小時(shí)現(xiàn)在池內(nèi)有半池水，如果按進(jìn)水，排水，進(jìn)水，排水的順序輪流各開(kāi)1小時(shí)問(wèn)：多長(zhǎng)時(shí)間后水池的水剛好排完？（精確到分鐘）分析與解答 在解答“水管注水”問(wèn)題時(shí)，會(huì)出現(xiàn)一個(gè)進(jìn)水管，一個(gè)出水管的情況若進(jìn)

6、水管、出水管同時(shí)開(kāi)放，則積滿水的時(shí)間1（進(jìn)水管工效出水管工效）。排空水的時(shí)間1（出水管工效進(jìn)水管工效）這道應(yīng)用題是分析推理與計(jì)算相結(jié)合的題目根據(jù)已知條件推出水池中的水每小時(shí)減少=。水池中有半池水即，經(jīng)過(guò)6小時(shí)后還剩（62）=。如果按進(jìn)水、排水的順序進(jìn)行，則又應(yīng)進(jìn)水1小時(shí)，這時(shí)水池內(nèi)共有水=。如果按每小時(shí)的流速排出需要=（小時(shí)），共用的時(shí)間為61=7.9（小時(shí)）=7小時(shí)54分剛好排完。例7 一件工作，甲5小時(shí)先完成了，乙6小時(shí)又完成了剩下任務(wù)的一半，最后余下的部分由甲、乙合作，還需要多少時(shí)間才能完成？分析 這道題是工程問(wèn)題與分?jǐn)?shù)應(yīng)用題的復(fù)合題解題時(shí)先要分別求出甲、乙工作效率，再把余下的工作量轉(zhuǎn)化

7、為占單位“1”（總工作量）的幾分之幾？解：甲工作效率：5=；乙工作效率：（1）6=；余下部分甲、乙合作需要幾小時(shí)：（1）（1）（）=（小時(shí)）答：還需要小時(shí)才能完成任務(wù)。 例8 甲、乙二人植樹(shù)，單獨(dú)植完這批樹(shù)甲比乙所需要的時(shí)間多，如果二人一起干，完成任務(wù)時(shí)乙比甲多植樹(shù)36棵，這批樹(shù)一共多少棵？分析 求這批樹(shù)一共多少棵，必須找出與36棵所對(duì)應(yīng)的甲、乙工效差。乙知甲比乙所用的時(shí)間多，可以求出甲與乙所用的時(shí)間比為4：3。當(dāng)工作總量一定的情況下，工效與工時(shí)成反比例，甲與乙的工時(shí)比為：1=4：3，所以甲與乙的工效比是3：4。這個(gè)間接條件一旦揭示出來(lái)，問(wèn)題就得到解決了。解：設(shè)乙所用時(shí)間為“1”，甲的時(shí)間是乙

8、的1=（倍），則甲與乙的時(shí)間比是4：3。工作總量一定，工作效率和工作時(shí)間成反比例，所以甲與乙的工效比是時(shí)間比的反比，為34。共植樹(shù)多少棵：36（）=252（棵）答：這批樹(shù)一共252棵例9 加工一批零件，甲、乙合作24天可以完成?，F(xiàn)在由甲先做16天，然后乙再做12天，還剩下這批零件的沒(méi)有完成。乙知甲每天比乙多加工3個(gè)零件，求這批零件共多少個(gè)？分析 欲求這批零件共多少個(gè)，由題中條件只需知道甲、乙二人每天共做多少個(gè)即可，然后這就轉(zhuǎn)化為求甲、乙兩人單獨(dú)做各需多少天，有了這個(gè)結(jié)論后，只需算出3個(gè)零件相當(dāng)于總數(shù)的幾分之幾即可由條件知甲做16天，乙做12天共完成工程的，也即相當(dāng)于甲、乙二人合做12天，另外加

9、上甲又做4天共完成這批零件的；又知道甲、乙二人合做24天可以完成，因此甲單獨(dú)做所用天數(shù)可求出，那么乙單獨(dú)做所用天數(shù)也就迎刃而解。解：甲、乙合作12天，完成了總工程的幾分之幾？ 12=甲1天能完成全工程的幾分之幾？ （）（1612）=乙1天可完成全工程的幾分之幾？=這批零件共多少個(gè)？3（）=360（個(gè)）答：這批零件共360個(gè)例10 一項(xiàng)工程，甲單獨(dú)做要12小時(shí)完成，乙單獨(dú)做要18小時(shí)完成若甲先做1小時(shí)，然后乙接替甲做1小時(shí)，再由甲接替乙做1小時(shí)，兩人如此交替工作，問(wèn)完成任務(wù)時(shí)，共用了多少小時(shí)？分析 要求共用多少小時(shí)？可以設(shè)想把這些小時(shí)重新分配：甲做1小時(shí)，乙做1小時(shí)，它們相當(dāng)于合作1小時(shí)，也即是

10、每2小時(shí)，相當(dāng)于合做1小時(shí)這樣先大致算一下一共進(jìn)行了多少個(gè)這樣的2小時(shí)，余下部分問(wèn)題就好解決了解：若甲、乙兩人合作共需多少小時(shí)？ 1（）=（小時(shí)）甲、乙兩人各單獨(dú)做7小時(shí)后，還剩多少？ 17（）=余下的由甲單獨(dú)做需要多少小時(shí)？ =（小時(shí)）共用了多少小時(shí)？ 72=（小時(shí)） 答：共用了小時(shí)。習(xí)題一1，一項(xiàng)工程，甲單獨(dú)做12天可以完成如果甲單獨(dú)做3天，余下工作由乙去做，乙再用6天可以做完問(wèn)若甲單獨(dú)做6天，余下工作乙要做幾天？2，一條水渠，甲乙兩隊(duì)合挖30天完工現(xiàn)在合挖12天后，剩下的由乙隊(duì)挖，又用24天挖完這條水渠由乙單獨(dú)挖，需要多少天3，客車與貨車同時(shí)從甲、乙兩站相對(duì)開(kāi)出，經(jīng)2小時(shí)24分鐘相遇，相遇時(shí)客車比貨車多行9.6千米已知客車從甲站到乙站行4小時(shí)30分鐘，求客車與貨車的速度各是多少？4，水箱上裝有甲、乙兩個(gè)注水管單開(kāi)甲管20分鐘可以注滿全箱?，F(xiàn)在兩管同時(shí)注水2.5分鐘，注滿水箱的。如果單開(kāi)乙管需要多少分鐘注滿水箱？5，一項(xiàng)工程，甲、乙單獨(dú)做分別需要18天和27天如果甲做若