大學高數(shù)下冊試題及答案第9章

1、第 PAGE27 頁 共 NUMPAGES27 頁大學高數(shù)下冊試題及答案,第9章第九章 曲線積分與曲面積分 作業(yè)13 對弧長的曲線積分 1計算，其中為直線及拋物線所圍成的區(qū)域的整個邊界 解：可以分解為及 2，其中為星形線在第一象限內(nèi)的弧 解：為 原式 3計算，其中折線ABC，這里A，B，C依次為點 解： 4，其中為螺線上相應(yīng)于從變到的一段弧 解：為 5計算，其中L： 解：將L參數(shù)化， 6計算，其中L為圓周，直線及軸在第一象限內(nèi)所圍成的扇形的整個邊界 解：邊界曲線需要分段表達，從而需要分段積分 從而 作業(yè)14 對坐標的曲線積分 1計算下列第二型曲線積分： (1) ，其中為按逆時針方向繞橢圓一周；

2、解：為 原式 (2) ，其中是從點到點的一段直線；解：是 原式 (3) ，其中是圓柱螺線從到 的一段?。唤猓菏?原式 (4) 計算曲線積分,其中為由點A (-1, 1)沿拋物線到點O (0, 0), 再沿x軸到點B (2, 0)的弧段 解：由于積分曲線是分段表達的，需要分段積分 ；原式 2 設(shè)力的大小等于作用點的橫坐標的平方，而方向依軸的負方向，求質(zhì)量為 的質(zhì)點沿拋物線從點移動到點時，力所作的功 解： 3把對坐標的曲線積分化成對弧長的曲線積分，其中 為： (1) 在平面內(nèi)沿直線從點到點；(2) 沿拋物線從點到點 解：（1） （2） 作業(yè)15 格林公式及其應(yīng)用 1填空題 (1) 設(shè)是三頂點(0,

3、 0), (3, 0), (3, 2)的三角形正向邊界, 12 (2) 設(shè)曲線是以為頂點的正方形邊界， 不能直接用格林公式的理由是_所圍區(qū)域內(nèi)部有不可道的點_ （3）相應(yīng)于曲線積分的第一型的曲線積分是 其中為從點(1, 1 ,1)到點(1, 2, 3)的直線段 2計算,其中L是沿半圓周 從點到點的弧 解：L加上構(gòu)成區(qū)域邊界的負向 3計算,其中為橢圓 正向一周 解：原式 4計算曲線積分 其中為連續(xù)函數(shù)，是沿圓周按逆時針方向由點到點 的一段弧 解：令 則，原式 5計算,其中為 （1）圓周（按反時針方向）；解：，而且原點不在該圓域內(nèi)部，從而由格林公式，原式 （2）閉曲線（按反時針方向） 解：，但所圍

4、區(qū)域內(nèi)部的原點且僅有該點不滿足格林公式條件，從而可作一很小的圓周（也按反時針方向），在圓環(huán)域上用格林公式得， 原式 6證明下列曲線積分在平面內(nèi)與路徑無關(guān),并計算積分值： （1）；解：由于在全平面連續(xù)，從而該曲線積分在平面內(nèi)與路徑無關(guān)，沿折線積分即可， 原式 （2）；解：由于在全平面連續(xù)，從而該曲線積分在平面內(nèi)與路徑無關(guān)，沿直線積分也可， 原式 （3） 解：由于在全平面連續(xù)，從而該曲線積分在平面內(nèi)與路徑無關(guān)，沿折線積分即可， 原式 7設(shè)在上具有連續(xù)導數(shù)，計算 ， 其中L為從點到點的直線段 解：由于在右半平面連續(xù)，從而該曲線積分右半平面內(nèi)與路徑無關(guān)，沿曲線積分即可， 原式 8驗證下列在整個平面內(nèi)是

5、某一函數(shù)的全微分,并求出它的一個原函數(shù)： （1）；解：由于在全平面連續(xù)，從而該曲線積分在平面內(nèi)是某一函數(shù)的全微分，設(shè)這個函數(shù)為， 則 從而 ， （2）；解：由于在全平面連續(xù)，從而該曲線積分在平面內(nèi)是某一函數(shù)的全微分，設(shè)這個函數(shù)為， 則原式 可取 （3） 解：可取折線作曲線積分 9設(shè)有一變力在坐標軸上的投影為,這變力確定了一個力場,證明質(zhì)點在此場內(nèi)移動時,場力所作的功與路徑無關(guān) 證：， 質(zhì)點在此場內(nèi)任意曲線移動時，場力所作的功為 由于在全平面連續(xù)，從而質(zhì)點在此場內(nèi)移動時，場力所作的功與路徑無關(guān) 作業(yè)16 對面積的曲面積分 1計算下列對面積的曲面積分： (1) ,其中為錐面被柱面所截得的有限部分；

6、解：為 ， 原式 （2）,其中為球面 解：為兩塊 ， 原式 2計算，是平面被圓柱面截出的有限部分 解：為兩塊， 原式 （或由，而積分微元反號推出） 3求球面含在圓柱面內(nèi)部的那部分面積 解：為兩塊 ， 原式 4設(shè)圓錐面 ,其質(zhì)量均勻分布,求它的重心位置 解：設(shè)密度為單位1，由對稱性可設(shè)重點坐標為 ，故重點坐標為 5求拋物面殼的質(zhì)量，此殼的密度按規(guī)律而變更 解： 作業(yè)17 對坐標的曲面積分 1，其中是柱面被平面及所截得的在第一卦限內(nèi)的部分前側(cè) 解： 原式= 2計算曲面積分，其中為旋轉(zhuǎn)拋物面下側(cè)介于平面及之間的部分 解： 原式= 3計算 其中是平面所圍成的空間區(qū)域的整個邊界曲面的外側(cè) 解：分片積分。

7、 原式=（由輪換對稱性） 4把對坐標的曲面積分 化為對面積的曲面積分： （1）是平面在第一卦限的部分的上側(cè)；（2）是拋物面在面上方的部分的上側(cè) 解：（1） 原式= （2） 原式= 5計算曲面積分,其中為旋轉(zhuǎn)拋物面下側(cè)介于平面z=0及z=2之間的部分 解： 原式=（兩類曲面積分的互化） （第二類曲面積分投影法計算） （用了重積分的對稱性） 6 已知速度場，求流體在單位時間內(nèi)通過上半錐面與平面所圍成錐體表面向外流出的流量 解： 同樣。 作業(yè)18 高斯公式和斯托克斯公式 1利用高斯公式計算曲面積分： (1) ，其中是平面，及所圍成的立體的表面外側(cè)；解：原式 （2），其中為柱面及平面， 所圍成的立體的

8、表面外側(cè)；解：原式 (3) 計算 , 其中，是由曲面繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面,它的法向量與y軸正向的夾角恒大于 解：加上右側(cè)，構(gòu)成封閉區(qū)域的外側(cè)。 原式 2設(shè)函數(shù)有一階連續(xù)導數(shù)，利用高斯公式計算曲面積分 ，式中是下半球面的上側(cè) 解：加上下側(cè)，構(gòu)成封閉區(qū)域的內(nèi)側(cè)。 原式 3利用斯托克斯公式計算曲面積分： （1） 式中是圓周，從軸正向看去, 取逆時針方向 解：原式 （2），其中為圓周,從軸的正向看去， 取逆時針方向 解：原式 作業(yè)19 場論初步 1求下列向量場通過曲面指定一側(cè)的通量： （1），為由平面與，所圍成立體的表面，流向外側(cè)；解： （2），為以點(3,-1,2)為球心，半徑的球面，流向外側(cè)

9、解： 2 求向量場沿閉曲線的環(huán)流量(從z軸正向看 依逆時針的方向),其中為圓周 解： 3求向量場在點M (1, -1, 2)處的散度和旋度 解： 4證明向量場為平面調(diào)和場，并求勢函數(shù) 解：由于 因此是無場且為無旋場從而為調(diào)和場 由為勢函數(shù) 5驗證下列向量場為保守場，并求其勢函數(shù)： （1）；解：由于 因此為無旋場從而為有勢場 由 為勢函數(shù) （2） 解：由于 因此為無旋場從而為有勢場 由 為勢函數(shù) 6設(shè)具有二階連續(xù)偏導數(shù)，計算 解：由于 從而 由于具有二階連續(xù)偏導數(shù)，從而 第九章曲線積分與曲面積分測試題 1填空題 （1）對坐標的曲線積分化成第一類曲線積分是，其中為有向曲線弧在點處的 切向量 的方向

10、角；（2）設(shè)為取正向的圓周則曲線積分 ；（3）設(shè)曲線積分.與積分路徑無關(guān)，其中 一階連續(xù)可導，且，則；（4）=_0_，其中為單位球面的外側(cè)；（5）設(shè)，則 0 ， 2計算下列曲線積分： （1）計算，其中為球面與平面的相交部分 解：由輪換對稱性 （2），其中是， 解：用球坐標表達是 原式 （3）其中為橢圓由點經(jīng)點到點的弧段；解：參數(shù)表達是 原式 （4），其中是與的交線，其方向與軸正向成右手系；解：參數(shù)表達是 原式 （5），其中為上半圓周，沿逆時針方向；解：加上形成半圓區(qū)域的正向邊界 原式 （6），其中是以點為定點，的正方形的整個邊界（取正向） 解：正向 原式 3計算下列曲面積分： （1）,為錐面介

11、于之間的部分 解：原式 （2）計算 解：為兩片 令 原式 （3）其中錯誤！不能通過編輯域代碼創(chuàng)建對象。是上半球面的上側(cè)；解：為 原式 （4），其中為錐面 的外側(cè)；解：加上上側(cè)，構(gòu)成封閉區(qū)域的外側(cè)。 原式 （5），其中是圓周，若正對著軸正向看去，取逆時針方向；解：由STOCHS公式，原式 （6），其中是曲線繞軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)曲面的上側(cè) 解：加上下側(cè)，構(gòu)成封閉區(qū)域的內(nèi)側(cè)。 原式 4設(shè)曲線積分與路徑無關(guān)，其中，且 求 解：曲線積分與路徑無關(guān)，連續(xù)可導 從而，又 故 5設(shè)具有連續(xù)的導數(shù)，且使表達式是某函數(shù)的全微分，求，并求一個 解：由已知，是某函數(shù)的全微分， 從而， ，又 故 6證明在右半平面內(nèi)，力所做

12、的功與所走的路徑無關(guān)，并計算由點到所做的功 解： 8證明：在整個平面除去的負半軸及原點的區(qū)域內(nèi)是某個二元函數(shù)的全微分，并求出一個這樣的二元函數(shù) 解：由于且偏導數(shù)在整個平面除去的負半軸及原點的區(qū)域內(nèi)是連續(xù)的，從而在整個平面除去的負半軸及原點的區(qū)域內(nèi)是某個二元函數(shù)的全微分， 函數(shù)如 9求向量通過的邊界曲面流向外側(cè)的通量 解： 11求向量場在點處的散度 解： 表達自然有致。高等數(shù)學（）期末參考答案一、填空題（每小題3分，共30分）1.已知a(1,1,2),b(0,1,2)，則ab1ij11k2(0,2,1) .22.點(1,1,1)到平面3x6y2z140的距離為 3.3.過點(3,0,1)且與平面

13、3x7y5z120平行的平面方程為3x7y5z40 .4.已知zf(xy,2xe2y)，則t4zxyf12f2 .5.曲線x14413,yt3312,zt22在相應(yīng)于t1處的法平面方程為(x)(y)(z)0 .10y06.交換積分dxf(x,y)dy的積分次序為xdyf(x,y)dy.2237.設(shè)：zxy22(0z1)，則zdSxy12xy2222dxdy.8.設(shè)向量A(x2yz)i(y2zx)j(z2xy)k，則divAPxQyRz2(xyz).9.設(shè)函數(shù)f(x)以2為周期，且f(x)x(x)，其Fourier級數(shù)為a02n1(ancosnxbnsinnx)，則b221xsin2xdx 1

14、.10.函數(shù)f(x)12x的麥克勞林級數(shù)為2(1)2nnx .nn0二、（8分）求函數(shù)f(x,y)xxyyxy1的極值，并指出是極大值還是極小值.解：fx(x,y)2xy1，fy(x,y)2yx1，22fx(x,y)02xy10令 ，得駐點(1,1).由于 , 即 f(x,y)02yx10yAfxx(x,y)2， Bfxy(x,y)1， Cfyy(x,y)2，且(BAC)x112230，A20,y1則(1,1)為極小值點，極小值為f(1,1)2.三、（8分）求級數(shù)(n1)xn的收斂域及它的和函數(shù).n0解：由于 lim|nan1an|lim|nnn1|1，則R1，當x1時，級數(shù)(n1)(1)n均

15、n0發(fā)散，所以收斂域為(1,1).設(shè)s(x)(n1)xn0n，則于是x0s(t)dt(n1)tdtn0 xnn0 xn1x1x，dx1xs(t).s(t)dt20dx(1x)1x四、（8分）計算(5x43xyLy)dx(3xy3xy322其中L是拋物線yxy)dy，22上自點(0,0)到點(1,1)的一段弧.解：P(x,y)5x3xyy，Q(x,y)3xy3xy322y在xoy面偏導數(shù)連續(xù)，且PyQx6xy3y，則曲線積分與路徑無關(guān)，取折線段(0,0)(1,0)(1,1)，則L(5x3xy42y)dx(3xy3xy322y)dy10(5x3x00)dx32113)11610222(31y31y

16、y)dy1(.(zx)dzdx(xy)dxdy，其中是由五、（8分）計算曲面積分Ix(yz)dydz柱面x2y21，平面z0,z3所圍立體表面的外側(cè).解：P(x,y,z)x(yz),Q(x,y,z)zx,R(x,y,z)xy在柱面x2y21，平面z0,z3所圍立體上偏導數(shù)連續(xù)，則由高斯公式有Ix(yz)dydz(zx)dzdx(xy)dxdyRz(PxQy)dv(yz)dvydv30zdv（第一個積分為0，想想為什么？）0zdzdxdyz1dzDz92.六、（8分）求下列方程的通解： 1.xyylnyxyxyyxlnyx解：xyyln，方程為齊次微分方程；設(shè)ududxxyx，則yuxu，代入得

17、u(lnu1)，兩端積分lnu1d(lnu1)xdx即ln(lnu1)lnxlnC 或lnuCx1 將uyx代回得yxe2xCx12.y4y3ye.解：方程為二階非齊次線性微分方程，對應(yīng)齊次線性微分方程的特征方程r4r30的特征根為r11,r23；f(x)e2x中2不是特征方程的根，則特解形式為y*Ae2x，代入得AyC1ex115，在由解的結(jié)構(gòu)得方程的通解為3xC2e115e2x七、（10分）設(shè)vnunun，wnunun，證明：1.若級數(shù)un絕對收斂，則級數(shù)vn收斂；n1n1證：由于un絕對收斂，即|un|收斂，則un也收斂，又vnn1n1n112|un|12un，由性質(zhì)知vn收斂.n12.若級數(shù)un條件收斂，則級數(shù)wn發(fā)散.n1n1證：（反證）假設(shè)wn收斂，已知un收斂，由wnn1n1unun，即|un|2wnun及性質(zhì)知|un|收斂，即un絕對收斂，與已知條件矛盾.所以wn發(fā)散.n1n1n1八、（10分）一均勻物體是由拋物面zx2y2及平面z1所圍成.1.求的體積；解：在xoy面投影域D:xy1，則所圍體積為V1(xDy)dxdy20d(1r)rdr2(2.求的質(zhì)心.1214).解：由于是均勻物體及幾何體關(guān)于yoz面、xoz面對稱，則質(zhì)心坐標應(yīng)為(0,0