混沌理論淺說

1、混沌理論淺說-非線性科學(xué)泉州一中物理組李春陽一、混沌理論的提出 -由線性科學(xué)到非線性科學(xué)線性科學(xué)：線性是指量與量之間的正比關(guān)系；在直角坐標(biāo)系里，這是用一根直線表征的關(guān)系。 例如：0ss=v0+atv0t1、線性科學(xué)的成就 由于人的認(rèn)識(shí)的發(fā)展總是從簡單事物開始的，所以在科學(xué)發(fā)展的早期，首先從線性關(guān)系來認(rèn)識(shí)自然事物，較多地研究了事物間的線性相互作用，這是很自然的 。 例如：經(jīng)典物理學(xué)中，首先考察的是沒有摩擦的理想擺，沒有粘滯性的理想流體，溫度梯度很小的熱流等；數(shù)學(xué)家們首先研究的是線性函數(shù)、線性方程等。 理論家們在對(duì)大自然中的許多現(xiàn)象進(jìn)行探索時(shí)，總是力求在忽略非線性因素的前提下建立起線性模型，至少是

2、力求對(duì)非線性模型做線性化處理，用線性模型近似或局部地代替非線性原型，或者借助于對(duì)線性過程的微小擾動(dòng)來討論非線性效應(yīng)。 經(jīng)過長期的發(fā)展，在經(jīng)典科學(xué)中就鑄造出一套處理線性問題的行之有效的方法，例如傅立葉變換、拉普拉斯變換、傳遞函數(shù)、回歸技術(shù)等；就是設(shè)計(jì)物理實(shí)驗(yàn)，也主要是做那些可以做線性分析的實(shí)驗(yàn)。從這個(gè)特點(diǎn)看來，經(jīng)典科學(xué)實(shí)質(zhì)上是線性科學(xué)。線性科學(xué)在理論研究和實(shí)際應(yīng)用上都有十分光輝的進(jìn)展，在自然科學(xué)和工程技術(shù)領(lǐng)域，對(duì)線性系統(tǒng)的研究都取得了很大的成績。 2、線性科學(xué)的局限 線性科學(xué)的長期發(fā)展，也形成了一種扭曲的認(rèn)識(shí)或“科學(xué)思想”，認(rèn)為線性系統(tǒng)才是客觀世界中的常規(guī)現(xiàn)象和本質(zhì)特征，才有普遍規(guī)律，才能建立一

3、般原理和普適方法；而非線性系統(tǒng)只是例外的病態(tài)現(xiàn)象和非本質(zhì)特征，沒有普遍的規(guī)律，只能作為對(duì)線性系統(tǒng)的擾動(dòng)或采取特殊的方法做個(gè)別處理。由此得出結(jié)論說，線性系統(tǒng)才是科學(xué)探索的基本對(duì)象，線性問題才存在理論體系；所以經(jīng)典科學(xué)的長期發(fā)展，都是封閉在線性現(xiàn)象的圈子里進(jìn)行的。3、線性科學(xué)和非線性科學(xué)的差異 線性與非線性物理現(xiàn)象有著質(zhì)的差異和不同的特征。 1、從結(jié)構(gòu)上看，線性系統(tǒng)的基本特征是可疊加性或可還原性，部分之和等于整體，幾個(gè)因素對(duì)系統(tǒng)聯(lián)合作用的總效應(yīng)，等于各個(gè)因素單獨(dú)作用效應(yīng)的加和；因而描述線性系統(tǒng)的方程遵從疊加原理，即方程的不同解加起來仍然是方程的解；分割、求和、取極限等數(shù)學(xué)操作，都是處理線性問題的有

4、效方法；非線性則指整體不等于部分之和，疊加原理失效。從運(yùn)動(dòng)形式上看，線性現(xiàn)象一般表現(xiàn)為時(shí)空中的平滑運(yùn)動(dòng)，可以用性能良好的函數(shù)表示，是連續(xù)的，可微的。而非線性現(xiàn)象則表現(xiàn)為從規(guī)則運(yùn)動(dòng)向不規(guī)則運(yùn)動(dòng)的轉(zhuǎn)化和躍變，帶有明顯的間斷性、突變性。 2、從系統(tǒng)對(duì)擾動(dòng)和參量變化的響應(yīng)來看，線性系統(tǒng)的響應(yīng)是平緩光滑的，成比例變化；而非線性系統(tǒng)在一些關(guān)節(jié)點(diǎn)上，參量的微小變化往往導(dǎo)致運(yùn)動(dòng)形式質(zhì)的變化，出現(xiàn)與外界激勵(lì)有本質(zhì)區(qū)別的行為，發(fā)生空間規(guī)整性有序結(jié)構(gòu)的形成和維持。正是非線性作用，才形成了物質(zhì)世界的無限多樣性、豐富性、曲折性、奇異性、復(fù)雜性、多變性和演化性。 二、混沌理論淺說-無序中的有序1、蝴蝶效應(yīng)內(nèi)容： 1979

5、年12月，洛倫茲在華盛頓的美國科學(xué)促進(jìn)會(huì)的一次講演中提出：一只蝴蝶在巴西扇動(dòng)翅膀，有可能會(huì)在美國的德克薩斯引起一場龍卷風(fēng)。他的演講和結(jié)論給人們留下了極其深刻的印象。從此以后，所謂“蝴蝶效應(yīng)”之說就不脛而走，名聲遠(yuǎn)揚(yáng)了。 “蝴蝶效應(yīng)”之所以令人著迷、令人激動(dòng)、發(fā)人深省，不但在于其大膽的想象力和迷人的美學(xué)色彩，更在于其深刻的科學(xué)內(nèi)涵和內(nèi)在的哲學(xué)魅力。 從科學(xué)的角度來看，“蝴蝶效應(yīng)”反映了混沌運(yùn)動(dòng)的一個(gè)重要特征：系統(tǒng)的長期行為對(duì)初始條件的敏感依賴性。 橫過深谷的吊橋，常從一根細(xì)線拴個(gè)小石頭開始！ 經(jīng)典動(dòng)力學(xué)的傳統(tǒng)觀點(diǎn)認(rèn)為：系統(tǒng)的長期行為對(duì)初始條件是不敏感的，即初始條件的微小變化對(duì)未來狀態(tài)所造成的差別

6、也是很微小的。可混沌理論向傳統(tǒng)觀點(diǎn)提出了挑戰(zhàn)?；煦缋碚撜J(rèn)為在混沌系統(tǒng)中，初始條件的十分微小的變化經(jīng)過不斷放大，對(duì)其未來狀態(tài)會(huì)造成極其巨大的差別。 一則西方寓言：丟失一個(gè)釘子，壞了一只蹄鐵； 壞了一只蹄鐵，折了一匹戰(zhàn)馬； 馬蹄鐵上一個(gè)釘子是否會(huì)丟失，本是初始條件的十分微小的變化，但其“長期”效應(yīng)卻是一個(gè)帝國存與亡的根本差別。這就是軍事和政治領(lǐng)域中的所謂“蝴蝶效應(yīng)”。折了一匹戰(zhàn)馬，傷了一位騎士；輸了一場戰(zhàn)斗，亡了一個(gè)帝國。 傷了一位騎士，輸了一場戰(zhàn)斗； 2、蝴蝶效應(yīng)與混沌學(xué) 1960年，美國麻省理工學(xué)院教授洛倫茲研究“長期天氣預(yù)報(bào)”問題時(shí)，在計(jì)算機(jī)上用一組簡化模型模擬天氣的演變。他原本的意圖是利用

7、計(jì)算機(jī)的高速運(yùn)算來提高技期天氣預(yù)報(bào)的準(zhǔn)確性。但是，事與愿違，多次計(jì)算表明，初始條件的極微小差異，均會(huì)導(dǎo)致計(jì)算結(jié)果的很大不同。 由于氣候變化是十分復(fù)雜的，所以在預(yù)測天氣時(shí)，輸入的初始條件不可能包含所有的影響因素（通常的簡化方法是忽略次要因素，保留主要因素），而那些被忽略的次要因素卻可能對(duì)預(yù)報(bào)結(jié)果產(chǎn)生重大影響，導(dǎo)致錯(cuò)誤的結(jié)論。由此，洛倫茲認(rèn)定，盡管擁有高速計(jì)算機(jī)和精確的測量數(shù)據(jù)（溫度、風(fēng)速、氣壓等），也難以獲得準(zhǔn)確的長期天氣預(yù)報(bào)。 3、什么是混沌呢？ 它的原意是指無序和混亂的狀態(tài)（混沌譯自英文Chaos）。這些表面上看起來無規(guī)律、不可預(yù)測的現(xiàn)象，實(shí)際上有它自己的規(guī)律。 混沌學(xué)的任務(wù)：就是尋求混沌現(xiàn)

8、象的規(guī)律，加以處理和應(yīng)用。 60年代混沌學(xué)的研究熱悄然興起，滲透到物理學(xué)、化學(xué)、生物學(xué)、生態(tài)學(xué)、力學(xué)、氣象學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)、社會(huì)學(xué)等諸多領(lǐng)域，成為一門新興學(xué)科。 科學(xué)家給混沌下的定義是：混沌是指發(fā)生在確定性系統(tǒng)中的貌似隨機(jī)的不規(guī)則運(yùn)動(dòng)，一個(gè)確定性理論描述的系統(tǒng)，其行為卻表現(xiàn)為不確定性一不可重復(fù)、不可預(yù)測，這就是混沌現(xiàn)象。進(jìn)一步研究表明，混沌是非線性動(dòng)力系統(tǒng)的固有特性，是非線性系統(tǒng)普遍存在的現(xiàn)象。牛頓確定性理論能夠充美處理的多為線性系統(tǒng)，而線性系統(tǒng)大多是由非線性系統(tǒng)簡化來的。因此，在現(xiàn)實(shí)生活和實(shí)際工程技術(shù)問題中，混沌是無處不在的！ 4、混沌的特征 1、對(duì)初始條件的敏感依賴性。 3、混沌的內(nèi)部存在著超載

9、的有序。 2、極為有限的可預(yù)測性。1）、對(duì)初始條件的敏感依賴性 這是混沌系統(tǒng)的典型特征。意思是說，初始條件的微小差別在最后的現(xiàn)象中產(chǎn)生極大的差別，或者說，起初小的誤差引起災(zāi)難性后果。洛倫茲在他的玩具天氣模型中發(fā)現(xiàn)了這一特性。 在生活中，人們知道一串事件往往具有一個(gè)臨界點(diǎn)，那里小小的變化會(huì)放大，例如，人行道上擺滿自行車，導(dǎo)致行人走上車行道，又導(dǎo)致一次車禍，又導(dǎo)致交通中斷幾小時(shí)，又導(dǎo)致一連串的誤事。然而混沌意味著這種臨界點(diǎn)比比皆是。它們無孔不入，無時(shí)不在。在天氣這樣的系統(tǒng)中，對(duì)初始條件的敏感依賴性乃是各種大小尺度的運(yùn)動(dòng)互相糾纏所不能逃避的后果，因此，洛倫茲斷言：長期預(yù)報(bào)注定要失敗。信息從小尺度傳向

10、大尺度，把初始的隨機(jī)性放大。在社會(huì)經(jīng)濟(jì)活動(dòng)中，某些因素可促使成千上萬個(gè)業(yè)主一夜之間改變策略，從而導(dǎo)致經(jīng)濟(jì)形勢的巨變，我們至少從1997年東南亞金融危機(jī)中感到了這一點(diǎn)。 2）、極為有限的可預(yù)測性 當(dāng)系統(tǒng)進(jìn)入混沌過程后，系統(tǒng)或表現(xiàn)為整體的不可預(yù)言，或表現(xiàn)為局部的不可預(yù)言?；煦缪芯空邆冊谧匀唤绾蜕鐣?huì)中發(fā)現(xiàn)了大量混沌現(xiàn)象，如湍流中的旋渦，閃電的分支路徑，流行病的消脹、股市的升降、心臟的纖顫、精神病行為、城鎮(zhèn)空間分布及規(guī)模與數(shù)量等級(jí)等等。 信息論認(rèn)為，信息是對(duì)事物不確定性的一種量度。信息量大，消除不確定性的程度就大。我們擁有的關(guān)于某物的信息越多，對(duì)該事物的預(yù)測就會(huì)更準(zhǔn)確。但是，當(dāng)系統(tǒng)變得混沌以后，它成了

11、一架產(chǎn)生信息的機(jī)器，成了連續(xù)的信息源，收集更多的信息變得毫無意義。那么信息是從哪里來的呢？以湍流為例，物理學(xué)家認(rèn)為，來自微觀尺度的熱庫，來自幾十億在隨機(jī)熱力學(xué)舞動(dòng)中的分子。再以城市經(jīng)濟(jì)運(yùn)動(dòng)為例，信息來自成千上萬個(gè)有決策權(quán)的業(yè)主的生產(chǎn)行為，來自千百萬個(gè)消費(fèi)者的消費(fèi)行為，來自系統(tǒng)之外的環(huán)境的變化。 3）、混沌的內(nèi)部存在著超載的有序 混沌內(nèi)部的有序是指混沌內(nèi)部有結(jié)構(gòu)，而且在不同層次上其結(jié)構(gòu)具有相似性，即所謂的自相似性。 混沌內(nèi)部的有序還表現(xiàn)為不同系統(tǒng)之間跨尺度的相似性，即所謂普適性。費(fèi)根鮑姆通過兩種完全不同的反饋函數(shù)Xt+1=rXt(1-Xt)和Xt+1=rsinXt的迭代計(jì)算，即取一個(gè)數(shù)作輸入，產(chǎn)

12、生另一個(gè)數(shù)作輸出，再將前次的輸出作輸入，如此反復(fù)迭代計(jì)算。當(dāng)r值較小時(shí)，結(jié)果趨向一個(gè)定數(shù)，當(dāng)r超過某值時(shí)，其軌跡出現(xiàn)分岔。值得注意的是前一個(gè)函數(shù)是生物種群變化的邏輯斯蒂方程，r值加大表示非線性程度加大，當(dāng)非線性加大到一定程度后，來年的種群數(shù)變得無法預(yù)測。 5、混沌學(xué)的意義 混沌的發(fā)現(xiàn)和混沌學(xué)的建立，同相對(duì)論和量子論一樣，是對(duì)牛頓確定性經(jīng)典理論的重大突破，為人類觀察物質(zhì)世界打開了一個(gè)新的窗口。 所以，許多科學(xué)家認(rèn)為，20世紀(jì)物理學(xué)永放光芒的三件事是：相對(duì)論、量子論和混沌學(xué)的創(chuàng)立。 6、身邊的混沌現(xiàn)象（1） 1. 當(dāng)您的媽媽對(duì)這您大叫：“你的房間簡直一片混沌（混亂）！”她的話可能正確，但是她一定不

13、會(huì)知道：混沌里蘊(yùn)含著秩序。那些亂七八糟的書籍、五顏六色的果皮糖紙、臭氣熏天的襪子里都隱藏著一種秩序，只是等待您的發(fā)現(xiàn)。 2. 美國有句言語“一根稻草能壓死一頭駱駝”，這是蝴蝶效應(yīng)的最好體現(xiàn)。小的事情往往能產(chǎn)生讓人難以預(yù)料的結(jié)果。但是，永遠(yuǎn)是這樣的嗎？不是！如果放在駱駝脊背的那根稻草是第一根稻草，不但不會(huì)壓死駱駝的脊背，可能還會(huì)為駱駝送上一份美餐。同樣的道理，并不是只要北京蝴蝶拍動(dòng)一下翅膀，就真的能夠引起紐約的一場風(fēng)暴。 身邊的混沌現(xiàn)象（2）3. 當(dāng)您去海邊游玩的時(shí)候，您可曾想到過您是否能測出海岸線的長度？其實(shí)，您永遠(yuǎn)也測不出它的長度，因?yàn)樗欠中蔚?。您使用的度量尺寸卻精確，那么得出的結(jié)果就越長

14、。 4. 一個(gè)正常人的心跳是呈混沌的，越混沌的話，您的心臟越健康。 5. 混沌理論已經(jīng)被用來決定為孩子種植麻疹疫苗的最佳時(shí)間。 身邊的混沌現(xiàn)象（3）6. 人口動(dòng)力學(xué)中指出：在動(dòng)物種群，如果數(shù)量上不存在混沌或者變異，那么，這個(gè)種群必將滅亡。 7. 冥王星的運(yùn)行軌道不規(guī)則，因?yàn)樘栂抵写嬖谥幕煦纭?8. 一大群人的行為是可以預(yù)測的，因?yàn)樽钋懊娴念I(lǐng)路人影響極為重要。這就象群飛的大雁。 身邊的混沌現(xiàn)象（4）9. 學(xué)習(xí)音樂演奏是一件非常艱辛的事情，需要反復(fù)地練習(xí)。開始演奏一首曲子時(shí)可能一塌糊涂，但是，不斷練習(xí)就能產(chǎn)生美好的結(jié)果，這是一個(gè)較好的反饋循環(huán)，最終，有序從混沌中產(chǎn)生，優(yōu)美的音樂從您的手指間流出

15、。 10. 流行是觀察自相似特性的一個(gè)很好的例子，身邊的朋友們穿著相同的衣服，留著相同的發(fā)型，甚至使用相同顏色的指甲油。如果流行是一種分形的話，那么，是什么樣的混沌過程產(chǎn)生了這樣的分形呢？ 圖1 耗散系統(tǒng)（能量不守恒的有摩擦的系統(tǒng)）中的混沌 1963年美國氣象學(xué)家洛侖茲在大氣科學(xué)雜志上發(fā)表確定性非周期流“一文，給出第一個(gè)耗散混沌的實(shí)例。左為洛侖茲方程組數(shù)值解在XOZ平面上的投 影，右為數(shù)值解在YOZ平面上的投影。在計(jì)算機(jī)屏幕上演示數(shù)值解，只要不人為干預(yù)，軌道會(huì)永遠(yuǎn)運(yùn) 動(dòng)下去。 圖2 保守系統(tǒng)（能量守恒的無摩擦系統(tǒng)）中的混沌 相空間中有多級(jí)橢圓點(diǎn)和雙曲點(diǎn)，在橢圓點(diǎn)附近有周期小島，小島中又有復(fù)雜結(jié)

16、構(gòu)，層層嵌套。左上圖為參數(shù)取0.8時(shí), 右上圖為參數(shù)取1.5時(shí), 下圖為參數(shù)取1.0時(shí)的情況。 隨著參數(shù)的增加（相當(dāng)對(duì)非 線性增強(qiáng)） ，混沌區(qū)越來越大。在這里，混沌區(qū)與規(guī)則區(qū)交織在一起，相互滲透，本圖為PC機(jī)繪制。 幾種混沌圖片（1）幾種混沌圖片（2）幾種混沌圖片（3）幾種混沌圖片（4）混沌的應(yīng)用1、混沌與經(jīng)濟(jì)學(xué)2、混沌與藝術(shù)3、混沌與學(xué)習(xí)1、混沌與經(jīng)濟(jì)學(xué) -溫州炒樓風(fēng) 溫州炒樓風(fēng)的肆意蔓延，少不掉一個(gè)炒樓故事的推波助瀾：“1999年，溫州人余先生以每平方米2700元的價(jià)格在杭州城西買下28套商品房，當(dāng)該樓盤全部售完時(shí)，房價(jià)已升到每平方米近5000元，余先生將手上的房子賣出，平均每套房子凈賺了

17、20多萬元”。此故事曾經(jīng)無數(shù)次出現(xiàn)在報(bào)紙、網(wǎng)絡(luò)、電視、書籍上，甚至是導(dǎo)游小姐的口中，最終演變成了一個(gè)炒樓神話。 【溫州炒樓風(fēng)的扇動(dòng)條件】第一，該區(qū)域的人均GDP已經(jīng)接近或突破了四千美元，已經(jīng)悄悄進(jìn)入了城市房地產(chǎn)市場發(fā)展的高速增長期。第二，該區(qū)域的房價(jià)在當(dāng)時(shí)多數(shù)仍徘徊在每平方米兩千元左右（上海、杭州稍高），有較大的上浮空間。其中杭州市中心房價(jià)從四五千元，炒至上萬元，而上海市中心從七八千元炒至一萬五六以上，平均房價(jià)升幅每年達(dá)25%以上。第三，溫州是中國最著名的民營經(jīng)濟(jì)區(qū)，造就了成千上萬的百萬富翁乃至億萬富翁，據(jù)專業(yè)人士估計(jì)，按人均三萬元閑錢，就達(dá)2000億以上；而勞動(dòng)密集型的產(chǎn)業(yè)經(jīng)濟(jì)存在發(fā)展瓶頸，

18、因此大量民間游資急需尋找出路。第四，蘇杭兩市為歷史聞名的人間天堂，而上海蓬勃發(fā)展的經(jīng)濟(jì)正在成為亞洲新的龍頭，因此，都具有極大的區(qū)域競爭優(yōu)勢，有條件吸引大量國內(nèi)和海外的購房者，可以說是中國最廣泛的一個(gè)消費(fèi)者來源區(qū)。外來購房者巨大的購買力，在一定程度上成為了“炒樓風(fēng)”的幫兇。第五，制度上的漏洞。炒樓花在深圳早已被限制，但在滬、蘇、杭一帶，早期交幾千元定金就可以訂個(gè)房號(hào)（后期最多就是二、三成首期），然后價(jià)格上漲時(shí)拋出套利。后期上海、杭州、南京等地雖然出臺(tái)各種“禁炒令”，但已經(jīng)屬亡羊補(bǔ)牢。然而，在不具備潛在力量的“風(fēng)暴區(qū)域”，溫州人的翅膀就無法“興風(fēng)作浪”，比如深圳：供求基本平衡、十年來房價(jià)基本維持在

19、每平方米五千多元，相鄰年份的漲跌幅度從未超過每平方米300元、市民的房價(jià)收入比基本控制在六比一左右、超過九成的自住需求等。一年來，轉(zhuǎn)戰(zhàn)其他不具備“潛在風(fēng)暴力量”的城市，溫州購房團(tuán)總是雷聲大雨點(diǎn)小，從未掀起大的風(fēng)暴。【溫州炒樓風(fēng)的警示】 第一、炒樓風(fēng)是一種蝴蝶效應(yīng)（混沌現(xiàn)象），是一種改變房地產(chǎn)市場初始條件的行為，而房地產(chǎn)市場秩序和價(jià)格的穩(wěn)定性對(duì)這種行為極為敏感，所以，嚴(yán)密控制房地產(chǎn)炒家的投機(jī)行為，把炒家的投機(jī)行為消滅在萌芽狀態(tài)，是防止出現(xiàn)價(jià)格泡沫最重要的手段。 第二、要分清“投機(jī)”和“投資”的不同，能夠引發(fā)蝴蝶效應(yīng)的，一般只是投機(jī)行為，但廣泛地說，投機(jī)只是投資中的一種“短、平、快”方式（多數(shù)時(shí)間

20、只有幾個(gè)月至兩年），各地政府要嚴(yán)格控制的，也正是這種“短、平、快”的投機(jī)行為，而對(duì)中長期的投資方式，應(yīng)該是非常歡迎的，因此，不能對(duì)溫州購房團(tuán)一概而論，關(guān)鍵是要完善“游戲規(guī)則”。 第三、房地產(chǎn)市場和股票市場一樣容易產(chǎn)生價(jià)格操縱行為（極易產(chǎn)生蝴蝶效應(yīng)），“炒房團(tuán)”所帶來的虛假繁榮對(duì)地產(chǎn)業(yè)相當(dāng)危險(xiǎn)，因此，那種期望“炒房者”刺激本地經(jīng)濟(jì)增長，無異于飲鴆止渴。 2、混沌與藝術(shù) 一位畫家帕洛克 的創(chuàng)作 是藝術(shù)，還是混沌？混沌與碎形 曼德布洛在196070年代研究復(fù)雜性時(shí)，發(fā)展出碎形幾何學(xué)。他稱之為碎形乃源自拉丁字“fractus”，意在彰顯這些形狀的破碎與不規(guī)則。碎形會(huì)展現(xiàn)自相似性。這也就是說，無論如何放

21、大它們，都長得很相似；一個(gè)結(jié)構(gòu)的一小部份，看起來就像整體一樣。 自相似性有兩種形式：精確的與統(tǒng)計(jì)的。假樹顯示的圖案，在不同放大尺度下都精確重復(fù)（下圖左欄）。真樹的圖案則不會(huì)精確重復(fù)，只有統(tǒng)計(jì)上的重復(fù)（下圖右欄）。幾乎所有自然界的圖案都遵守統(tǒng)計(jì)上的自相似性，帕洛克的繪畫亦然。暴風(fēng)夜的啟示 在一個(gè)3月份的暴風(fēng)夜里，處于醉醺醺、有自殺傾向狀態(tài)下的帕洛克（Jackson Pollock），為他的藝術(shù)杰作藍(lán)桿：1952年11號(hào)作品（下圖）打下了重要的基礎(chǔ)。暴風(fēng)中的谷倉里，他把一塊大畫布橫展在地板上，然后用舊罐子中的油漆沿著一根木棍滴灑在畫布（210CM*486.8CM）上。我關(guān)注的是大自然的韻律 -正是

22、帕洛克說過的名言 這種原始畫風(fēng)，究竟是藝術(shù)天賦的表現(xiàn)，還是只不過是一位醉漢在嘲弄藝術(shù)傳統(tǒng)？疑問： 碎形圖案的一個(gè)重要特征是碎形維度（以下簡稱D），它可用來量化圖案在不同放大尺度之下，所顯示出來的比例關(guān)系。對(duì)于歐氏空間中的形體，維度是簡單的概念，由我們熟悉的整數(shù)所描述。對(duì)于一條平滑的線條（不含碎形結(jié)構(gòu)），其D值是1，而一個(gè)填滿的區(qū)域，其D值則是2。不過對(duì)于一個(gè)碎形圖案，重復(fù)的結(jié)構(gòu)會(huì)使得曲線也可以占據(jù)一個(gè)面積，此時(shí)它的D值就會(huì)落在1和2之間，而當(dāng)這個(gè)重復(fù)結(jié)構(gòu)的復(fù)雜度與豐富度增加時(shí)，它的數(shù)值就會(huì)往2趨近。 這些要怎么應(yīng)用到帕洛克的繪畫上？ 為了找出答案，人們利用計(jì)算機(jī)對(duì)他畫布上的圖案做定量分析。 結(jié)

23、果： 把帕洛克的繪畫掃描進(jìn)計(jì)算機(jī)里（詳見下節(jié)），這是研究的第一步，接著利用計(jì)算機(jī)產(chǎn)生的方形網(wǎng)格蓋在畫上。借著分析哪些方格里有油彩，哪些沒有，我們可以算出這些圖案的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)。接著把方格的尺寸變小，就相當(dāng)于在更小的尺度觀看這些圖案。我們分析中所檢視的圖案，尺寸由小至一個(gè)油彩的小斑點(diǎn)，大到約一公尺都有。令人驚訝的是，這些圖案是碎形，而且不管在任何尺度范圍內(nèi)，它們?nèi)际撬樾危渲凶畲蟮膱D案比最小的大1000倍以上。原來早在人們發(fā)現(xiàn)自然界碎形的25年前，帕洛克就已經(jīng)畫著碎形了。 分析帕洛克的技巧 計(jì)算機(jī)輔助分析顯示，帕洛克用一種小心發(fā)展出來的技巧，將油彩一層一層涂上去，從而形成一個(gè)綿密網(wǎng)狀的碎形。帕洛克

24、在作畫時(shí)偶爾會(huì)接受拍照（黑白照片。圖中為帕洛克與他的妻子克萊斯娜，這是一：1950年第31號(hào)作品作畫時(shí)的情景。） 對(duì)秋韻的分析（1950年第30號(hào)作品，油畫，266.7x525.8公分。） 秋韻中黑色色層的細(xì)部結(jié)構(gòu) 分析哪些方格里有油彩（藍(lán)色），哪些沒有（白色），我們可以算出這些圖案的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)。接著把方格的尺寸變?。ㄏ聢D），就相當(dāng)于在更小的尺度觀看這些圖案。我們發(fā)現(xiàn)這些圖案在所有尺度內(nèi)，都是碎形。 以編年的方式研究帕洛克畫作，我們發(fā)現(xiàn)碎形圖案的維度D，也隨著他的技巧精進(jìn)而增加。其中一個(gè)D值顯然是個(gè)特例，1950年的秋韻D值高達(dá)1.9 。 D值的變化對(duì)于繪畫的外觀有極深的影響。D值低的碎形，重復(fù)

25、的圖案會(huì)造成一個(gè)平滑、稀疏的圖像。但如果D值接近2，則重復(fù)的圖案會(huì)造出錯(cuò)綜復(fù)雜而充滿細(xì)致結(jié)構(gòu)的東西。（見連續(xù)圖）偉大的作品3、混沌與學(xué)習(xí) -學(xué)習(xí)的混沌法則 “初始的微小差異可能引起巨大的結(jié)果變化” - 混沌動(dòng)力學(xué)混沌與學(xué)習(xí)的關(guān)系 說起學(xué)習(xí)與混沌學(xué)有密切關(guān)系，很多人可能覺得摸不著頭腦。實(shí)際上，學(xué)習(xí)活動(dòng)無論從微觀尺度(例如，一次思考)到宏觀尺度（例如，學(xué)校教育）都有混沌的潛規(guī)則在發(fā)揮作用，這些作用甚至可能完全改變一個(gè)人的終身軌跡，可能會(huì)有巨大的成功，也可能會(huì)陷入不可避免的怪圈中。“不積跬步，無以至千里”“勿以善小而不為，勿以惡小而為之” 微小變化引起巨大的結(jié)果差異 實(shí)驗(yàn)： 當(dāng)我們在2歲的時(shí)候，可能

26、在不同的氛圍中造成了一些詞匯量的差異，這種差異也許很小，只有150個(gè)。但是這種小差異會(huì)在15歲的時(shí)候放大為10年的差距。最高的程度可以達(dá)到大學(xué)二年級(jí)的認(rèn)知能力，而最低可能只有5-6年級(jí)的水平，中間水平可能分別于兩個(gè)極端相差4-6年的程度。 實(shí)驗(yàn)說明，本來微小的差別可能在隨著時(shí)間不斷放大，而且并非以固定的線性方式增加，最終會(huì)不斷放大到顯著的差距程度。也就是說，這些微小的差異可能完全導(dǎo)致兩個(gè)人的人生軌跡產(chǎn)生巨大的反差。 圖示：哥倫布的船隊(duì)人生發(fā)展軌跡如同航海旅行一樣，當(dāng)年哥倫布船隊(duì)中有三艘船分別從西班牙出發(fā)，如果一開始出發(fā)時(shí)他們之間只有三度差別，結(jié)果會(huì)怎么樣呢？其中一艘可能會(huì)到達(dá)格陵蘭島，另一艘可

27、能會(huì)到達(dá)海地，而第三艘會(huì)遠(yuǎn)到阿根廷。這正是微小初始差異在軌跡上造成的不同。初始值的重要性： 在混沌學(xué)的理論中，我們知道“初始條件”是非常重要的。上面的實(shí)驗(yàn)已經(jīng)顯示了這一點(diǎn)。在2歲時(shí)只有150個(gè)詞匯的差別會(huì)在后來產(chǎn)生巨大的不同。改變這些軌跡的努力需要有一個(gè)持續(xù)的累積過程。 或許在以前的學(xué)習(xí)中我們忽視了許多，那么現(xiàn)在我們應(yīng)當(dāng)怎么做呢？大腦的混沌規(guī)律 人類的大腦是最復(fù)雜的物體，近十年來的神經(jīng)生理學(xué)的研究已經(jīng)讓人們更多地認(rèn)識(shí)了大腦。雖然在細(xì)節(jié)的工作機(jī)制上仍然需要不斷探索，但是我們畢竟已經(jīng)可以將很多成果應(yīng)用到學(xué)習(xí)理論的分析中。除了我們從前所提到的可塑性和階段性，大腦中神經(jīng)元的工作機(jī)理也逐步清晰：一些比較

28、底層的神經(jīng)元（是指執(zhí)行最基本任務(wù)的神經(jīng)元）從它的數(shù)千個(gè)樹突上獲得外界的信號(hào)，然后這些神經(jīng)元的任務(wù)就是做出評(píng)判。 這個(gè)過程為什么說是混沌的呢？ 因?yàn)轭^腦中的大量信息處理過程本身是不確定的一個(gè)過程，每一個(gè)選擇都幾乎是大量神經(jīng)元獨(dú)立判斷選擇后的一個(gè)匯總結(jié)果。即使在完全沒有干擾的情況下，任何人也很難在兩次表達(dá)一個(gè)類似的意思時(shí)，應(yīng)用完全相同的句子。這也正說明了大腦中的每次思考和決策都是不確定的。 同樣的道理，很多創(chuàng)新的過程也與頭腦中的混沌過程密不可分。當(dāng)人們苦思冥想的時(shí)候并不一定產(chǎn)生創(chuàng)造，但是卻往往在某些信息無意識(shí)地進(jìn)入頭腦的時(shí)候出發(fā)靈感，產(chǎn)生令人興奮的發(fā)明。當(dāng)我們學(xué)習(xí)的時(shí)候，實(shí)際上是重新讓這些神經(jīng)元建立對(duì)知識(shí)的新結(jié)構(gòu)模型，而如果很快地讓這些模型重新應(yīng)用起來，則必然有助于達(dá)到學(xué)習(xí)效果。 大腦的活動(dòng)在某些層面看是無序的，但是卻很明顯，一個(gè)高級(jí)生命體的生存離不開這樣的無序。只有在微觀層次的無序，才會(huì)獲得有序的智能學(xué)習(xí)、判斷和決策。 學(xué)習(xí)的混沌法則 社會(huì)越來越復(fù)雜，多樣性越來越明顯，個(gè)性化越來越突出，國際化越來越普及