高中數(shù)學(xué)試題-空間余弦定理 （學(xué)生版）

1、空間余弦定理的妙用秒殺知識點如圖，在空間四邊形中， ,設(shè)，所成的夾角為，則，故.此公式可稱為空間形式的余弦定理，簡稱為空間余弦定理.【記憶方法】看四個字母，兩邊的與中間的，是平方之后為加號，相連的，平方之后為減號，分母與平面余弦定理相似.也可用另一種形式記憶：求“對角線”與的夾角的余弦等于兩組對邊平方和的差的絕對值除以兩對角線乘積的2倍.【推論】在空間四邊形中（由上面證明可得出）.秒殺思路分析利用空間余弦定理，關(guān)鍵是構(gòu)造出空間四邊形，并且空間四邊形邊長及對角線長可求.為快速求出空間四邊形邊長，一般把幾何體放置在長方體或直棱柱中.【示例1】（2015年浙江卷理13）如圖，三棱錐中,，點，分別為，

2、的中點，則異面直線，所成角的余弦值為 .【示例2】（2017年全國卷 = 2 * ROMAN * MERGEFORMAT II理10）已知直三棱柱中，則異面直線與所成角得余弦值為（ ） B. C. D.【示例3】 如圖，在三棱錐中，已知，.設(shè)，則的最小值為 .【示例4】（2017年天津卷文17）如圖，在四棱錐中，平面，.求異面直線與所成角的余弦值.(2)(3)略.方法對比【例1】 （2014年全國大綱卷文4）已知正四面體中，是的中點，則異面直線與所成角的余弦值為（ ） B. C. D.常規(guī)方法秒殺方法【例2】（2017年江蘇卷數(shù)學(xué) = 2 * ROMAN * MERGEFORMAT II附加題

3、22）如圖，在平行六面體中，平面，且，.求異面直線與所成角的余弦值.略.常規(guī)方法秒殺方法【例3】（數(shù)學(xué)奧林匹克高中訓(xùn)練題（224）在四面體中，則與所成角的大小為 .常規(guī)方法秒殺方法秒殺訓(xùn)練【試題1】 如圖，正方體中，為的中點，則異面直線與所成角的余弦值是（ ） B. C. D. 【試題2】如圖，已知正三棱錐的側(cè)棱與底面的邊長相等，分別為，的中點，則異面直線與所成角的余弦值為 . 【試題3】如圖，在三棱錐中，平面，則異面直線與所成角的余弦值為 .【試題4】 如圖,三棱柱中，平面平面，且，則異面直線與所成角的余弦值為 .【試題5】 如圖,四邊形中，現(xiàn)將沿折起，當二面角處于過程中，則異面直線與所成角

4、的余弦值的取值范圍為（ ）A. B. C. D. 真題回放【試題1】（2015年陜西預(yù)賽）在三棱錐中，已知，則直線與所成角的大小為 .【試題2】（2014年新課標全國卷 = 2 * ROMAN * MERGEFORMAT II理11）直三棱柱中，分別是，的中點，則與所成角的余弦值為（ ） B. C. D.【試題3】(2016年浙江卷文14）如圖，已知平面四邊形，沿直線將翻折成，直線與所成角的余弦值的最大值為 .【試題4】(2015年遼寧預(yù)賽）在正方體中，點，分別在線段，上（不包括線段的端點），且，則與所成角的取值范圍是 .【試題5】(2016年中國數(shù)學(xué)奧林匹亞克希望聯(lián)盟夏令營（三）在四面體中，為等邊三角形，分別為，的中點，則直線與所成角的余弦值為 .【試題6】(數(shù)學(xué)奧林