三角網(wǎng)的差分格式

1、4.)4.三角網(wǎng)差分格式前面介紹了矩形網(wǎng)格的差分格式，其特點是：計算公式簡單，求解差分方程較容易，但是對于復(fù)雜的區(qū)域其幾何逼近誤差大，不能局部任意調(diào)整網(wǎng)格，不易處理法向?qū)?shù)邊界條件。三角網(wǎng)的差分格式具有網(wǎng)格的靈活，法向?qū)?shù)邊界條件容易處理等優(yōu)點，特別地，它還保持積分守恒(質(zhì)量守恒)，深受使用者的歡迎。積分插值法用于三角網(wǎng)，可得到三角網(wǎng)的差分格式。文獻上常稱之為有限體積法或廣義差分法?？紤]有界區(qū)域G上的Poisson方程(4.1)，Auf在邊界r上各個部分r,r,r分別滿足第一、第二或第三邊值條件：(4.1)a(4.1)b(4.1c)其中k是常數(shù)。作g的三角剖分：1)在r上取一系列的點，以其為頂

2、點連成閉折線rr,并記G為由r圍成且逼近g的多邊形區(qū)域；2)將G分割成有限個三角形之和。這些三角形滿足：任意一個三角形的頂點與其它三角形或者不相交，或者僅僅與其他三角形的頂點相交；三角形的每個內(nèi)角不大于90。引入如下術(shù)語：節(jié)點三角形的頂點；單元每個三角形；同一條邊上的兩個節(jié)點互為相鄰節(jié)點；有一公共邊的兩個三角形互為相鄰單元；對于任一節(jié)點，考慮所有以它為頂點的三角形單元和以它為頂點的三角形邊，過每一條邊作中垂線，交于外心，得到圍繞該節(jié)點的小多邊形，稱為對偶單元。全體對偶單元構(gòu)成區(qū)域g的一個新的網(wǎng)格剖分，稱為123(x,y)ridudn丿=中(x,y)r2du+Kudn丿r34.)面我們先對每一個

3、內(nèi)點建立差分方程。4.)4.)設(shè)p是如圖的內(nèi)點，p,p,p是p的相鄰節(jié)點，q是三角形Appp01260i0ii1（p，p）的外心（三條垂直平分線的交點），m是線段pp的中點，G是71i0i012q,q,q所圍成的對偶單元。對于4.1）兩端在G上積分，得0-Au（x,ydxdy，f0;ydxdyG0G0利用公式，得4.)4.)竺ds，fx,ydxdydn叫Go其中G是G的邊界，n是G的外法向量。000亠注意)，J竺ds=J迥ds=nnu(p)-u(p)i+1pp0i+10-qq+R(u)ii+1G0其中RC）是截斷誤差。帶入到（4.2）,舍去RC）,即得p點的差分方程:G0G0其中u和u0i+1

4、qiqi+1Cu)=JJf0;ylixdyppi+10匸10i+1G0分別是u(P)和u(P)的待求差分近似值。0i+1其次，我們建立邊界點處的差分方程。如圖，設(shè)p是界點，相應(yīng)的對偶單0元為pmqqqp。若所給的是第一邊值條件61），貝U令u=a（p）即可。若所0112301p00給的是第二邊值條件或第三邊值條件,例如4.6)u+uV孔丿（三0時就是第二邊值條件），則需要補充一個方程。此時與（4.2）類似地有(4.6),uuuJds+Jds+Jds+nnn1q1q1q2q2q3對于后四項仿照公式（）的方法離散化，例如J色ds一nm1q1J竺ds=nm4q3-u),0m4q3Ip0p4=JJf(x,yIlxdyG0qq()12-uu丿,pp2002q2q323pp03C-u),30Jds和Jds，可以利用梯形數(shù)值求積公式，有nnm4p0p0m1(4.8)Jds=J(y-uhs=JVds一Judsmpy-1n4m4p0m4p0m4p0(=mpyh匕2對于mp()40檢+U丿2p0m440m4p0=mpV，匕240(川H+u丿p0p4丿丿G0Tq,-q,-+!T3uP0P4丿同理（4.8）2m1P0Cu+u）pop