數(shù)學(xué)分析課件22章場(chǎng)論初步

1、4 場(chǎng)論初步 在物理學(xué)中, 曲線積分和曲面積分有著廣泛的應(yīng)用. 物理學(xué)家為了既能形象地表達(dá)有關(guān)的物理量, 又能方便地使用數(shù)學(xué)工具進(jìn)行邏輯表達(dá)和數(shù)據(jù)計(jì)算, 使用了一些特殊的術(shù)語(yǔ)和記號(hào), 在此基礎(chǔ)上產(chǎn)生了場(chǎng)論.一、場(chǎng)的概念; 二、梯度場(chǎng); 三、散度場(chǎng); 四、旋度場(chǎng); 五、管量場(chǎng)與有勢(shì)場(chǎng).一、場(chǎng)的概念 若對(duì)全空間或其中某一區(qū)域 V 中每一點(diǎn) M, 都有一 個(gè)數(shù)量 (或向量) 與之對(duì)應(yīng), 則稱在 V 上給定了一個(gè) 數(shù)量場(chǎng) (或向量場(chǎng)). 例如: 溫度和密度都是數(shù)量場(chǎng), M 的位置可由坐標(biāo)確定. 因此給定了某個(gè)數(shù)量場(chǎng)就總是設(shè)它對(duì)每個(gè)變量都有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù).同理,每 重力和速度都是向量場(chǎng). 在引進(jìn)了直角坐

2、標(biāo)系后, 點(diǎn) 等于給定了一個(gè)數(shù)量函數(shù) 在以下討論中 個(gè)向量場(chǎng)都與某個(gè)向量函數(shù) 相對(duì)應(yīng). 這里 P, Q, R 為所定義區(qū)域上的數(shù)量函數(shù), 并假定它們有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù). 設(shè) L 為向量場(chǎng)中一條曲線. 若 L 上每點(diǎn) M 處的切線 方向都與向量函數(shù) 在該點(diǎn)的方向一致, 即 磁力線等都是向量場(chǎng)線.注 場(chǎng)的性質(zhì)是它本身的屬性, 和坐標(biāo)系的引進(jìn)無(wú)關(guān). 引入或選擇某種坐標(biāo)系是為了便于通過(guò)數(shù)學(xué)方法來(lái) 進(jìn)行計(jì)算和研究它的性質(zhì). 則稱曲線 L 為向量場(chǎng) 的向量場(chǎng)線. 例如電力線、 二、梯度場(chǎng) 在第十七章3 中我們已經(jīng)介紹了梯度的概念, 它 方向上的方向?qū)?shù). grad u 是由數(shù)量場(chǎng) u 派生出來(lái)的一個(gè)向量場(chǎng),

3、 稱為 是由數(shù)量函數(shù) 所定義的向量函數(shù) grad u 的方向就是使方向?qū)?梯度場(chǎng). 由前文知道, 數(shù) 達(dá)到最大值的方向, 就是在這個(gè)方 因?yàn)閿?shù)量場(chǎng) 的等值面 的法線 方向?yàn)?所以 grad u 恒與 u 的等值面 正交. 當(dāng)把它作為運(yùn)算符號(hào)來(lái)看待時(shí), 梯度可寫(xiě)作 引進(jìn)符號(hào)向量 1. 若 u, v 是數(shù)量函數(shù), 則 2. 若 u, v 是數(shù)量函數(shù), 則 特別地有 梯度有以下一些用 表示的基本性質(zhì): 注 通常稱為哈密頓(Hamilton)算符(或算子) , 讀作 “Nabla”.4. 若 5. 若 則 這些公式讀者可利用定義來(lái)直接驗(yàn)證.3. 若 則 解 若以 上的單位向量, 則有 例1 設(shè)質(zhì)量為

4、m 的質(zhì)點(diǎn)位于原點(diǎn), 質(zhì)量為 1 的質(zhì)點(diǎn) 位于 記 它表示兩質(zhì)點(diǎn)間的引力, 方向朝著原點(diǎn), 大小與質(zhì)量 的乘積成正比, 與兩點(diǎn)間距離的平方成反比. 這說(shuō)明了引力場(chǎng)是數(shù)量場(chǎng) 的梯度場(chǎng), 因此常稱 為引力勢(shì).三、散 度 場(chǎng) 為 V 上的一個(gè)向量場(chǎng). 稱如下數(shù)量函數(shù): 設(shè) 為 的散度. 這是由向量場(chǎng) 派生出來(lái)的一個(gè)數(shù)量 場(chǎng), 也稱散度場(chǎng), 記作 高斯公式可寫(xiě)成如下向量形式:設(shè) 為曲面 S 在各點(diǎn)的單位 法向量,記 , 稱為 S 的面積元素向量. 于是 對(duì)上式中的三重積分應(yīng)用中值定理, 使得 在 V 中任取一點(diǎn) 令 V 收縮到 這個(gè)等式可以看作是散度的另一種定義形式. 則同時(shí)有 對(duì)上式取極限, 得到

5、的不可壓縮流體, 經(jīng)過(guò)封閉曲面 S 的流量是 于是(2)式表明 是流量對(duì)體積 V 的變化率, 若 說(shuō)明在每一單位時(shí)間內(nèi)有一定數(shù) 散度的物理意義 聯(lián)系本章2中提到的, 流速為 并稱它為 在點(diǎn)的流量密度. 稱這點(diǎn)為 “匯”. 容易由定義直接推得散度的以下一些基本性質(zhì):量的流體流出這一點(diǎn), 則稱這一點(diǎn) 為 “源”. 若 說(shuō)明流體在這一點(diǎn) 被吸收, 則 若在每一點(diǎn)都有 則稱 為 “無(wú)源場(chǎng)”. 的散度也可表示為矢性算符 與 的數(shù)性積: 3. 若是一數(shù)量函數(shù), 則 算符 于是 1. 若 是向量函數(shù), 則2. 若是數(shù)量函數(shù), 是向量函數(shù), 則 例2 求例1中引力場(chǎng)所產(chǎn)生的散 度場(chǎng). 解 因?yàn)?所以 因此引力

6、場(chǎng) 在每一點(diǎn)處的散度都為零 ( 除原點(diǎn)沒(méi)有定義外 ).為 V 上的一個(gè)向量場(chǎng). 稱如下向量函數(shù): 設(shè) 場(chǎng), 也稱旋度場(chǎng), 記作 四、旋 度 場(chǎng) 為 的旋度. 是由向量場(chǎng) 派生出來(lái)的一個(gè)向量 為便于記憶起見(jiàn), 可用行列式形式來(lái)表示旋度:類似于用散度表示的高斯公式 (1), 現(xiàn)在可用旋度來(lái) 表示斯托克斯公式: 其中 為前述對(duì)于曲面 S 的面積元素向量; 而則是對(duì)于曲線 L 的弧長(zhǎng)元素向量. 對(duì)后者說(shuō)明如下:設(shè)是曲線 L 在各點(diǎn)處的正向單位切向量, 弧長(zhǎng)元素向量即為 把公式 (3) 改寫(xiě)成 對(duì)上式中的曲面積分應(yīng)用中值定理, 使得 在 S 上任取一點(diǎn) 令 S 收縮到 這個(gè)等式也可以看作是旋度的另一種定

7、義形式. 則同時(shí)有 對(duì)上式取極限, 得到 為了由 (5) 式直觀描述旋度的物理意義, 不妨將其中 的曲面塊 S 改換為平面區(qū)域 D ( 圖 22-12 ), 這時(shí) (5) 式又被改寫(xiě)為在流速場(chǎng) 中, 曲線積分 是沿閉曲線 L 的環(huán)流量, 它表示流速為 的不可壓縮流體, 在單位 時(shí)間內(nèi)沿曲線 L 流過(guò)的總量. 這樣, 就反映了流體關(guān)于 L 所圍面積的平均環(huán)流密度. 當(dāng) 時(shí), (6) 式右邊這個(gè)極限, 就是流速場(chǎng) 在 點(diǎn) 處按右手法則繞 的環(huán)流密度. 另一方面, (6) 式左邊的 是在 上的投影. 由此可見(jiàn), 當(dāng)所取的 與 同向時(shí), 該投影為最大. 綜合起來(lái)就可以說(shuō): 這同時(shí)指出了旋度的兩個(gè)基本屬

8、性:(i) 的方向是 在點(diǎn) 處環(huán)流密度最大 的方向; (ii) 即為上述最大環(huán)流密度的數(shù)值. 在 上的投影. ” “ 流速場(chǎng) 在點(diǎn) 處繞 的環(huán)流密度, 等于旋度 為了更好地認(rèn)識(shí)旋度的物理意義及這一名稱的來(lái)源, 我們討論剛體繞定軸旋轉(zhuǎn)的問(wèn)題. 設(shè)一剛體以角速 與旋轉(zhuǎn)方向符合右手法則. 當(dāng) 時(shí), 稱向量場(chǎng) 為 “無(wú)旋場(chǎng)” . 度繞某軸旋轉(zhuǎn), 則 的方向沿著旋轉(zhuǎn)軸, 其指向 若取定旋轉(zhuǎn)軸上一點(diǎn) O 作為原點(diǎn)(圖22-13), 剛體上任意一點(diǎn) P 的線速度 可表示為 其中 是 P 的徑向量, 設(shè) P 的坐標(biāo)為 , 便有 又設(shè) 于是 就是旋轉(zhuǎn)的角速度 這也說(shuō)明了旋度這個(gè)名稱的 應(yīng)用算符的旋度是旋度有如下

9、一些基本性質(zhì):這結(jié)果表明線速度 的旋度除相差一個(gè)常數(shù)因子外, 來(lái)源. 1. 若 是向量函數(shù), 則 2. 若是數(shù)量函數(shù), 是向量函數(shù), 則這些等式可通過(guò)梯度、散度、旋度等定義來(lái)驗(yàn)證.五、管量場(chǎng)與有勢(shì)場(chǎng) 式知道, 此時(shí)沿任何封閉曲面的曲面積分都等于零. 中作一向量管 (圖22-14), 即由向量線圍成的管狀的 若一個(gè)向量場(chǎng) 的散度恒 為零, 即 我們?cè)?稱 為無(wú)源場(chǎng). 從高斯公 我們又把 稱作管量場(chǎng). 這是因?yàn)? 若在向量場(chǎng) 曲面. 用斷面 去截它, 以 表示所截出的管 的表面, 這就得到了由所圍成的封閉曲面 S. 于是由(1)式得出而向量線與曲面的法線正交, 所以這等式說(shuō)明了流體通過(guò)向量管的任意斷面的流量是 間單連通區(qū)域內(nèi)沿任何封閉曲線的曲線積分都等于 相同的, 所以把場(chǎng) 稱為管量場(chǎng). 如例2, 由 的梯 度所成的引力場(chǎng) 是一個(gè)管量場(chǎng). 若一個(gè)向量場(chǎng) 的旋度恒為零, 即 我們?cè)?前面稱 為無(wú)旋場(chǎng). 從斯托克斯公式知道, 這時(shí)在空 零, 這種場(chǎng)也稱為有勢(shì)場(chǎng). 這是因?yàn)楫?dāng) 時(shí), 由定理 22.5 推得空間曲線積分與路線無(wú)關(guān), 且存在某函數(shù), 使得即 則必存在某個(gè)勢(shì)函數(shù) u, 使得這也是一 個(gè)向量場(chǎng)是某個(gè)數(shù)量場(chǎng)的梯度場(chǎng)的充要條件. 在例1 通常稱 u 為勢(shì)函數(shù). 因此若某向量