數(shù)學(xué)建模講座

1、數(shù)學(xué)建模講座本本講座主要目的:通過(guò)對(duì)一些簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)建模過(guò)程的分析,使隊(duì)員了解數(shù)學(xué)建模的基本過(guò)程,掌握數(shù)學(xué)建模的基本知識(shí)和一些簡(jiǎn)單常用的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí).近期主要任務(wù):熟悉計(jì)算機(jī)學(xué)會(huì)查閱資料,積累相應(yīng)的數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)建模知識(shí).數(shù)值計(jì)算的基本方法一數(shù)值微分差商代替微商利用差商代替微商的求導(dǎo)公式通常有向前差商公式(丄f(x+h)_f(x)fh向后差商公式f)f(x)-f(x-h)fh中心差商公式rQ)f(x+h)-f(x-h)f2h由泰勒公式很容易得到它們的余項(xiàng)分別為O(h)，O(h)，O(h2)，h越小近似程度越高，但是又會(huì)因有效數(shù)字損失而導(dǎo)致誤差增大。插值型數(shù)值微分公式(1)兩點(diǎn)公式n=l,過(guò)兩節(jié)點(diǎn),的

2、拉格朗日插值多項(xiàng)式為x-xL(x)=Jy1x-x0y-y10 x-x-y-x110ff(x)uL,(x)二010h).L心)=TyiiihR,(x)=-hf電)io2oR：)=f)截?cái)嗾`差為(2)三點(diǎn)公式n=2拉格朗日插值多項(xiàng)式為x=x+ih,f(x)=yi=o,i,2，ioii()=(x-x)(x-x)(x-x)(x-x)xyi2yo2y02h21-h22-x)(x-x)012h2L2兩端求導(dǎo)得()2x-x-x2x-x-x2x-x-xLVx丿二14yo鼻y+o1y22h20h2i2h221-2h23，分別代入,(i=0,1,2)得三點(diǎn)公xifr(x)q(-3y+4y-y)TOC o 1-5

3、h zo2ho12fr(x)qCy+y)y0+yii2ho丿ifr(x)q(y-4y+3y)22h012截?cái)嗾`差為R,(x)=竺f(3)(g)2030ge(a,b)iRf(x)=-竺f(3)匕)2161R,(x)=竺f(3)(g)2232i=0，1，2求二階導(dǎo)數(shù)的三點(diǎn)公式為f心LLL丄(y-2y+y)匸0，1，2i2ih2012利用樣條函數(shù)求數(shù)值微分由于三次樣條函數(shù)具有很好的性質(zhì)，因此用三次樣條插值函數(shù)sC)的導(dǎo)數(shù)近似函數(shù)的導(dǎo)數(shù)不僅可靠性好而且可計(jì)算非節(jié)點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)的近似值。f(k)(X)uS(k)(X)其截?cái)嗾`差為k=1，2，f(k)(x)S()(x)=oCz4-k)如以二階導(dǎo)數(shù)為參數(shù)的三次樣條

4、插值函數(shù)可得數(shù)值微分公式其中i=1，2()(xx)2(xxSx丿二Mi+Mi-1ii12hi2hiifff(x)qS(x)=S(x)=-Me(x,x)i1i，ny.-y.hii1ih6i(MM)ii1xxi+Mi1hi叫1=s(x)i1xxi-1ihiMi=s心)i二數(shù)值積分在積分區(qū)間a,b取一系列點(diǎn)xx（k=0丄,n），設(shè)b用被積函數(shù)axxx.xbf（x）在這些點(diǎn)的函數(shù)值1f（丿的線性組合作為k積分近似值Jbf（x）dxiLAf（x）kkak=0稱為數(shù)值求積公式，其中n+1個(gè)點(diǎn)xx（k=0丄,n）成為節(jié)點(diǎn)，A（k=0丄,n）稱為求積系數(shù)。Rf=f(x)dxLAf(x)kkk=0稱Rf為求積公

5、式（5.1）的截?cái)嗾`差。構(gòu)造數(shù)值求積公式的方法很多，常用的一個(gè)方法就是利用插值多項(xiàng)式p（x）來(lái)構(gòu)造求積公式nJbf(xdxJbPx(=)Afx()(5.2)nkkaak=0稱為插值型求積公式。梯形公式Jbf(x)dx沁b2af(a)+f(b)a2R1f=-氣尹f)(xab,)辛浦生公式Jbf(x)dxab-a6f(a)+4f(字)+f(b)吵=-嚅f(4)01)(“ab，3復(fù)化梯形公式Jbf(x沁-f(a)+2藝f(x)+f(b)2復(fù)化梯形公式的截?cái)嗾`差為即）fL-?2凡）（E（a，b）4復(fù)化辛12浦生公式Jbf(xIfx沁f(a)+4迓f(x6二2k+1k1)+2藝f(x)+f()2kk1一

6、復(fù)化辛浦生公式的截?cái)嗾`差bR（n）f二一h4f們）耳丘（a,b）228806逐次2分880半求積法X+k-1+f(b)二k1h守(T+乞fa+n2=(k1其中hb-ah二N沁T+-(TT)=T+-(TT)TOC o 1-5 h z2N32NN2N412NN5龍貝格求積公式R=C+(CC)=43C2N一CNN2N632NN431C=S+(SS)=42S2N一SNN2N152NN421k區(qū)間等分?jǐn)?shù)n=2k梯形序列T2k辛浦生序列Sk-12柯特斯序列Ck-22龍貝格序列Rk-3202o=1T1121=2TS21222=4TSC421323=8TSCR8421424=16TSCR16842525=32

7、TSCR321684三非線性方程求根1二分法2迭代法首先需要將此方程轉(zhuǎn)化為等價(jià)的方程x二g(x)將f()0轉(zhuǎn)化為等價(jià)方程(21)的方法是f(x)二0很多的定義：(迭代法)設(shè)方程為。X二g(X)選取方程根的一個(gè)初始近似，且按X下述逐次代入法，構(gòu)造一近似解序列0：X=g(X)10X=g(X)21:Xk+1=g(Xk)這種方法稱為迭代法(或稱為單點(diǎn)迭代法)。()稱為迭代函數(shù)。g(x)如果由迭代法產(chǎn)生的序列和有極限k存在，即l.，則稱門為收斂或稱迭代過(guò)limx=x*)xJkT8kk程收斂。否則稱I不收斂。kpg(x)/plimx二x*/rx*=g(x*)，ksk即為方程的解(稱為函數(shù)()的不動(dòng)點(diǎn))。X

8、*X*g(X)設(shè)為連續(xù)函數(shù)，且，則有(2)(2)事實(shí)上，由迭代過(guò)程兩邊取極限，則有x*二limx二limg(x)=g(limx)=g(x*)k+1kk顯然，在由方程f(0轉(zhuǎn)化為等價(jià)的方f(x)=0程()時(shí)，選擇不同的迭代函數(shù)()，就會(huì)二g(x)g(x)產(chǎn)生不同的序列(即使初始值選擇一lxJX樣)，且這些序列的收斂情況也不會(huì)相同。定理設(shè)有方程(123則(12)x二g(x)設(shè)()于b一階導(dǎo)數(shù)存在;g(x)a,b當(dāng)當(dāng)a,b時(shí)，有；a,bg(x)ga,bb時(shí)，八滿足條件：八L.。a,bg(x)g(x)|L1x*(、在b上有唯一解；二g(x)a,b對(duì)任意選取初始值b，迭代過(guò)程xga,b0()(0,1,)

9、收斂，即lim；二g(x)(k二0,1,)limx二x*k+1kkT8k1x-x1Lk+1k4)誤差估計(jì)Lkx1-L1-xo!(k=1,2,)(3)x二g(x)(1)定理(迭代法的局部收斂性)設(shè)給定方設(shè)x為方程的解；x*設(shè)()在的鄰近連續(xù)可微且有p()1g(x)x*|g(x*)100則對(duì)任意取初值S，迭代過(guò)程()xeSx二g(x)(k012)收斂于(稱迭代過(guò)程具有局部k=0,1,2,x*收斂性)。牛頓迭代法設(shè)有非線性方程f(x)二0其中，假設(shè)f()在b上一階連續(xù)可微，且f(x)ab0；又設(shè)是的一個(gè)零點(diǎn)的近f(a)-f(b)0 xf(x)x*e(a,b)似值(設(shè)f,)0)?，F(xiàn)考慮用過(guò)曲線f()上

10、f(x)豐0y=f(x)點(diǎn)P(f()的0切線近似代替函數(shù)f()，即用線TOC o 1-5 h zP(x,f(x)f(x)性函數(shù)00y=f(x0)+廣(x0)(x-x0)代替f()。且用切線的零點(diǎn)，作為方程根的f(x)x1x*近似值，即1x*Ux1一般，若已求得過(guò)程，即得求方程算公式=x0f(x)0f(x)0，將換為，重復(fù)上述xxxkf(x)=0根的牛頓方法的計(jì)f(x)k-f，(x)k(k=0,1,2,)Ix=xIk+1k弦割法kT8如果函數(shù)f()比較復(fù)雜，求導(dǎo)可能有困難，f(x)這時(shí)可將牛頓公式中f7)近似用差商來(lái)代f(x)替，即)f(x)f(x)f(x)沁kk-x-xkk-1于是得到計(jì)算公式

11、：給定初值x,x01x=x-f(xk)(x-x)kH1kf(x)-f(x)kk-1kk-1四解方程組的數(shù)值方法1高斯消去法(k二1,2,)ax+axHFax1111221naxHaxHHa2112222naxHaxHHan11n22化為a(1)11a(1)12a(2)22a1na(2)2nx1x2=b1b2rna(n)nnxnbn=bnxnnnk=1,2,.n-.1,a(k)m=ik-ika(k)kka(k+1)二a(k)ma(k),(i,j二k+1,，n)ijijikkjb(k+1)二b(k)mb(k),(i二k+1,n)iiikk回代計(jì)算b(n)x=nna(n)(i=n-1,n-2,.,1

12、)nnTOC o 1-5 h zb(i)-Ya(i)xiijjx=j=ia(i)2矩陣的三角分解LUA=L-1L-1L-1A(n)12n-1L=l21l31l32ln2lnn-1U=A(n)=LA(n-1)n-1a11a(1)12a(2)22、a(1)1na(2)2nVa(n)丿3解線性方程組的迭代法設(shè)有方程組Ab，其中A為非奇異陣。解方程組的迭代法，首先需要將Ab轉(zhuǎn)化為Ax=b一個(gè)等價(jià)方程組x=Bx+f任取初始值x(0)按下述逐次代入方法構(gòu)x(0)造向量序列加：xCt+1)=BxCt)+f(k=0,1,)其中B與無(wú)關(guān)，稱此迭代法為一階定常迭k代法，如果liG)，則稱此迭代法收斂且為limxQ

13、丿=x*x*解。雅可比迭代法x(0)(初始向量)x(k+1)=JxG)+f其中J=D-1(L+U),f=D-ibJ稱為Jacobi迭代法的迭代矩陣。Jacobi迭代公式的分量形式：引進(jìn)記號(hào)：)為第次近似，xa)=(x(k),x(k),x(k)T/yk可寫為12nax(k+1)=bax(k)iiiiijjj=1j知x(o)=(x(0),x(0)，x(0)T112nx(k+i)=(bax(k)iaiijjiij=1、(i=1,2,.,n;k=0,1,)高斯塞德?tīng)柕▁(0)(初始向量)xd+1)=Gx(k)+f其中G=(DL)-1U,f=(DL)-1bG稱為GS迭代法的迭代矩陣，可寫成GS迭代法

14、的分量形式：x(k)=(x(k),x(k),x(k)T12n(DL)x(k+1)=Ux(k)+bax(k+1)=遲ax(k+1)iiiijjj=1工ax(k)+bijjij=i+1x(o)=(x(o),x(o)，x(0)Tx(k+i)=一(b-Zax(k+i)一乙ax(k)Iiaiijjijj(i=1,2,n;k=0,1,2,3解線性方程組的超松弛迭代法設(shè)已知第k次近似及第次近似的分量x(k)k+1x(k+1)(j=1,2,i-1)，輔助量：先用GS迭代法計(jì)算一個(gè)x(k+1)i(k+1)=(b一藝ax(k+1)一工ax(k)iaiijjijjiij=1j=i+1再由x()的第個(gè)分量x()與x(

15、+1)加權(quán)平均，定義x(k)ix(k)x(k+1)iix(k+1)iTOC o 1-5 h zx(k+1)=(1-W)x(k)+Wx(k+1)=x(k)+W(x(k+1)x(k)iiiiii得到解Ab的SOR方法：Ax=bx(o)=C(o),x(o)I1nx(k+1)=x(k)+(b一乙ax(+1)乙ax()iiaijjjjiij=1j=i(i=1,2，,n)其中x(k)=(x(k),x(k)T,W稱為松弛因子18.13a)或?qū)懗蓌(k+1)=x(k)+Axx(k+1)=x(k)+AxiiiAx=(b-Zax(k+1)一乙ax(k)iaijjjiij=1j=i(i=12上,n),(k=0,1)

16、在SOR方法中取1，則SOR方法就是GS迭代法，當(dāng)松弛因子滿足0時(shí)，0o1迭代法稱為低松弛方法。當(dāng)2時(shí)迭代法稱11九I11j九=0,li)k+1ax九ii1J=2,3,4,n)得ks所以n尢lima)k+1x=02九ik充分大，就有kgj=2只要v=尢k+i(ak+111九（弋）1因此可以將尢k+1ax111作為與.相應(yīng)的特征向量入vu九kax，k111(i=1,2,3,n)，其中(v)表示v的kikvu九k+iaxk+1iii所以九(v)1(v)ki的近似。由于第.個(gè)分量。用這種方法計(jì)算矩陣A的按模最大的特征值與相應(yīng)的特征向量的方法就是乘冪法。另外，由于入，如果r當(dāng)k趨于vu九kaxI九I1

17、無(wú)窮大時(shí)，v的分量會(huì)無(wú)限增大；知1，當(dāng)k趨于無(wú)窮大時(shí)，的分量會(huì)無(wú)限趨于乙。從而V會(huì)使計(jì)算機(jī)出現(xiàn)上溢或下溢的現(xiàn)象。為了控制計(jì)算機(jī)出現(xiàn)的溢出現(xiàn)象，在實(shí)際計(jì)算時(shí)每次迭代所求得的向量都要?dú)w一化。所以在實(shí)際的應(yīng)用時(shí)采用如下公式：u，l(v)1=max(v),(k=0,1,2,)k(v)kr1jnkjkrv=Auk+1k九u(v)1k+1r2反冪法3雅可比Jacobi)方法4QR方法常微分方程數(shù)值解Idy二f(x,y)化(a)從理論上講只要方程中的f(x,y)連續(xù)且關(guān)于滿足李普希茲(Lipschitz)條件，即存在常y數(shù)L，使f(X，yi)f(X，y2)Lyi-y2I則常微分方程存在唯一解()。y二y(x

18、)微分方程數(shù)值解：就是求微分方程的解y(x)在一系列離散節(jié)點(diǎn)a二xxxy(v)()(i=l,2,，n)1+11uyx丿二fx,yVx丿丿hiiiy(xi+1)uy(x)+hf(x,y(x)即IJ)二y+hfx,yi+1iii數(shù)值積分法利用數(shù)值積分法左矩形公式y(tǒng)(x)-y(x)Jxi+if(x,y(xIdx=hf(x,y)i+lixiii可得同樣算法()y二y+hfx,y丿用泰勒(Taylor)公式y(tǒng)(x)=y(x+h)uy(x)+hy,(x)=y(x)+hf(x,y(x)l歐拉方法等分區(qū)間爲(wèi)為份，a,bn則i+1得離散化訐算公式肝c)y二y+hfx,y丿i+liiia=xxxx二b，01n-1

19、nx=a+ihh=_i=1,2，in無(wú)論用一階向前差商，還是用數(shù)值積分法左矩形公式，或者用泰勒公式取前兩項(xiàng)都可得到同樣的離散化計(jì)算公式y(tǒng)=y+hf(x,y)i+1iii代入初值則得到數(shù)值算法：fy=y+hf(x,y)G=l,2,n1)i+1i/iy0=y(a)稱其為歐拉方法。幾何上歐拉方法就是用一條折線近似表示曲線()。y=yx歐拉方法的誤差估計(jì)定義1局部截?cái)嗾`差：假設(shè)()為準(zhǔn)y二y(x)，稱為該數(shù)值算法的局部截R二)-y斷誤差。確值，用某數(shù)值算法計(jì)算產(chǎn)生的誤差定義2整體截?cái)嗾`差：準(zhǔn)確解(、與數(shù)y(x)值解的誤差，()。e二yvx丿設(shè)心有二階導(dǎo)數(shù)，由泰勒公式有：y(x)=y(x+h)y(x)+

20、hyr(x)+h2y)i+1i2iy+hf(x,y)+h2y)iii2i所以Ri+1=皿+i)-yi+11h2y(g)2ixgxTOC o 1-5 h ziii+12改進(jìn)的歐拉方法如果用梯形公式計(jì)算積分Ixi+1f(x,y(xldx沁f(x,y(x)+f(x,y(x)xi2iii+1i+1iy=y+hf(x,y)+f(x,y)由一般i+1i2iii+1i+1R=yC)-y丄h3y)i1i1i112于此方程為y的隱式方程，不易求解。將其與歐拉方法聯(lián)合使用?？傻盟惴▂(k1)i1y(0)=_i+1h齊+2y(kJi1(k=0,1,2,；i=1,2,，n1)實(shí)際計(jì)算中,當(dāng)比較小時(shí),常取一次迭-代后的近似值(1)為,于是有改進(jìn)的歐拉方y(tǒng).(+11)y.+1TOC o 1-5 h z法.+1了.=yi+-f(x.,y.)I+1IIIhii卜+1=+2f(x，)+f(+1,+1)(i=o,i,2,7n龍格庫(kù)塔法。常用的四階(經(jīng)典)龍格庫(kù)塔法y=y+-(K+2K+2K+K).+1.61234K=f(x,y)h1h一、i2i21丿K=fIx+-,y+hk3Li2丿i22JK=f(x+h,y+hK)4一階方程組的數(shù)值解法設(shè)初值問(wèn)題yr=fG,y,z)y(x)