因式分解的12種方法精講

1、因式分解常用12種方法及應用【因式分解的12種方法】把一個多項式化成幾個整式的積的形式，這種變形叫做把這個多項式因式分解因式分解的方法多種多樣，現(xiàn)總結如下：L提公因法如果一個多項式的各項都含有公因式，那么就可以把這個公因式提出來，從而將多項式化成兩個因式乘積的形式。例1.分解因式x3-2x2-xx,x_x(xA_2x_1)2,應用公式法由于分解因式與整式乘法有著互逆的關系，如果把乘法公式反過來，那么就可以用來把某些多項式分解因式。例2.分解因式a2+4瀝+4力2解：a2+4ab+4b2=(a+2b)2例5.分解因式+6x-40解x2+6x-40=x2+6x+(9)-(9)-40.分組分解法要把

2、多項式am+cm+bmbn分解因式，可以先把它前兩項分成一組，并提出公因式。，把它后兩項分成一組，并提出公因式們從而得到ct(m+n)+b(m+n),又可以提出公因式m+n,從而得到(a+b)(m+n)例3.分解因式m2+5n-mn-5m解:m2+5n?mi?5m=m2-5m-mn+5n=(rn-5m)+(-mn+5n).十字相乘法對于mXApxq形式的多項式，如果aAb=m,c=q且ac+bd=p,貝!J多項式可因式分解為(ctx+d)(bx+c)例4.分解因式7x2-19x-6分析：1x7=7,2x(-3)=-6lx2+7x(.3)=?19解：7x2-19x-6=f7x+2;(x-3;.配

3、方法對于那些不能利用公式法的多項式，有的可以利用將其配成一個完全平方式，然后再利用平方差公式，就能將其因式分解。=(x+3)2-(7)2=(x+3)+7(x+3)7例8.分解因式2x4+7丁3?2x2.13x+6=(x+10)(x-4).拆、添項法可以把多項式拆成若干部分，再用進行因式分解。例6.分解因式bc(bAc)+ca(c-a)-ab(a+b)角學：bc(b+c)+ca(c-a)-ab(aA-b尸bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a)+ca(c-a)-Abc(a+b)-ab(a+b)=c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a)=(c+b)(c-a)(a

4、+b).換元法有時在分解因式時，可以選擇多項式中的相同的部分換成另一個未知數(shù)，然后進行因式分解，最后再轉換回來。例7.分解因式2x4_工3-6x2小+2(也叫相反式，在這里以二次項系數(shù)為中心對稱項的系數(shù)是相等的，如四次項與常數(shù)項對稱，系數(shù)相等，解法也是把對稱項結合在一起)簡單初中生解:2x4-x3-6x2-x+2=2(x4+l)-x(x2+l)-6x2=/2x2+(|)2-(x+j)-6x22x2+(y-(x+-)-6)XX=*-2)-y-6=x2(2y2-y-10)=x2(y+2)(2j5)C11=、2(x+2)(2x+_-5)xx=(x2+2x+l)(2x2-5x+2)=(x+l)2(2x

5、-l)(x-2).求根法令多項式f(x)=0,求出其根為xi,x2,x3,xn,則多項式可因式分解為f(x)=(x-xi)(x-x2)(x-x3).(x-xn)(般情況下是試根法，并且一般試?3,-2,-1,0,1,2,3這些數(shù)是不是方程的根)解:令f(x)=2xA+7x3-2x2-13x+6=0通過綜合除法可知，徹=0根為，3-2,1,|則2x+7x?2x?13x+6=(2x.l)(x+3)(x+2)(x.l)9.圖象法(這種方法在以后學函數(shù)的時候會用到?，F(xiàn)在只是作為了解內(nèi)容，它和第八種方法是類似的)令y=f(x),做出函數(shù)y=f(x)的圖象，找到函數(shù)圖象與x軸的交點xi,x2,X3,Xn,

6、則多項式可因式分解為)(X-X2)(X-X3)(x-Xn)例9.因式分解x3+2x2.5x.6解：令戶A3+2x2-5x-6作出其圖象，可知與x軸交點為?3,?1,2則x3+2x2-5x-6=(x+1)(x+3)(x-2)10?主元法先選定一個字母為主元，然后把各項按這個字母次數(shù)從高到低排列，再進行因式分解。例10.分解因式疽(b-c)+b2(c-a)+c2(a-b)分析：此題可選定a為主元，將其按次數(shù)從高到低排列解：a2(b-c)八b2(c-a)+c2(a-b)=a2(b-c)-a(b2?c2)+bc(b-c)=(b?c)a2-a(b+c)+bc=(b?c)(ci?b)(ci?c)11.利用

7、特殊值法將2或10(或其它數(shù))代入x,求出數(shù)P,將數(shù)P分解質因數(shù)，將質因數(shù)適當?shù)慕M合，并將組合后的每一個因數(shù)寫成2或10的和與差的形式，將2或10還原成x,即得因式分解式。例11.分解因式X3+JW+23、+15解：令x=2，則x3+9x2+23x+15=8+36+46+15=105將105分解成3個質因數(shù)的積,即105=3x5x7注意到多項式中最高項的系數(shù)為1,而3、5、7分另I為x+1,x+3,x+5，在x=2時的值則x3+9x2+23x+15=(x+l)(x+3)(x+5)12.待定系數(shù)法首先判斷出分解因式的形式，然后設出相應整式的字母系數(shù)，求出字母系數(shù)，從而把多項式因式分解。例12.分

8、解因式x4-X3?5乂2-6x-4如果已知道這個多項式?jīng)]有一次因式，因而只能分解為兩個二次因式。解：設x4-X3-5x2-6x-4=(x2+)【解析】利用平方差公式即可分解因式。解：9(。+/?)2-4(。-b)2、=3(。+力)+2(。-方)3(。+人)-2(a-Z),=(5a+b)(a+5b)五.半途而廢，前功盡棄例5:分解因式：(X2+4)2-16x2.錯解：原式=(x2+4)2-(4x)2=(x2+4+4x)(X2+4-4X).正解:原式=(%2+4+4x)(x2+4-4x)=(x+2)2(x-2)2.【解讀】錯因在于分解因式不徹底。因為結果中的兩個因式都是完全平方式，還可以繼續(xù)分解，

9、所以錯解由于半途而廢，而導致“前功盡棄”o【舉一反三】分解因式：4x2-16=【答案】4(x+2)(x-2)【解析】4x2-16,=4(x2-4),=4(x+2)(x-2)故答案是：4(x+2)(x-2).【強化訓練】下列等式中，從左到右的變形是因式分解的是().(x+j?)=x2-y2；B.42=2x3x7；C.-x-2=(x-2)(x+l);D.2xA-x-l=x(2x-1)-1.【答案】C【解析】A.3+*)D=E是乘法運算,故不正確；42=2X3X7是分解因數(shù)，故不正確；-2=(x-2)(x+l)是因式分解；D.-x（2x一隔右邊卡是積的形式，不是因式分解，故不正確.對于非零的兩個實數(shù)

10、。，b,規(guī)定=瀝，那么將八016結果再進行分解因式，則為（）A.1（1+2）（1-2）B.1（1+4）（-4）C.（。+4）（。-4）D.（。2+4）【答案】B【解析】Va0b=a3-ab/.a?6=a3-6a=a(a2-16)=。0+4)(。-4).故選B.因式分解：（l）2a（yx）3Z（x八）；（2）x3x.【答案】（l）（y一工）（2。+3b）（2）x（x+l）（x1）.【解析】試題分析：（1）將原式第二項括號里面變形為*一協(xié)再將Vx提取出來即可；（2）先提取公因式尤，再用平方差公式因式分解即可。試題解析：(1)原式=2a(yx)+3b(yx)=(yx)(2tz+3Z);(2)原式=x

11、(x21)=x(x+l)(x1).分解因式：x5-2x3-8x.【答案】X(X+2)(X-2)(X2+2)【解析】本題考查了綜合運用提公因式法和公式法進行因式分解。先提公因式x,然后連續(xù)運用兩次平方差公式求解，分解因式時必須分解到每個因式不能再分解為止。原式二x(x4-2x2-8)=x(x2-4ax2+2)=x(x+2，工-2乂工2+2).下列各式從左到右的變形中，是因式分解的為()b)=axbxB.1+=(xl)(x+l)+C.1=(x+l)(x1)D.ax+bx+c=x(a+ba+c【答案】C【解析】A.是多項式乘法，不是因式分解，錯誤；不是化為幾個整式的積的形式，錯誤；C.是公式法，正確

12、；D.不是化為幾個整式的積的形式，錯誤；故選：C.6.代數(shù)式2*218因式分解，結果正確的是()A.2(x2-9)B.2(x3)2C.2(x+3)(x-3)D.2(x+9)(x-9)【答案】C【解析】2X2-18=2(X2-9)=2(X+3)(X-3),C中的結果是正確結果。故選C.7.因式分解：(D5x3y20 xy3；(xl)(x3)8【海南省定安縣2017-2018學年八年級上學期期末考試數(shù)學試題】【答案】5JQ?(x+2八)(x-2j2);(x-5)(x+l)【解析】用提公因式法5x3y-20 xy3=5xy(x2-4*2)=5“(x+2*)(-x2*)用十字相乘法(x-l)(x-3)

13、-84x5一(x-5X、+1)8,因式分解:2x2-8m3n-lOm2n+25mn/(-Z?)+9(Z?-Q)【答案】(l)2(x+2)(x-2);(2)mw(m-5)2;(3)(tz+3)(a-3)(?-A).【解析】試題分析：(1)原式提取2,再利用平方差公式分解即可；(2)原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可;(3)原式變形后提取公因式，再利用平方差公式分解即可。試題解析：(1)原式一2(x2-4)2(JV+2)(x-2);原式二mn(jn2-10m+25)=mA(m-5)2；(3)原式=Q2(Q-/)-9(00)=(02?)(+3)(O-3).9.分解因式：(l)10-5a25;

14、(2)(x2+3x)2(x_I)2.【答案】一5(。一1)2;(2)(r+4xi)(x+i)2.【解析】(1)提取公因式-5后，再用完全平方式進行分解即可1-5疽5_5(o22Q+1)=-5(2-l)(Q+/)+C)2_(Q_b_C)2(3)4(x+y)2-20(x+j)+25(4)4a-b-6a-3b【答案】(1)(Q?3)(Q?2)4Q(,+C)(3)(2x+2y-5)2(4)(2C)(2o+,+3)【解析】試題分析：先把原式化為。(。-3)-2(。-3),再用“提公因式法”分解即可；(2)先用“平方差公式”分解，再提“公因式”即可(2)原式運用平方差公式進行分解后，再用完全平方式進行分解即可(x2+3X)2-(x-1)2一(乂2+3x+x-+3x-x+1)=+4x-+2x+1)=(x2+4x-l)(x+l)210.把下列各式因式分解用“完全平方公式”分解即可;“公因式”即4冼把原式分組化為（物222）+（6。_3方），兩組分別分解后，再提“公因式”即試題解析:Q(Q-3)+2(3-Q=ci(ci