極坐標(biāo)與參數(shù)方程-題型歸納

1、- -高考高頻題型整理匯總極坐標(biāo)與參數(shù)方程除了簡(jiǎn)單的極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的轉(zhuǎn)化、參數(shù)方程與普通方程的轉(zhuǎn)化外，還涉及以下部分問題（一）有關(guān)圓的題型題型一：圓與直線的位置關(guān)系（圓與直線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題）利用圓心到直線的距離與半徑比較dr:相離，無交點(diǎn)；d=r:相切,1個(gè)交點(diǎn)；dr:相交,2個(gè)交點(diǎn);用圓心（x0,y0）到直線Ax+By+C=0的距離d二宀+By+C，算出d,在與半徑比較。A2+B2題型二：圓上的點(diǎn)到直線的最值問題（不求該點(diǎn)坐標(biāo)，如果求該點(diǎn)坐標(biāo)請(qǐng)參照距離最值求法）思路：第一步：利用圓心（x0,y0）到直線Ax+By+C=0的距離d=叱ByA2+B2第二步：判斷直線與圓的位置關(guān)系第三步：相離：

2、代入公式：d=d+r，d=d-rmaxmin相切、相交：d=d+rd=0maxmin題型三：直線與圓的弦長(zhǎng)問題弦長(zhǎng)公式l=2-r2-d2，d是圓心到直線的距離延伸：直線與圓錐曲線（包括圓、橢圓、雙曲線、拋物線）的弦長(zhǎng)問題（弦長(zhǎng)：直線與曲線相交兩點(diǎn)，這兩點(diǎn)之間的距離就是弦長(zhǎng)）弦長(zhǎng)公式l=|-q，解法參考“直線參數(shù)方程的幾何意義”二)距離的最值：用“參數(shù)法”曲線上的點(diǎn)到直線距離的最值問題點(diǎn)與點(diǎn)的最值問題“參數(shù)法”：設(shè)點(diǎn)套公式-三角輔助角設(shè)點(diǎn)：設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)，點(diǎn)的坐標(biāo)用該點(diǎn)在所在曲線的的參數(shù)方程來設(shè)套公式：利用點(diǎn)到線的距離公式輔助角：利用三角函數(shù)輔助角公式進(jìn)行化一例如【2016高考新課標(biāo)3理數(shù)】在直角坐

3、標(biāo)系xOy中，曲線c的參數(shù)方程為x=“3cosa(a為參數(shù)),iIy=sina以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，以X軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為psin+%=2逐24寫出C的普通方程和C的直角坐標(biāo)方程；12設(shè)點(diǎn)P在C上，點(diǎn)Q在C?上，求|PQ|的最小值及此時(shí)P的直角坐標(biāo)I)C1的普通方程為f+y2=!，C的直角坐標(biāo)方程為x+y4=02(解說：C：J一*X=、3cosa利用三角消元：移項(xiàng)一化同一平方一相加y=sina這里沒有加減移項(xiàng)省去，直接化同，那系數(shù)除到左邊x；=cosav3n兩邊同時(shí)平方y(tǒng)=sinaX2T=COS2an兩道式子相加X2+y2=1y2=sin2a(口)由題意，可設(shè)點(diǎn)P

4、的直角坐標(biāo)為&3cosa,sina)(解說：點(diǎn)直接用該點(diǎn)的曲線方程的參數(shù)方程來表示)因?yàn)镃是直線，所以|PQ|的最小值即為P到C的距離d(a)的最小值，22d(a)二*3cosa血41f2lsinQ+*)-21(歐萌說：利用點(diǎn)到直接的距離列式子，然后就是三角函數(shù)的輔助公式進(jìn)行化一)當(dāng)sin(a+|)=1時(shí)即當(dāng)a=7Z)時(shí)，d(a)取得最小值，最小值為2，此時(shí)p的直角坐標(biāo)三)直線參數(shù)方程的幾何意義1經(jīng)過點(diǎn)P(x,y)，傾斜角為a的直線I的參數(shù)方程為f=x0+1cosa(t為參數(shù))若A,B為直線I上兩Iy=y+1sina0點(diǎn)，其對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t1，t2,線段AB的中點(diǎn)為M，點(diǎn)M所對(duì)應(yīng)的參數(shù)為t0

5、，則以下結(jié)論在解題中經(jīng)常用到：ttttt二寧；(2)|PM|=|t|二牙；|AB|=-tj;(4)嚀田書(5)|pa|+|pb|=即+盯=詢=衛(wèi)+12)2-當(dāng)譏0）與曲線C1,C2分別交于A,B兩點(diǎn)，求|AB|.解：（I）：曲線q的參數(shù)方程為卩二島二蟲（其中a為參數(shù)），y=2+V7sind曲線C1的普通方程為X2+（y-2）2=7.曲線C2：(x-1)2+y2=1,把x=pcos0,y=psin0代入(x-1)2+y2=1,得到曲線C2的極坐標(biāo)方程（pcose-1）2+（psine）2=1,化簡(jiǎn)，得p=2cos0.（口）依題意設(shè)人（）,B（）,1626曲線的極坐標(biāo)方程為P2-4psin0-3=

6、0,將.（p0）代入曲線J的極坐標(biāo)方程，得P2-2p-3=0,1解得P1=3,同理，將.（P0）代入曲線C2的極坐標(biāo)方程，得,6*|AB|=|PiP2l=3弓-（五）面積的最值問題面積最值問題一般轉(zhuǎn)化成弦長(zhǎng)問題+點(diǎn)到線的最值問題例題2016包頭校級(jí)二模)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圓C的參數(shù)方程為,(t為y=3+v2sint參數(shù))，在以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立的極坐標(biāo)系中，直線l的極坐標(biāo)方程為，A，B兩點(diǎn)的極坐標(biāo)分別為42(1)求圓C的普通方程和直線l的直角坐標(biāo)方程；(2)點(diǎn)P是圓C上任一點(diǎn)，求/AB面積的最小值.圓C的普通方程為(x+5)2+(y-3)2=2.由pcos(e+2!

7、)=-叼，化簡(jiǎn)得竺pcosO-竺psin6二-422即pcos0-psin0=-2,即x-y+2=0,則直線l的直角坐標(biāo)方程為x-y+2=0;設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為(-5+pcost,3+sint),P點(diǎn)到直線l的距離為d=5+邁匚口就-芒-邁日曲卄2丨二匚V241極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)、參數(shù)方程與普通方程的轉(zhuǎn)化- -角坐標(biāo)的伸縮設(shè)點(diǎn)P（x,y）是平面直角坐標(biāo)系中的任意一點(diǎn)，在變換申：=八）的作用下，點(diǎn)P（x，y）對(duì)應(yīng)到點(diǎn)P（x，yj，稱申為平面直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)伸縮Iy=yS卩）二入x,入0y=|jy,p0變換，簡(jiǎn)稱伸縮變換平面圖形的伸縮變換可以用坐標(biāo)伸縮變換來表示在伸縮變換下，直線仍然變成直線，拋物線仍

8、然變成拋物線，雙曲線仍然變成雙曲線，可以變成橢圓，橢圓也可以變成圓（重點(diǎn)考察）【強(qiáng)化理解】1曲線C經(jīng)過伸縮變換工為后，對(duì)應(yīng)曲線的方程為：X2+y2=1,則曲線C的方程為（）才=3y2222A.B.C.,D4x2+9y2=14y429149f,1【解答】解：曲線C經(jīng)過伸縮變換鼻乜工后，對(duì)應(yīng)曲線的方程為：x2+y2=1，=3y2把代入得到：故選：A2、在同一直角坐標(biāo)系中，求滿足下列圖形變換的伸縮變換：由曲線4X2+9y2二36變成曲線乂2+y2=1.乂二入x（入0）,【解答】解：設(shè)變換為:可將其代入xf2+yf2=1,得入2X2+P22=1y=py（U0）,X2y211將4X2+9y2=36變形為

9、+-4=1,比較系數(shù)得入=3，M=2- -所以1=-x,3，將橢圓4x2+1ly2y.至U圓乂2+丫2二1.(x)2力2亦可利用配湊法將4x2+9y2二36化為3I丿4-二1,與乂2+獷2二1對(duì)應(yīng)項(xiàng)比較即可得VxX=3,罔.119y2二36上的所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?,縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?,可得13、(2015春浮山縣校級(jí)期中)曲線X2+y2=1經(jīng)過伸縮變換巨后，變成的曲線方程是()13y+/=12592A.25x2+9y2=1B.9x2+25y2=1C.25x+9y=1D.玄【解答】解：由伸縮變換s=5，代入曲線X2+y2=1可得25(x)2+9(y)2=1,v=3y二、極坐標(biāo)1.公式：(1

10、)極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式如下表：點(diǎn)M直角坐標(biāo)(x,y)極坐標(biāo)(p,0)互化x=pcosOp2=x2+y2公式y(tǒng)二psin0tan0=(x豐0)、x已知極坐標(biāo)化成直角坐標(biāo)已知直角坐標(biāo)化成極坐標(biāo)(1)點(diǎn)：有關(guān)點(diǎn)的極坐標(biāo)與直角轉(zhuǎn)化的思路A:直角坐標(biāo)(x,y)化為極坐標(biāo)(p,0)的步驟p2=x2+y2運(yùn)用y()tan0=(x豐0)、x在0,2“)內(nèi)由tan0=上(x豐0)求0時(shí)，由直角坐標(biāo)的符號(hào)特征判斷點(diǎn)所在的象限.xB：極坐標(biāo)(p,0)化為直角坐標(biāo)(x,y)的步驟，運(yùn)用；x=pC0S0y=psin0(2)直線：直線的極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)轉(zhuǎn)化的思路A:直角坐標(biāo)轉(zhuǎn)化成極坐標(biāo)思路：直接利用公式；x=pco

11、s0，將式子里面的x和y用pcos0和psin0轉(zhuǎn)化，最后整理化簡(jiǎn)即可。Iy=psin0例如：x+3y-2=0:用公式將x和y轉(zhuǎn)化，即pcos0+3psin0-2=0B:極坐標(biāo)轉(zhuǎn)化成直角坐標(biāo)類型：直接轉(zhuǎn)化直接利用公式轉(zhuǎn)化例如：P(j2cos6+sin=1思路：第一步：去括號(hào)，Pj2cos6+psin6=1第二步：用公式；x=pcos0轉(zhuǎn)化，即Qx+y=1Iy=psin0類型：利用三角函數(shù)的兩角和差公式，即2psina）=k或2pcosa）=k思路：第一步：利用兩角和差公式把sin（0a）或cos0a）化開，特殊角的正余弦值化成數(shù)字，整理化簡(jiǎn)（x=pcos0第二步：利用公式!y=Psin0轉(zhuǎn)化例

12、如：直線l的極坐標(biāo)方程是2psinAI3丿二3/值化成數(shù)字整理化簡(jiǎn)，1jy/32p（sin0cos齊cos0sin亍二爪=2p（2sin+cos0）二心sin0+后cos0二爪第二步：第二步：利用公式x二pcos0y=Psin0轉(zhuǎn)化psin0+0）思路:直接代入y-tanx即y-xT3y-v3xT*3y-x，x-J3y-033（注：直線的直角坐標(biāo)方程一般要求寫成一般式：Ax+By+C=0）三、曲線極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)互換（一）圓的直角與極坐標(biāo)互換sV壯、mTHl-ws寸Humu一S寸H、CN;IUCN寸I-lX寸HSoo寸HuSoo寸HX.0-【細(xì)】UCN寸I-l0寸1+HUFdz+Hsoodgz

13、dnmOH寸1+HUFdz+Hsood8(HZUF+Hzsogzd.0HEI+Hsdz+pz啟Szd+9I+HsoodgHzsoozd品EHZ(I+HESd)+z(寸Hsood)0寸1+Hsdz+Hsood8zd0H寸I+iz+K8zy+ZK品0HEI+AZ+zy+9I+K8ZKEHz(I+i)+z(寸H)寸Izi+zKnm寸IOHXKzi+zKi+KHzi+zK.HESd+HsoodHzd|gdYajljMIEmlgasHu-S+Hsod:- -TP二-42+(5n限=-，直角坐標(biāo)是（2，-4：3)2=8,tan0二=-對(duì)應(yīng)的極坐標(biāo)為8,0eO,2n），又點(diǎn)（4，-矢在第四象2、將下列直角坐

14、標(biāo)方程與極坐標(biāo)方程進(jìn)行互化y2=4x;n0=3(PeR);1P2cos20=4;p=2cose【解答】解：將x=pcos0,y=psin0代入y2=4x,得(psine)2=4pcos&.化簡(jiǎn)得psin20=4coseynyll當(dāng)xhO時(shí)，由于tan0=x，故tan3=x=“J3，化簡(jiǎn)得y=.l3x(x/0);當(dāng)滅=0時(shí),y=0.顯然(0,0)在y=,3x上，故e=n(peR)的直角坐標(biāo)方程為y=j3x.因?yàn)閜2COs20=4，所以P2COS2&-P2Sin2。=4,即X2-y2=4.1J因?yàn)镻=2cose，所以2p-pcos0=1,因此2；：X2+y2-x=1,化簡(jiǎn)得3x2+4y2-2x-1

15、=0.TOC o 1-5 h z3化極坐標(biāo)方程P2cose-P=0為直角坐標(biāo)方程為()A.x2+y2=0或y=1B.x=1C.x2+y2=0或x=1D.y=1C222【解答】解：p2cose-p=o,.pcose-1=0或p=opcose二、Psin6-yx2+y2=0或x=1,故選C.4將曲線pcose+2psine-1=0的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程為（）A.y+2x-1=0B.x+2y-1=0C.X2+2y2-1=0D.2y2+X2-1=0TOC o 1-5 h z【解答】解：由曲線pcos0+2psin0-1=0,及,sin9可得x+2y-1=0.曲線pcos0+2psin0-1=0的

16、極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程為x+2y-1=0.故選：B.-(n)氣2-5、在極坐標(biāo)系下，已知圓O：p二cos0+sin8和直線l:psin0-才二號(hào).，求圓0和直線l的I丿直角坐標(biāo)方程；【解答】解：圓0：P二cos0+sin0,即P2=pcos0+psin0,圓0的直角坐標(biāo)方程為：X2+y2=x+y,即X2+y2-x-y二0,/n直線l:psin0-42,即psin0-pcos0=1,則直線I的直角坐標(biāo)方程為：y-x=1,即x-y+1=0.1.必記的曲線參數(shù)方程已知條件普通方程參數(shù)方程經(jīng)過點(diǎn)P(x0,y0)，傾斜角為ayy二k(x-x)00 x二x0+tcosa,b0)a2b2VX二acos0

17、,.c(0為參數(shù))y二bsin0實(shí)軸a和虛軸bX2y2雙曲線7=1(a0,b0)a2b2廠ax-q,C0S0(0為參數(shù))0)Vx=2pt2,y二2pt2.參數(shù)方程與普通方程的轉(zhuǎn)化(1)參數(shù)方程轉(zhuǎn)化成普通方程類型一：含t的消參思路：含有t的參數(shù)方程消參時(shí)，想辦法把參數(shù)t消掉就可以啦，有兩個(gè)思路：思路一：代入消元法，把兩條式子中比較簡(jiǎn)單的一條式子轉(zhuǎn)化成t=f(x)或t=f(y)，思路二：加減消元：讓含有t前面的系數(shù)相同或成相反數(shù)后相加減。例如：曲線C：x=2+t2(t為參數(shù))T1材2y=1+tr2解：思路一：代入消元：x=2+孑t,.孑t=x2,代入y=1+孑t,得y=x1,即xy1=0.思路二：加減消元：兩式相減，xy1=0.類型二：含三角函數(shù)的消參思路：三角函數(shù)類型的消參一般的步驟就是：移項(xiàng)-化同-平方-相加移項(xiàng)：把除了三角函數(shù)的其他相加減數(shù)字移動(dòng)左邊化同：把三角函數(shù)前面的系數(shù)化成相同平方：兩道式子左右同時(shí)平方相加：平方后的式子進(jìn)行相加注：有時(shí)候并不需要全部步驟）x=1+cos0,例如：圓|y=-2+sine消參數(shù)，化普通方程#（X-1）2+（y+2）2=1-平方*(X-1)2=C0S29(y+2)2=sin29相加：（x-1)2+(y+2)2:=13.參數(shù)方程涉及題型（1）直線參數(shù)方程