單變量-卡方分布

1、1 第二章 卡方分布及正態(tài)總體方差的推斷第一節(jié) 卡方分布一、數(shù)學(xué)形式1.定義 設(shè)隨機(jī)變量X1，X2，Xk，相互獨(dú)立，且都服從同一的正態(tài)分布N (，2)。那么，我們可以先把它們變?yōu)闃?biāo)準(zhǔn)正態(tài)變量Z1，Z2，Zk，k個(gè)獨(dú)立標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)變量的平方和被定義為卡方（2 ）。 我們把隨機(jī)變量2 的概率分布稱(chēng)為2 分布，其概率密度記作 。其中k為卡方分布的自由度，它表示定義式中獨(dú)立變量的個(gè)數(shù)。 12、理解卡方分布是一種連續(xù)型隨機(jī)變量的概率分布。實(shí)質(zhì)：以Z分?jǐn)?shù)測(cè)量的變量，將其值平方并加總后形成的概率分布。（若干個(gè)Z變量的平方和）自由度（ ）：Z變量的個(gè)數(shù)卡方分布與Z分布關(guān)系：Z值=自由度為1的卡方值的平方根 Z=2

2、;1df234二、卡方分布的性質(zhì)（1）右偏性。（2）漸近性。隨著自度由的增加，圖形漸趨對(duì)稱(chēng)。當(dāng)自由度逐漸變大時(shí)，卡方分布會(huì)趨近于正態(tài)分布。（3）恒正性。因?yàn)槠渲到?jīng)過(guò)平方，所以卡方值都是正值，沒(méi)有負(fù)值。（4）自由性?？ǚ椒植既Q于自由度k，每一個(gè)可能的自由度對(duì)應(yīng)一個(gè)具體的卡方分布。分布由正態(tài)分布導(dǎo)出，但它之所以與正態(tài)分布的參數(shù)和無(wú)關(guān)，是因?yàn)闃?biāo)準(zhǔn)正態(tài)變量Z與原來(lái)的參數(shù)無(wú)關(guān)?？ǚ椒植嫉钠谕?是自由度k，方差為2k。（5）可加性。45 注意 寫(xiě)法的含義：它表示自由度為k的卡方分布，當(dāng)其分布函數(shù) 時(shí)，其隨機(jī)變量 2的臨界值(參見(jiàn)圖)。具體來(lái)說(shuō)，在假設(shè)檢驗(yàn)中，它表示在顯著性水平上卡方分布隨機(jī)變量 2的臨

3、界值。 三、卡方分位點(diǎn) 關(guān)于卡方分布的分布函數(shù)，附表7對(duì)不同的自由度k及不同的臨界概率(01)，給出了滿(mǎn)足下面概率式的 （K） 的值(參見(jiàn)圖)。520.1;8=13.362020.05;8=15.5070表示當(dāng)一個(gè)卡方變量有8個(gè)自由度，卡方值超過(guò)13.3620的概率（）為0.1，超過(guò)15.5070的概率（）為0.05。62分布分為點(diǎn)的求法2分布分為點(diǎn)的求法：對(duì)于n45的分為點(diǎn)可查表求得；當(dāng)n充分大（n45）時(shí)，近似地有 其中u為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布上的分為點(diǎn)7 例2 已知k5，（5）15，求臨界概率。解 查卡方分布表，在表中自由度為5的橫行中找到與15最接近的數(shù)值是15086，得到的近似值為001。由

4、此可知P（0.01；5）0.018例3:解:99第二節(jié) 正態(tài)總體的樣本方差分布定理及其推斷一、樣本方差分布定理 定理內(nèi)容：在正態(tài)總體中，所有可能樣本的方差分布服從卡方分布。換句話(huà)說(shuō)，正態(tài)總體中樣本方差與總體方差之比服從卡方分布?；蚴街校?代表總體方差，自由度為nl。10例 由一正態(tài)總體抽出容量為25的一隨機(jī)樣本，已知26，求樣本方差S 2在3.3到8.7之間的概率。11二、正態(tài)總體方差的區(qū)間估計(jì) 由2分布的性質(zhì)，我們知道有 因此，對(duì)于給定的置信水平 1，總體方差的區(qū)間估計(jì)為 12 例 研究者調(diào)查某社區(qū)居民家庭收入情況，現(xiàn)隨機(jī)抽查了10戶(hù)，得到樣本方差為S200(元2)，試以90的置信水平估計(jì)居民總體家庭收入之方差的置信區(qū)間。 13三、單正態(tài)總體方差的假設(shè)檢驗(yàn)例：某研究人員為了證實(shí)六級(jí)小學(xué)生智商的標(biāo)準(zhǔn)差是小于15的。