隱函數(shù)求導(dǎo)方法

1、關(guān)于隱函數(shù)的求導(dǎo)方法第一張，PPT共四十六頁，創(chuàng)作于2022年6月一、一個(gè)方程所確定的隱函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)什么是隱函數(shù)？顯函數(shù):第二張，PPT共四十六頁，創(chuàng)作于2022年6月隱函數(shù):二元方程一元隱函數(shù)如有時(shí)可以將隱函數(shù)顯化：第三張，PPT共四十六頁，創(chuàng)作于2022年6月第四張，PPT共四十六頁，創(chuàng)作于2022年6月第五張，PPT共四十六頁，創(chuàng)作于2022年6月第六張，PPT共四十六頁，創(chuàng)作于2022年6月第七張，PPT共四十六頁，創(chuàng)作于2022年6月定理1. 設(shè)函數(shù)則方程單值連續(xù)函數(shù) y = f (x) ,并有連續(xù)(隱函數(shù)求導(dǎo)公式)定理證明從略，僅就求導(dǎo)公式推導(dǎo)如下： 具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù);的某鄰域內(nèi)可

2、唯一確定一個(gè)在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)滿足滿足條件導(dǎo)數(shù)第八張，PPT共四十六頁，創(chuàng)作于2022年6月兩邊對(duì) x 求導(dǎo)在的某鄰域內(nèi)則第九張，PPT共四十六頁，創(chuàng)作于2022年6月例1方法一（公式法）第十張，PPT共四十六頁，創(chuàng)作于2022年6月例1方法二（直接求導(dǎo)法）方程兩邊對(duì) x 求導(dǎo)，把 y 視為函數(shù)。第十一張，PPT共四十六頁，創(chuàng)作于2022年6月例1方法三（微分法）方程兩邊同時(shí)微分第十二張，PPT共四十六頁，創(chuàng)作于2022年6月若F( x , y ) 的二階偏導(dǎo)數(shù)也都連續(xù),二階導(dǎo)數(shù) :則還可求隱函數(shù)的 第十三張，PPT共四十六頁，創(chuàng)作于2022年6月由一個(gè)三元方程確定的隱函數(shù)二元顯函數(shù)：第十四張，

3、PPT共四十六頁，創(chuàng)作于2022年6月二元隱函數(shù)：三元方程二元隱函數(shù)：如可以顯化第十五張，PPT共四十六頁，創(chuàng)作于2022年6月第十六張，PPT共四十六頁，創(chuàng)作于2022年6月第十七張，PPT共四十六頁，創(chuàng)作于2022年6月定理2 .若函數(shù) 的某鄰域內(nèi)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù) ;則方程在點(diǎn)并有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)定一個(gè)單值連續(xù)函數(shù) z = f (x , y) , 定理證明從略, 僅就求導(dǎo)公式推導(dǎo)如下:滿足 在點(diǎn)滿足:某一鄰域內(nèi)可唯一確第十八張，PPT共四十六頁，創(chuàng)作于2022年6月兩邊對(duì) x 求偏導(dǎo)同樣可得則第十九張，PPT共四十六頁，創(chuàng)作于2022年6月例2方法一（公式法）第二十張，PPT共四十六頁，創(chuàng)作于20

4、22年6月例2方法二（求偏導(dǎo)）方程兩邊對(duì) x 求偏導(dǎo)，把 z 視為函數(shù)，y 視為常數(shù)。第二十一張，PPT共四十六頁，創(chuàng)作于2022年6月例2方法三（微分法）方程兩邊同時(shí)微分第二十二張，PPT共四十六頁，創(chuàng)作于2022年6月例2第二十三張，PPT共四十六頁，創(chuàng)作于2022年6月解令則第二十四張，PPT共四十六頁，創(chuàng)作于2022年6月練習(xí)解：第二十五張，PPT共四十六頁，創(chuàng)作于2022年6月二、方程組所確定的隱函數(shù)組及其導(dǎo)數(shù)隱函數(shù)存在定理還可以推廣到方程組的情形.由 F、G 的偏導(dǎo)數(shù)組成的行列式稱為F、G 的雅可比 行列式.以兩個(gè)方程確定兩個(gè)隱函數(shù)的情況為例 ,即雅可比 第二十六張，PPT共四十六

5、頁，創(chuàng)作于2022年6月定理3.的某一鄰域內(nèi)具有連續(xù)偏設(shè)函數(shù)則方程組的單值連續(xù)函數(shù)且有偏導(dǎo)數(shù)公式 : 在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)可唯一確定一組滿足條件滿足:導(dǎo)數(shù)；第二十七張，PPT共四十六頁，創(chuàng)作于2022年6月定理證明略.僅推導(dǎo)偏導(dǎo)數(shù)公式如下：(P85)第二十八張，PPT共四十六頁，創(chuàng)作于2022年6月有隱函數(shù)組則兩邊對(duì) x 求導(dǎo)得設(shè)方程組在點(diǎn)P 的某鄰域內(nèi)解的公式 故得系數(shù)行列式第二十九張，PPT共四十六頁，創(chuàng)作于2022年6月同樣可得第三十張，PPT共四十六頁，創(chuàng)作于2022年6月例3. 設(shè)解:方程組兩邊對(duì) x 求導(dǎo)，并移項(xiàng)得求練習(xí): 求答案:由題設(shè)故有第三十一張，PPT共四十六頁，創(chuàng)作于2022

6、年6月例3. 設(shè)求解法2（微分法）方程組兩邊同時(shí)微分用Gramer法則第三十二張，PPT共四十六頁，創(chuàng)作于2022年6月顯然，利用全微分法求偏導(dǎo)數(shù)更簡(jiǎn)便第三十三張，PPT共四十六頁，創(chuàng)作于2022年6月例4.設(shè)函數(shù)在點(diǎn)(u,v) 的某一1) 證明函數(shù)組( x, y) 的某一鄰域內(nèi)2) 求解: 1) 令對(duì) x , y 的偏導(dǎo)數(shù).在與點(diǎn) (u, v) 對(duì)應(yīng)的點(diǎn)鄰域內(nèi)有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù),且 唯一確定一組單值、連續(xù)且具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的反函數(shù)第三十四張，PPT共四十六頁，創(chuàng)作于2022年6月式兩邊對(duì) x 求導(dǎo), 得則有由定理 3 可知結(jié)論 1) 成立.2) 求反函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù). 第三十五張，PPT共四十六頁，創(chuàng)

7、作于2022年6月從方程組解得同理, 式兩邊對(duì) y 求導(dǎo), 可得第三十六張，PPT共四十六頁，創(chuàng)作于2022年6月例4的應(yīng)用: 計(jì)算極坐標(biāo)變換的反變換的導(dǎo)數(shù) .同樣有所以由于第三十七張，PPT共四十六頁，創(chuàng)作于2022年6月內(nèi)容小結(jié)1. 隱函數(shù)( 組) 存在定理2. 隱函數(shù) ( 組) 求導(dǎo)方法方法1. 利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則直接計(jì)算 ;方法2. 利用微分形式不變性 ;方法3. 代公式 .思考與練習(xí)設(shè)求第三十八張，PPT共四十六頁，創(chuàng)作于2022年6月提示: 第三十九張，PPT共四十六頁，創(chuàng)作于2022年6月解法2. 利用全微分形式不變性同時(shí)求出各偏導(dǎo)數(shù).第六節(jié) 由d y, d z 的系數(shù)即可得作

8、業(yè) P89 2 , 8， 9 ,10(1); (3)第四十張，PPT共四十六頁，創(chuàng)作于2022年6月備用題分別由下列兩式確定 :又函數(shù)有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù) ,1. 設(shè)解: 兩個(gè)隱函數(shù)方程兩邊對(duì) x 求導(dǎo), 得(考研)解得因此第四十一張，PPT共四十六頁，創(chuàng)作于2022年6月2. 設(shè)是由方程和所確定的函數(shù) , 求解法1 分別在各方程兩端對(duì) x 求導(dǎo), 得(考研)第四十二張，PPT共四十六頁，創(chuàng)作于2022年6月解法2 微分法.對(duì)各方程兩邊分別求微分:化簡(jiǎn)得消去可得第四十三張，PPT共四十六頁，創(chuàng)作于2022年6月二元線性代數(shù)方程組解的公式解:第四十四張，PPT共四十六頁，創(chuàng)作于2022年6月雅可比(1804 1851)德國數(shù)學(xué)家. 他在數(shù)學(xué)方面最主要的成就是和挪威數(shù)學(xué)家阿貝兒相互獨(dú)地奠定了橢圓函數(shù)論的基礎(chǔ). 他對(duì)行列式理論也作了奠基性的工作. 在偏微分方程的研究中引進(jìn)了“雅可比行列式”, 并應(yīng)用在微積 分中.他