2022-2023學(xué)年人教A版必修第一冊(cè) 第四章 4.5.3函數(shù)模型的應(yīng)用 學(xué)案

1、第四章 指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)4.5 函數(shù)的應(yīng)用（二）4.5.3函數(shù)模型的應(yīng)用素養(yǎng)導(dǎo)引1.收集、閱讀一些現(xiàn)實(shí)生活、生產(chǎn)實(shí)際或者經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域的數(shù)學(xué)模型,體會(huì)人們是如何借助函數(shù)刻畫(huà)實(shí)際問(wèn)題的(數(shù)學(xué)建模)2.感悟數(shù)學(xué)模型中參數(shù)的現(xiàn)實(shí)意義(數(shù)學(xué)運(yùn)算)學(xué)習(xí)任務(wù)一已知函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題(數(shù)學(xué)建模)1(2021海南高一檢測(cè))已知f(x) eq f(5,14x1) (xN)描述的是一種果樹(shù)的高度隨著時(shí)間x(單位：年)變化的規(guī)律，則該果樹(shù)的高度超過(guò)4.8 m，至少需要()A3年B4年C5年D6年【解析】選B.因?yàn)閒(x) eq f(5,14x1) eq f(5,1f(4,4x) ，所以f(x)在0，)上單調(diào)遞增，且f

2、(3) eq f(5,142) eq f(80,17) 4.8，故該果樹(shù)的高度超過(guò)4.8 m，至少需要4年2基礎(chǔ)建設(shè)對(duì)社會(huì)經(jīng)濟(jì)效益產(chǎn)生巨大的作用，某市投入a億元進(jìn)行基礎(chǔ)建設(shè)，t年后產(chǎn)生f eq blc(rc)(avs4alco1(t) ae億元社會(huì)經(jīng)濟(jì)效益則該市經(jīng)過(guò)_年，該項(xiàng)投資產(chǎn)生的社會(huì)經(jīng)濟(jì)效益是投資額的8倍【解析】設(shè)投資t年后，產(chǎn)生的社會(huì)經(jīng)濟(jì)效益是投資額的8倍，則有ae8a，解得t12，所以再過(guò)12年，該項(xiàng)投資產(chǎn)生的社會(huì)經(jīng)濟(jì)效益是投資額的8倍答案：12利用已知函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題(1)利用已知函數(shù)模型相關(guān)的運(yùn)算性質(zhì)、函數(shù)性質(zhì)解決實(shí)際問(wèn)題；(2)涉及較為復(fù)雜的指數(shù)運(yùn)算時(shí)，常常利用等式的兩邊取

3、對(duì)數(shù)的方法，將指數(shù)運(yùn)算轉(zhuǎn)化為對(duì)數(shù)運(yùn)算學(xué)習(xí)任務(wù)二建立函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題(數(shù)學(xué)建模)【典例】一種專(zhuān)門(mén)占據(jù)內(nèi)存的計(jì)算機(jī)病毒，能在短時(shí)間內(nèi)感染大量文件，使每個(gè)文件都不同程度地加長(zhǎng)，造成磁盤(pán)空間的嚴(yán)重浪費(fèi)這種病毒開(kāi)機(jī)時(shí)占據(jù)內(nèi)存2 KB，每3分鐘后病毒所占內(nèi)存是原來(lái)的2倍記x分鐘后的病毒所占內(nèi)存為y KB.(1)求y關(guān)于x的函數(shù)解析式；(2)如果病毒占據(jù)內(nèi)存不超過(guò)1 GB(1 GB210MB，1 MB210KB)時(shí)，計(jì)算機(jī)能夠正常使用，求本次開(kāi)機(jī)計(jì)算機(jī)能正常使用的時(shí)長(zhǎng)【解析】(1)因?yàn)樵趧傞_(kāi)機(jī)時(shí)它占據(jù)內(nèi)存2 KB，然后每3分鐘后所占的內(nèi)存是原來(lái)的2倍，所以，一個(gè)三分鐘后它占據(jù)的內(nèi)存為2222 KB；兩個(gè)

4、三分鐘后它占據(jù)的內(nèi)存為22223 KB；三個(gè)三分鐘后它占據(jù)的內(nèi)存為23224 KB；所以，x分鐘后它占據(jù)的內(nèi)存為2KB，所以y2；(2)由2210210220，得 eq f(x,3) 120，解得x57.有關(guān)指數(shù)增長(zhǎng)(衰減)問(wèn)題(1)熟練應(yīng)用指數(shù)函數(shù)模型ya eq blc(rc)(avs4alco1(1x) n，a0，0 x1，解題時(shí)特別注意增長(zhǎng)(衰減)次數(shù)，審清如年初、年底等字眼(2)對(duì)于比較復(fù)雜的問(wèn)題，可以通過(guò)寫(xiě)出前13次的表達(dá)式，找出規(guī)律后再寫(xiě)第n次的假設(shè)某地初始物價(jià)為1，其物價(jià)每年以5%的增長(zhǎng)率遞增，當(dāng)該地物價(jià)不低于1.5時(shí)，至少需要經(jīng)過(guò)的年數(shù)為(參考數(shù)據(jù)：取lg 20.3，lg 30

5、.48，lg 211.32)()A8 B9 C10 D11【解析】選B.經(jīng)過(guò)x年后該地物價(jià)為 eq blc(rc)(avs4alco1(f(21,20) eq sup12(x) ，由題意可得， eq blc(rc)(avs4alco1(f(21,20) eq sup12(x) eq f(3,2) ，解得xlog eq f(3,2) ，log eq f(3,2) eq f(lg 3lg 2,lg 21lg 20) eq f(lg 3lg 2,lg 21lg 21) eq f(0.480.3,1.320.31) 9.學(xué)習(xí)任務(wù)三選擇函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題(數(shù)學(xué)建模)【典例】某地方政府為鼓勵(lì)全民創(chuàng)業(yè)，擬

6、對(duì)本地產(chǎn)值在50萬(wàn)元到500萬(wàn)元的新增小微企業(yè)進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì)，獎(jiǎng)勵(lì)方案遵循以下原則：獎(jiǎng)金y(單位：萬(wàn)元)隨年產(chǎn)值x(單位：萬(wàn)元)的增加而增加，且獎(jiǎng)金不低于7萬(wàn)元，同時(shí)獎(jiǎng)金不超過(guò)年產(chǎn)值的15%.(1)若某企業(yè)產(chǎn)值100萬(wàn)元，核定可得9萬(wàn)元獎(jiǎng)金，試分析函數(shù)ylg xkx5(k為常數(shù))是否為符合政府要求的獎(jiǎng)勵(lì)函數(shù)模型，并說(shuō)明原因(已知lg 20.3，lg 50.7).(2)若采用函數(shù)f(x) eq f(15xa,x8) 作為獎(jiǎng)勵(lì)函數(shù)模型，試確定最小的正整數(shù)a的值【解題思維】觀(guān)察獎(jiǎng)金不低于7萬(wàn)元，同時(shí)獎(jiǎng)金不超過(guò)年產(chǎn)值的15%；ylg xkx5；f(x) eq f(15xa,x8) .聯(lián)想選取模型、列不等式依

7、據(jù)；對(duì)數(shù)運(yùn)算；分離常數(shù)、反比例函數(shù)模型轉(zhuǎn)化代入數(shù)據(jù)，根據(jù)限制條件判斷；分離參數(shù)，利用單調(diào)性將不等式轉(zhuǎn)化為恒成立問(wèn)題求a的取值范圍，從而確定a值【解析】(1)對(duì)于函數(shù)模型ylg xkx5(k為常數(shù))，當(dāng)x100時(shí)，y9，代入解得k eq f(1,50) ，所以ylg x eq f(x,50) 5.當(dāng)x50，500時(shí)，ylg x eq f(x,50) 5是遞增的，但當(dāng)x50時(shí)，ylg 5067.55015%，即獎(jiǎng)金不超過(guò)年產(chǎn)值的15%不成立，故該函數(shù)模型不符合要求(2)對(duì)于函數(shù)模型f(x) eq f(15xa,x8) 15 eq f(120a,x8) ，a為正整數(shù)，函數(shù)在50，500上遞增；f(x

8、)minf(50)7，解得a344；要使f(x)0.15x對(duì)x50，500恒成立，即a0.15x213.8x，即x50，500恒成立，所以a315.綜上所述315a344，所以滿(mǎn)足條件的最小的正整數(shù)a的值為315.函數(shù)擬合與預(yù)測(cè)的一般步驟(1)根據(jù)原始數(shù)據(jù)、表格，繪出散點(diǎn)圖(2)通過(guò)觀(guān)察散點(diǎn)圖，畫(huà)出擬合直線(xiàn)或擬合曲線(xiàn)(3)求出擬合直線(xiàn)或擬合曲線(xiàn)的函數(shù)關(guān)系式(4)利用函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)條件對(duì)所給問(wèn)題進(jìn)行預(yù)測(cè)和控制，為決策和管理提供依據(jù)某一輛汽車(chē)經(jīng)過(guò)多次實(shí)驗(yàn)得到，每小時(shí)耗油量Q(單位：L)與速度v(單位：km/h)(0v120)的下列數(shù)據(jù)：v0406080120Q0.0006.6678.12510.00020.000為了描述汽車(chē)每小時(shí)耗油量與速度的關(guān)系，現(xiàn)有以下四種模型供選擇：甲：Qav2bvc，乙：Qav3bv2cv，丙：Q0.5va，?。篞klogavb.其中a，b，c均不為0，其中最符合實(shí)際的函數(shù)模型為()A甲B乙C丙D丁【解析】選B.依題意可知該函