大學(xué)高數(shù)下冊(cè)試題及答案第9章

1、第 PAGE27 頁(yè) 共 NUMPAGES27 頁(yè)大學(xué)高數(shù)下冊(cè)試題及答案,第9章第九章 曲線積分與曲面積分 作業(yè)13 對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分 1計(jì)算，其中為直線及拋物線所圍成的區(qū)域的整個(gè)邊界 解：可以分解為及 2，其中為星形線在第一象限內(nèi)的弧 解：為 原式 3計(jì)算，其中折線ABC，這里A，B，C依次為點(diǎn) 解： 4，其中為螺線上相應(yīng)于從變到的一段弧 解：為 5計(jì)算，其中L： 解：將L參數(shù)化， 6計(jì)算，其中L為圓周，直線及軸在第一象限內(nèi)所圍成的扇形的整個(gè)邊界 解：邊界曲線需要分段表達(dá)，從而需要分段積分 從而 作業(yè)14 對(duì)坐標(biāo)的曲線積分 1計(jì)算下列第二型曲線積分： (1) ，其中為按逆時(shí)針?lè)较蚶@橢圓一周；

2、解：為 原式 (2) ，其中是從點(diǎn)到點(diǎn)的一段直線；解：是 原式 (3) ，其中是圓柱螺線從到 的一段?。唤猓菏?原式 (4) 計(jì)算曲線積分,其中為由點(diǎn)A (-1, 1)沿拋物線到點(diǎn)O (0, 0), 再沿x軸到點(diǎn)B (2, 0)的弧段 解：由于積分曲線是分段表達(dá)的，需要分段積分 ；原式 2 設(shè)力的大小等于作用點(diǎn)的橫坐標(biāo)的平方，而方向依軸的負(fù)方向，求質(zhì)量為 的質(zhì)點(diǎn)沿拋物線從點(diǎn)移動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，力所作的功 解： 3把對(duì)坐標(biāo)的曲線積分化成對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分，其中 為： (1) 在平面內(nèi)沿直線從點(diǎn)到點(diǎn)；(2) 沿拋物線從點(diǎn)到點(diǎn) 解：（1） （2） 作業(yè)15 格林公式及其應(yīng)用 1填空題 (1) 設(shè)是三頂點(diǎn)(0,

3、 0), (3, 0), (3, 2)的三角形正向邊界, 12 (2) 設(shè)曲線是以為頂點(diǎn)的正方形邊界， 不能直接用格林公式的理由是_所圍區(qū)域內(nèi)部有不可道的點(diǎn)_ （3）相應(yīng)于曲線積分的第一型的曲線積分是 其中為從點(diǎn)(1, 1 ,1)到點(diǎn)(1, 2, 3)的直線段 2計(jì)算,其中L是沿半圓周 從點(diǎn)到點(diǎn)的弧 解：L加上構(gòu)成區(qū)域邊界的負(fù)向 3計(jì)算,其中為橢圓 正向一周 解：原式 4計(jì)算曲線積分 其中為連續(xù)函數(shù)，是沿圓周按逆時(shí)針?lè)较蛴牲c(diǎn)到點(diǎn) 的一段弧 解：令 則，原式 5計(jì)算,其中為 （1）圓周（按反時(shí)針?lè)较颍?；解：，而且原點(diǎn)不在該圓域內(nèi)部，從而由格林公式，原式 （2）閉曲線（按反時(shí)針?lè)较颍?解：，但所圍

4、區(qū)域內(nèi)部的原點(diǎn)且僅有該點(diǎn)不滿足格林公式條件，從而可作一很小的圓周（也按反時(shí)針?lè)较颍?，在圓環(huán)域上用格林公式得， 原式 6證明下列曲線積分在平面內(nèi)與路徑無(wú)關(guān),并計(jì)算積分值： （1）；解：由于在全平面連續(xù)，從而該曲線積分在平面內(nèi)與路徑無(wú)關(guān)，沿折線積分即可， 原式 （2）；解：由于在全平面連續(xù)，從而該曲線積分在平面內(nèi)與路徑無(wú)關(guān)，沿直線積分也可， 原式 （3） 解：由于在全平面連續(xù)，從而該曲線積分在平面內(nèi)與路徑無(wú)關(guān)，沿折線積分即可， 原式 7設(shè)在上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，計(jì)算 ， 其中L為從點(diǎn)到點(diǎn)的直線段 解：由于在右半平面連續(xù)，從而該曲線積分右半平面內(nèi)與路徑無(wú)關(guān)，沿曲線積分即可， 原式 8驗(yàn)證下列在整個(gè)平面內(nèi)是

5、某一函數(shù)的全微分,并求出它的一個(gè)原函數(shù)： （1）；解：由于在全平面連續(xù)，從而該曲線積分在平面內(nèi)是某一函數(shù)的全微分，設(shè)這個(gè)函數(shù)為， 則 從而 ， （2）；解：由于在全平面連續(xù)，從而該曲線積分在平面內(nèi)是某一函數(shù)的全微分，設(shè)這個(gè)函數(shù)為， 則原式 可取 （3） 解：可取折線作曲線積分 9設(shè)有一變力在坐標(biāo)軸上的投影為,這變力確定了一個(gè)力場(chǎng),證明質(zhì)點(diǎn)在此場(chǎng)內(nèi)移動(dòng)時(shí),場(chǎng)力所作的功與路徑無(wú)關(guān) 證：， 質(zhì)點(diǎn)在此場(chǎng)內(nèi)任意曲線移動(dòng)時(shí)，場(chǎng)力所作的功為 由于在全平面連續(xù)，從而質(zhì)點(diǎn)在此場(chǎng)內(nèi)移動(dòng)時(shí)，場(chǎng)力所作的功與路徑無(wú)關(guān) 作業(yè)16 對(duì)面積的曲面積分 1計(jì)算下列對(duì)面積的曲面積分： (1) ,其中為錐面被柱面所截得的有限部分；

6、解：為 ， 原式 （2）,其中為球面 解：為兩塊 ， 原式 2計(jì)算，是平面被圓柱面截出的有限部分 解：為兩塊， 原式 （或由，而積分微元反號(hào)推出） 3求球面含在圓柱面內(nèi)部的那部分面積 解：為兩塊 ， 原式 4設(shè)圓錐面 ,其質(zhì)量均勻分布,求它的重心位置 解：設(shè)密度為單位1，由對(duì)稱性可設(shè)重點(diǎn)坐標(biāo)為 ，故重點(diǎn)坐標(biāo)為 5求拋物面殼的質(zhì)量，此殼的密度按規(guī)律而變更 解： 作業(yè)17 對(duì)坐標(biāo)的曲面積分 1，其中是柱面被平面及所截得的在第一卦限內(nèi)的部分前側(cè) 解： 原式= 2計(jì)算曲面積分，其中為旋轉(zhuǎn)拋物面下側(cè)介于平面及之間的部分 解： 原式= 3計(jì)算 其中是平面所圍成的空間區(qū)域的整個(gè)邊界曲面的外側(cè) 解：分片積分。

7、 原式=（由輪換對(duì)稱性） 4把對(duì)坐標(biāo)的曲面積分 化為對(duì)面積的曲面積分： （1）是平面在第一卦限的部分的上側(cè)；（2）是拋物面在面上方的部分的上側(cè) 解：（1） 原式= （2） 原式= 5計(jì)算曲面積分,其中為旋轉(zhuǎn)拋物面下側(cè)介于平面z=0及z=2之間的部分 解： 原式=（兩類曲面積分的互化） （第二類曲面積分投影法計(jì)算） （用了重積分的對(duì)稱性） 6 已知速度場(chǎng)，求流體在單位時(shí)間內(nèi)通過(guò)上半錐面與平面所圍成錐體表面向外流出的流量 解： 同樣。 作業(yè)18 高斯公式和斯托克斯公式 1利用高斯公式計(jì)算曲面積分： (1) ，其中是平面，及所圍成的立體的表面外側(cè)；解：原式 （2），其中為柱面及平面， 所圍成的立體的

8、表面外側(cè)；解：原式 (3) 計(jì)算 , 其中，是由曲面繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面,它的法向量與y軸正向的夾角恒大于 解：加上右側(cè)，構(gòu)成封閉區(qū)域的外側(cè)。 原式 2設(shè)函數(shù)有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，利用高斯公式計(jì)算曲面積分 ，式中是下半球面的上側(cè) 解：加上下側(cè)，構(gòu)成封閉區(qū)域的內(nèi)側(cè)。 原式 3利用斯托克斯公式計(jì)算曲面積分： （1） 式中是圓周，從軸正向看去, 取逆時(shí)針?lè)较?解：原式 （2），其中為圓周,從軸的正向看去， 取逆時(shí)針?lè)较?解：原式 作業(yè)19 場(chǎng)論初步 1求下列向量場(chǎng)通過(guò)曲面指定一側(cè)的通量： （1），為由平面與，所圍成立體的表面，流向外側(cè)；解： （2），為以點(diǎn)(3,-1,2)為球心，半徑的球面，流向外側(cè)

9、解： 2 求向量場(chǎng)沿閉曲線的環(huán)流量(從z軸正向看 依逆時(shí)針的方向),其中為圓周 解： 3求向量場(chǎng)在點(diǎn)M (1, -1, 2)處的散度和旋度 解： 4證明向量場(chǎng)為平面調(diào)和場(chǎng)，并求勢(shì)函數(shù) 解：由于 因此是無(wú)場(chǎng)且為無(wú)旋場(chǎng)從而為調(diào)和場(chǎng) 由為勢(shì)函數(shù) 5驗(yàn)證下列向量場(chǎng)為保守場(chǎng)，并求其勢(shì)函數(shù)： （1）；解：由于 因此為無(wú)旋場(chǎng)從而為有勢(shì)場(chǎng) 由 為勢(shì)函數(shù) （2） 解：由于 因此為無(wú)旋場(chǎng)從而為有勢(shì)場(chǎng) 由 為勢(shì)函數(shù) 6設(shè)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，計(jì)算 解：由于 從而 由于具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，從而 第九章曲線積分與曲面積分測(cè)試題 1填空題 （1）對(duì)坐標(biāo)的曲線積分化成第一類曲線積分是，其中為有向曲線弧在點(diǎn)處的 切向量 的方向

10、角；（2）設(shè)為取正向的圓周則曲線積分 ；（3）設(shè)曲線積分.與積分路徑無(wú)關(guān)，其中 一階連續(xù)可導(dǎo)，且，則；（4）=_0_，其中為單位球面的外側(cè)；（5）設(shè)，則 0 ， 2計(jì)算下列曲線積分： （1）計(jì)算，其中為球面與平面的相交部分 解：由輪換對(duì)稱性 （2），其中是， 解：用球坐標(biāo)表達(dá)是 原式 （3）其中為橢圓由點(diǎn)經(jīng)點(diǎn)到點(diǎn)的弧段；解：參數(shù)表達(dá)是 原式 （4），其中是與的交線，其方向與軸正向成右手系；解：參數(shù)表達(dá)是 原式 （5），其中為上半圓周，沿逆時(shí)針?lè)较?；解：加上形成半圓區(qū)域的正向邊界 原式 （6），其中是以點(diǎn)為定點(diǎn)，的正方形的整個(gè)邊界（取正向） 解：正向 原式 3計(jì)算下列曲面積分： （1）,為錐面介

11、于之間的部分 解：原式 （2）計(jì)算 解：為兩片 令 原式 （3）其中錯(cuò)誤！不能通過(guò)編輯域代碼創(chuàng)建對(duì)象。是上半球面的上側(cè)；解：為 原式 （4），其中為錐面 的外側(cè)；解：加上上側(cè)，構(gòu)成封閉區(qū)域的外側(cè)。 原式 （5），其中是圓周，若正對(duì)著軸正向看去，取逆時(shí)針?lè)较颍唤猓河蒘TOCHS公式，原式 （6），其中是曲線繞軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)曲面的上側(cè) 解：加上下側(cè)，構(gòu)成封閉區(qū)域的內(nèi)側(cè)。 原式 4設(shè)曲線積分與路徑無(wú)關(guān)，其中，且 求 解：曲線積分與路徑無(wú)關(guān)，連續(xù)可導(dǎo) 從而，又 故 5設(shè)具有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，且使表達(dá)式是某函數(shù)的全微分，求，并求一個(gè) 解：由已知，是某函數(shù)的全微分， 從而， ，又 故 6證明在右半平面內(nèi)，力所做

12、的功與所走的路徑無(wú)關(guān)，并計(jì)算由點(diǎn)到所做的功 解： 8證明：在整個(gè)平面除去的負(fù)半軸及原點(diǎn)的區(qū)域內(nèi)是某個(gè)二元函數(shù)的全微分，并求出一個(gè)這樣的二元函數(shù) 解：由于且偏導(dǎo)數(shù)在整個(gè)平面除去的負(fù)半軸及原點(diǎn)的區(qū)域內(nèi)是連續(xù)的，從而在整個(gè)平面除去的負(fù)半軸及原點(diǎn)的區(qū)域內(nèi)是某個(gè)二元函數(shù)的全微分， 函數(shù)如 9求向量通過(guò)的邊界曲面流向外側(cè)的通量 解： 11求向量場(chǎng)在點(diǎn)處的散度 解： 表達(dá)自然有致。高等數(shù)學(xué)（）期末參考答案一、填空題（每小題3分，共30分）1.已知a(1,1,2),b(0,1,2)，則ab1ij11k2(0,2,1) .22.點(diǎn)(1,1,1)到平面3x6y2z140的距離為 3.3.過(guò)點(diǎn)(3,0,1)且與平面

13、3x7y5z120平行的平面方程為3x7y5z40 .4.已知zf(xy,2xe2y)，則t4zxyf12f2 .5.曲線x14413,yt3312,zt22在相應(yīng)于t1處的法平面方程為(x)(y)(z)0 .10y06.交換積分dxf(x,y)dy的積分次序?yàn)閤dyf(x,y)dy.2237.設(shè)：zxy22(0z1)，則zdSxy12xy2222dxdy.8.設(shè)向量A(x2yz)i(y2zx)j(z2xy)k，則divAPxQyRz2(xyz).9.設(shè)函數(shù)f(x)以2為周期，且f(x)x(x)，其Fourier級(jí)數(shù)為a02n1(ancosnxbnsinnx)，則b221xsin2xdx 1

14、.10.函數(shù)f(x)12x的麥克勞林級(jí)數(shù)為2(1)2nnx .nn0二、（8分）求函數(shù)f(x,y)xxyyxy1的極值，并指出是極大值還是極小值.解：fx(x,y)2xy1，fy(x,y)2yx1，22fx(x,y)02xy10令 ，得駐點(diǎn)(1,1).由于 , 即 f(x,y)02yx10yAfxx(x,y)2， Bfxy(x,y)1， Cfyy(x,y)2，且(BAC)x112230，A20,y1則(1,1)為極小值點(diǎn)，極小值為f(1,1)2.三、（8分）求級(jí)數(shù)(n1)xn的收斂域及它的和函數(shù).n0解：由于 lim|nan1an|lim|nnn1|1，則R1，當(dāng)x1時(shí)，級(jí)數(shù)(n1)(1)n均

15、n0發(fā)散，所以收斂域?yàn)?1,1).設(shè)s(x)(n1)xn0n，則于是x0s(t)dt(n1)tdtn0 xnn0 xn1x1x，dx1xs(t).s(t)dt20dx(1x)1x四、（8分）計(jì)算(5x43xyLy)dx(3xy3xy322其中L是拋物線yxy)dy，22上自點(diǎn)(0,0)到點(diǎn)(1,1)的一段弧.解：P(x,y)5x3xyy，Q(x,y)3xy3xy322y在xoy面偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)，且PyQx6xy3y，則曲線積分與路徑無(wú)關(guān)，取折線段(0,0)(1,0)(1,1)，則L(5x3xy42y)dx(3xy3xy322y)dy10(5x3x00)dx32113)11610222(31y31y

16、y)dy1(.(zx)dzdx(xy)dxdy，其中是由五、（8分）計(jì)算曲面積分Ix(yz)dydz柱面x2y21，平面z0,z3所圍立體表面的外側(cè).解：P(x,y,z)x(yz),Q(x,y,z)zx,R(x,y,z)xy在柱面x2y21，平面z0,z3所圍立體上偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)，則由高斯公式有Ix(yz)dydz(zx)dzdx(xy)dxdyRz(PxQy)dv(yz)dvydv30zdv（第一個(gè)積分為0，想想為什么？）0zdzdxdyz1dzDz92.六、（8分）求下列方程的通解： 1.xyylnyxyxyyxlnyx解：xyyln，方程為齊次微分方程；設(shè)ududxxyx，則yuxu，代入得

17、u(lnu1)，兩端積分lnu1d(lnu1)xdx即ln(lnu1)lnxlnC 或lnuCx1 將uyx代回得yxe2xCx12.y4y3ye.解：方程為二階非齊次線性微分方程，對(duì)應(yīng)齊次線性微分方程的特征方程r4r30的特征根為r11,r23；f(x)e2x中2不是特征方程的根，則特解形式為y*Ae2x，代入得AyC1ex115，在由解的結(jié)構(gòu)得方程的通解為3xC2e115e2x七、（10分）設(shè)vnunun，wnunun，證明：1.若級(jí)數(shù)un絕對(duì)收斂，則級(jí)數(shù)vn收斂；n1n1證：由于un絕對(duì)收斂，即|un|收斂，則un也收斂，又vnn1n1n112|un|12un，由性質(zhì)知vn收斂.n12.若級(jí)數(shù)un條件收斂，則級(jí)數(shù)wn發(fā)散.n1n1證：（反證）假設(shè)wn收斂，已知un收斂，由wnn1n1unun，即|un|2wnun及性質(zhì)知|un|收斂，即un絕對(duì)收斂，與已知條件矛盾.所以wn發(fā)散.n1n1n1八、（10分）一均勻物體是由拋物面zx2y2及平面z1所圍成.1.求的體積；解：在xoy面投影域D:xy1，則所圍體積為V1(xDy)dxdy20d(1r)rdr2(2.求的質(zhì)心.1214).解：由于是均勻物體及幾何體關(guān)于yoz面、xoz面對(duì)稱，則質(zhì)心坐標(biāo)應(yīng)為(0,0