數(shù)值計(jì)算方法復(fù)習(xí)提綱

1、數(shù)值計(jì)算方法復(fù)習(xí)提綱第一章數(shù)值計(jì)算中的誤差分析了解誤差及其主要來(lái)源，誤差估計(jì)；了解誤差(絕對(duì)誤差、相對(duì)誤差)和有效數(shù)字的概念及其關(guān)系;掌握算法及其穩(wěn)定性，設(shè)計(jì)算法遵循的原則。1、誤塗的來(lái)源模型誤差觀測(cè)誤筮截?cái)鄆吳筮舍入誤塗2誤筮與有效數(shù)字絕對(duì)誤筮E(x)=x-x*絕對(duì)誤差限X*-5XX*+6相對(duì)誤筮Er(X)=(x-x*)/x(x-x*)/x*有效數(shù)字x*=0.aa2.anx10若x-xlxl0/n稱F有n位有效數(shù)字。2有效數(shù)字與誤差關(guān)系(1)m定時(shí)，有效數(shù)字n越多，絕對(duì)誤廷限越?。哼x擇算法應(yīng)遵循的原則1、選用數(shù)值穩(wěn)定的算法，控制誤筮傳播:例in=1XnexdxoJo=/?Ax0Jxrieax

2、dx二b1嚴(yán)一汀xneaxdx簡(jiǎn)化計(jì)算步驟，減少運(yùn)算次數(shù)：避免兩個(gè)相近數(shù)相減，和接近零的數(shù)作分母:避免第二章線性方程組的數(shù)值解法了解Gauss消元法、主元消元法基本思想及算法；掌握矩陣的三角分解，并利用三角分解求解方程組；（Doolittle分解；Crout分解；Cholesky分解；追趕法）掌握迭代法的基本思想，Jacobi迭代法與Gauss-Seidel迭代法；掌握向量與矩陣的范數(shù)及其性質(zhì)，迭代法的收斂性及其判定。木章主耍解決線性方程組求解問(wèn)題，假設(shè)nffn列線性方程組有唯一解，如何得到其解?勺內(nèi)+勺2兀+%兀=九a2ixi+ci22x2+.+a2flxn=b2alllxl+cin2x2+

3、.+allltxn=blt兩類方法，第一定直接解法，得到其結(jié)確解：第二繪迭代解法，得到其近似解。、Gauss消去法1、順序Gauss消去法記方程組為：北*+墻“+.+必妝”=牢罷+崙兀二曙消元過(guò)程：經(jīng)n-1步消元，化為上三角方程組+器坷+於？廠+此?若啾工0回代過(guò)程:兀=（A一XX）af（i=Z7-1,Z7-2,.1）7=/+12、GaussJordan消去法避免回代，消元時(shí)上下同時(shí)消元3、Gauss列主元消去法例：說(shuō)明直接消元，出現(xiàn)借誤0.0000h;+2x2=2VxL+x2=3山順序Gauss消去法，得X?1,“a0;Gauss列主元消去法原理：每步消元前，選列主元，交換方程。算法：將方程

4、組用增廣矩陣A：b=（表示。（1）消元過(guò)程：對(duì)k=l/2/n-l/選主元,找ikek,k+l,!使得如果aAk=0,則矩陣a奇異，程序結(jié)束：否則執(zhí)行3。如果L工k,則交換第k行與第人行對(duì)應(yīng)的元素位置，消元,對(duì)i=k+l,計(jì)算lik=,對(duì)j=L+l,n+l,計(jì)算aij=aijhkakj2）回代過(guò)程：若ci,m=0,則矩陣a奇異，程序結(jié)束：否則執(zhí)行。舉例說(shuō)明。4、消元法應(yīng)用（1）行列式計(jì)算：0,則稱A判定：A為n階正定對(duì)稱矩陣充要條件A的各階順序主子式大于0。（2）Cholesky分解定理：設(shè)A為n階正定對(duì)稱矩陣，則存在唯一主對(duì)角線元素都是正數(shù)的下三角陣L,1Cholesky分解算法：j=12；i

5、=7+1,j+2,.j?5、追趕法三對(duì)角矩陣的特殊分解匕TCn-1lind=S?1=心y=dj*1=23,.ft趕的過(guò)程UX=Y=兒仏=（X-C,兀+1）/匕/=77-1,77-2,.12線性方程組的迭代解法一、Jacobi迭代公式X1-2+1X2X+1X1-2方程變形得到迭代公式TOC o 1-5 h zI11（0給初值X=計(jì)算，觀察解的變化。2丿護(hù)）=一歟+丄0,x=o,|x|=o(2)齊次性|X|=|A:|X|3)三角不等式|x+y|0,A=0,|A|=0(2)齊次性阿|=比制3)三角不等式|A+B|A|+|B|(4)絕對(duì)值不等式|AB|=GX+D收斂的充要條件為譜半徑0(G)1。判定定

6、理1：若|同1,則迭代公式Xk+l)=GX+D收斂。判定定理2：若對(duì)方程AX=b的系數(shù)矩陣A為對(duì)角占優(yōu)，則Jacobi迭代公式，Gauss-Seidel迭代公式收斂:判定定理3：若對(duì)方程AX=b的系數(shù)矩陣A為對(duì)稱正定，則Gauss-Seidel迭代公式收斂；Jacobi迭代公式收斂與Gauss-Seidel迭代公式收斂關(guān)系舉例:第三章非線性方程的數(shù)值解法了解二分法的原理與算法；掌握一般迭代法的基本思想及其收斂性判定;掌握Newton切線法、弦截法，并用它們求方程近似根的方法。本章問(wèn)題：求方程f(x)=O的根1二分法一、根的存在性定理：函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b連續(xù),且f(a).f(b)0,則方程

7、f(x)=O在區(qū)間a,b有根。方程的根存在，不一定唯一，若在區(qū)間a,b上有唯一根，稱區(qū)間a,b為根隔離區(qū)間。二、二分法(區(qū)間逐次分半法)原理：通過(guò)計(jì)算根隔離區(qū)間中點(diǎn)，將區(qū)間分半，縮小區(qū)間，得到方程近似根數(shù)列X”。a,bn，片n.Z).bk-ak=(b-a)/2k取x*(a”+b”)/22迭代法一、迭代原理迭代法是一種逐次逼近法，由提供的遞推公式計(jì)算，逐次精確，直到滿足精度要求。方程f(x)=o變形為X=0(.Y),得到遞推公式無(wú)乜=0(無(wú))簡(jiǎn)單迭代公式稱儀X)為迭代函數(shù)給初值計(jì)算，得到數(shù)列乙,若limg=F，則稱迭代收斂，否則發(fā)散。Etoc例：求方程10j-2=0/03,0.4寫(xiě)出兩個(gè)簡(jiǎn)單迭代

8、公式：（1）xk+l=10*-22）如=Ig（忑+2）觀察計(jì)算得到數(shù)列x”的收斂性。迭代法的幾何解釋：二、迭代收斂性判定收斂性定理：設(shè)方程x=隊(duì)小的迭代函數(shù)僅x）在a,b滿足:（1）當(dāng)xg,/?時(shí)，（fx）ga,b:（2）僅x）在a,b冋導(dǎo),且（px）L1xea,b則（1）方程x=g）在a,b有唯一根T；（2）迭代公式x陽(yáng)=0（“）收斂，即=x*；kxk誤差估計(jì)|x*-xk-卜一對(duì)。說(shuō)明可根據(jù)迭代函數(shù)（p（x）的導(dǎo)數(shù)判斷迭代收斂性。三、迭代公式的加速3Newton迭代法一、Newton切線公式幾何作法迭代公式例：利用解二次方程x2-c=0.推導(dǎo)近似計(jì)算的公式。C由Newton切線公式Xku=（

9、耳+）2兀三、Newton弦截公式Newton切線公式的缺點(diǎn)及改進(jìn)幾何作法迭代公式心）/（忑）一/（3）Newton弦截公式是兩步公式。第五章插值法掌握代數(shù)插值問(wèn)題及其解存在唯一性，Lagrange插值多項(xiàng)式構(gòu)造及其余項(xiàng)，插值基函數(shù)性質(zhì)；掌握差商的概念及其性質(zhì)，Newton插值多項(xiàng)式構(gòu)造，兩種插值法之間的區(qū)別與聯(lián)系；了解差分與等距節(jié)點(diǎn)插值多項(xiàng)式公式；掌握Hermite插值問(wèn)題及其構(gòu)造方法。本章問(wèn)題：函數(shù)/（X）復(fù)雜，或無(wú)表達(dá)式，構(gòu)造簡(jiǎn)單函數(shù)P（x）來(lái)代替f（x）1Lagrange插值一、代數(shù)插值問(wèn)題及插值多項(xiàng)式存在唯一條件1、代數(shù)插值問(wèn)題：已知/（）在區(qū)間a,b中互異的n+1個(gè)點(diǎn)X0,XL.，

10、兀的函數(shù)值兒，兒,，兒，求次數(shù)n次多項(xiàng)式P（x）=a0+atx+.+anxnK滿足代（兀）=/（兀）=）：，（i=o,i,.n）.2、插值多項(xiàng)式存在唯一條件：定理：Pn（x）=do+ClYX+.4-anXn存在唯一條件是n+1個(gè)節(jié)點(diǎn)互異。二、Lagrange插值構(gòu)造1、線形插值（n=l）幾何解釋：利用插值基函數(shù)構(gòu)造：厶（X）滿足基函數(shù)：一次多項(xiàng)式/（x）,/o（X）=l/1（兀）=0丿0（兀）=0丄（“）=10（X）=h（X）=x-x。厶(x)=yQlQ(x)+兒厶(x)1次Lagrange插值多項(xiàng)式例1：求f（X）=Jx過(guò)點(diǎn)（4,2）,（9,3）的1次Lagrange插值多項(xiàng)式，并計(jì)算J5近

11、似值。2、拋物插值（n=2）幾何解釋：利用插值基函數(shù)構(gòu)造：基函數(shù)：二次多項(xiàng)式/0（X）,厶（Ql2（X）滿足/。(兀)=1/()(“)=0CO(2)=0厶(兀0)=0A(XJ=1/i(耳)=0（Ao）=0人（兀）=0厶（兀）=1心（W）（呂一心）（“一心）lM=(A-A-.XA-Aj(x-AoX-Xj厶(X)=yJo(X)+yJA(X)+y2l2(x)2次Lagrange插值多項(xiàng)式例2：求f（X）=Jx過(guò)點(diǎn)（1,1）,（4,2）,（9,3）的2次Lagrange插值多項(xiàng)式，并計(jì)算方近似值。3、一般惜形：利用插值基函數(shù)構(gòu)造：基函數(shù)：n次多項(xiàng)式/0（X）,厶（X）,.1（X）滿足4（A）=（XX。

12、）（X兀）（X兀T）（x無(wú)+）（X）（忑夫。）（忑XJ（忑一忑T）（忑X如）（忑一兀）厶（X）=Mo+兒/】+yjn（X）=工兒厶一一n次Lagrange插值多項(xiàng)式k=0三、插值余項(xiàng)若廠“在0b連續(xù)，fw（x）在a,b存在，則插值誤差R”（x）=/W一厶W=一Q（x），+1）!其中g(shù)Ga,b依賴于Xo2分段插值一、分段線性插值在區(qū)間a,b,分為n個(gè)區(qū)間xf.,xf+1/i=：o/lz2.n-l每個(gè)區(qū)間山直線代替曲線，形成分段線性插值函數(shù)g）0（x）=A（X）兒+L（X）%+1XWk,兀田h（X）=A+1=X-Xj_兀二、分段拋物插值3Newton插值一、差商及其性質(zhì)定義：-階細(xì)：/J2兀+i-兀二階差商：亢兀,和，和=區(qū)空k亟込id“-兀K階塞商：伽也,和=巫曲4止皿柿一兀性質(zhì)：1）左商可山節(jié)點(diǎn)函數(shù)值表示：,+1=兒+心+2人+2心+心kU，兒）忍=/（+,兒+糾）人=/（+，兒+瓠）人=/（+九兒+仏）3Adams方法一、Adams方法的基本思想微分方程初值問(wèn)題化為積分方程：）心陥J=心）+f（x,y（x）dx=y（xn