2022-2023學年人教A版必修第一冊 第四章 4.5.3函數(shù)模型的應用 學案

1、第四章 指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)4.5 函數(shù)的應用（二）4.5.3函數(shù)模型的應用素養(yǎng)導引1.收集、閱讀一些現(xiàn)實生活、生產(chǎn)實際或者經(jīng)濟領(lǐng)域的數(shù)學模型,體會人們是如何借助函數(shù)刻畫實際問題的(數(shù)學建模)2.感悟數(shù)學模型中參數(shù)的現(xiàn)實意義(數(shù)學運算)學習任務一已知函數(shù)模型解決實際問題(數(shù)學建模)1(2021海南高一檢測)已知f(x) eq f(5,14x1) (xN)描述的是一種果樹的高度隨著時間x(單位：年)變化的規(guī)律，則該果樹的高度超過4.8 m，至少需要()A3年B4年C5年D6年【解析】選B.因為f(x) eq f(5,14x1) eq f(5,1f(4,4x) ，所以f(x)在0，)上單調(diào)遞增，且f

2、(3) eq f(5,142) eq f(80,17) 4.8，故該果樹的高度超過4.8 m，至少需要4年2基礎建設對社會經(jīng)濟效益產(chǎn)生巨大的作用，某市投入a億元進行基礎建設，t年后產(chǎn)生f eq blc(rc)(avs4alco1(t) ae億元社會經(jīng)濟效益則該市經(jīng)過_年，該項投資產(chǎn)生的社會經(jīng)濟效益是投資額的8倍【解析】設投資t年后，產(chǎn)生的社會經(jīng)濟效益是投資額的8倍，則有ae8a，解得t12，所以再過12年，該項投資產(chǎn)生的社會經(jīng)濟效益是投資額的8倍答案：12利用已知函數(shù)模型解決實際問題(1)利用已知函數(shù)模型相關(guān)的運算性質(zhì)、函數(shù)性質(zhì)解決實際問題；(2)涉及較為復雜的指數(shù)運算時，常常利用等式的兩邊取

3、對數(shù)的方法，將指數(shù)運算轉(zhuǎn)化為對數(shù)運算學習任務二建立函數(shù)模型解決實際問題(數(shù)學建模)【典例】一種專門占據(jù)內(nèi)存的計算機病毒，能在短時間內(nèi)感染大量文件，使每個文件都不同程度地加長，造成磁盤空間的嚴重浪費這種病毒開機時占據(jù)內(nèi)存2 KB，每3分鐘后病毒所占內(nèi)存是原來的2倍記x分鐘后的病毒所占內(nèi)存為y KB.(1)求y關(guān)于x的函數(shù)解析式；(2)如果病毒占據(jù)內(nèi)存不超過1 GB(1 GB210MB，1 MB210KB)時，計算機能夠正常使用，求本次開機計算機能正常使用的時長【解析】(1)因為在剛開機時它占據(jù)內(nèi)存2 KB，然后每3分鐘后所占的內(nèi)存是原來的2倍，所以，一個三分鐘后它占據(jù)的內(nèi)存為2222 KB；兩個

4、三分鐘后它占據(jù)的內(nèi)存為22223 KB；三個三分鐘后它占據(jù)的內(nèi)存為23224 KB；所以，x分鐘后它占據(jù)的內(nèi)存為2KB，所以y2；(2)由2210210220，得 eq f(x,3) 120，解得x57.有關(guān)指數(shù)增長(衰減)問題(1)熟練應用指數(shù)函數(shù)模型ya eq blc(rc)(avs4alco1(1x) n，a0，0 x1，解題時特別注意增長(衰減)次數(shù)，審清如年初、年底等字眼(2)對于比較復雜的問題，可以通過寫出前13次的表達式，找出規(guī)律后再寫第n次的假設某地初始物價為1，其物價每年以5%的增長率遞增，當該地物價不低于1.5時，至少需要經(jīng)過的年數(shù)為(參考數(shù)據(jù)：取lg 20.3，lg 30

5、.48，lg 211.32)()A8 B9 C10 D11【解析】選B.經(jīng)過x年后該地物價為 eq blc(rc)(avs4alco1(f(21,20) eq sup12(x) ，由題意可得， eq blc(rc)(avs4alco1(f(21,20) eq sup12(x) eq f(3,2) ，解得xlog eq f(3,2) ，log eq f(3,2) eq f(lg 3lg 2,lg 21lg 20) eq f(lg 3lg 2,lg 21lg 21) eq f(0.480.3,1.320.31) 9.學習任務三選擇函數(shù)模型解決實際問題(數(shù)學建模)【典例】某地方政府為鼓勵全民創(chuàng)業(yè)，擬

6、對本地產(chǎn)值在50萬元到500萬元的新增小微企業(yè)進行獎勵，獎勵方案遵循以下原則：獎金y(單位：萬元)隨年產(chǎn)值x(單位：萬元)的增加而增加，且獎金不低于7萬元，同時獎金不超過年產(chǎn)值的15%.(1)若某企業(yè)產(chǎn)值100萬元，核定可得9萬元獎金，試分析函數(shù)ylg xkx5(k為常數(shù))是否為符合政府要求的獎勵函數(shù)模型，并說明原因(已知lg 20.3，lg 50.7).(2)若采用函數(shù)f(x) eq f(15xa,x8) 作為獎勵函數(shù)模型，試確定最小的正整數(shù)a的值【解題思維】觀察獎金不低于7萬元，同時獎金不超過年產(chǎn)值的15%；ylg xkx5；f(x) eq f(15xa,x8) .聯(lián)想選取模型、列不等式依

7、據(jù)；對數(shù)運算；分離常數(shù)、反比例函數(shù)模型轉(zhuǎn)化代入數(shù)據(jù)，根據(jù)限制條件判斷；分離參數(shù)，利用單調(diào)性將不等式轉(zhuǎn)化為恒成立問題求a的取值范圍，從而確定a值【解析】(1)對于函數(shù)模型ylg xkx5(k為常數(shù))，當x100時，y9，代入解得k eq f(1,50) ，所以ylg x eq f(x,50) 5.當x50，500時，ylg x eq f(x,50) 5是遞增的，但當x50時，ylg 5067.55015%，即獎金不超過年產(chǎn)值的15%不成立，故該函數(shù)模型不符合要求(2)對于函數(shù)模型f(x) eq f(15xa,x8) 15 eq f(120a,x8) ，a為正整數(shù)，函數(shù)在50，500上遞增；f(x

8、)minf(50)7，解得a344；要使f(x)0.15x對x50，500恒成立，即a0.15x213.8x，即x50，500恒成立，所以a315.綜上所述315a344，所以滿足條件的最小的正整數(shù)a的值為315.函數(shù)擬合與預測的一般步驟(1)根據(jù)原始數(shù)據(jù)、表格，繪出散點圖(2)通過觀察散點圖，畫出擬合直線或擬合曲線(3)求出擬合直線或擬合曲線的函數(shù)關(guān)系式(4)利用函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)條件對所給問題進行預測和控制，為決策和管理提供依據(jù)某一輛汽車經(jīng)過多次實驗得到，每小時耗油量Q(單位：L)與速度v(單位：km/h)(0v120)的下列數(shù)據(jù)：v0406080120Q0.0006.6678.12510.00020.000為了描述汽車每小時耗油量與速度的關(guān)系，現(xiàn)有以下四種模型供選擇：甲：Qav2bvc，乙：Qav3bv2cv，丙：Q0.5va，?。篞klogavb.其中a，b，c均不為0，其中最符合實際的函數(shù)模型為()A甲B乙C丙D丁【解析】選B.依題意可知該函