概率統(tǒng)計第3章多維隨機變量及其分布

1、第三章 多維隨機變量及其分布二維隨機變量聯(lián)合分布和邊緣分布函數(shù)二維離散型隨機變量聯(lián)合分布律和邊緣分布律相互獨立的隨機變量二維連續(xù)型隨機變量聯(lián)合概率密度和邊緣概率密度二維隨機變量的概念二維隨機變量的聯(lián)合分布函數(shù)及其性質(zhì)二維隨機變量的邊緣分布函數(shù)第一節(jié) 二維隨機變量的分布函數(shù)定義1：設(shè)隨機試驗的樣本空間是設(shè)和是定義在上的隨機變量，則它們構(gòu)成的一個向量稱為二維隨機變量或二維隨機向量。一、二維隨機變量的概念 例：拋擲硬幣3次，記 X 為正面出現(xiàn)的次數(shù)，Y為正面與反面出現(xiàn)的次數(shù)之差的絕對值，可能取值對于是二維隨機變量 定義2:設(shè)是二維隨機變量，對于任意實數(shù)二元函數(shù)稱為二維隨機變量的分布函數(shù)，或聯(lián)合分布函

2、數(shù)。 二、聯(lián)合分布函數(shù)二維分布函數(shù)的幾何意義處的函數(shù)值:在隨機點落在以為頂點的左下方矩形開域上的概率。所以性質(zhì)： 是變量和的不減函數(shù)，即對任意固定的，當(dāng)時，對任意固定的，當(dāng)時， 關(guān)于右連續(xù)，即三、邊緣分布函數(shù) 的分布函數(shù)為分別設(shè)的邊緣分布函數(shù)。 則的分布函數(shù)為記和，稱為關(guān)于和同理可得注：已知聯(lián)合分布，可以求解 X , Y 的邊緣分布。例1. 設(shè)的分布函數(shù)為求常數(shù)的值及概率【解】 由分布函數(shù)的性質(zhì)得典型例題分析1.已知聯(lián)合分布函數(shù)，求解未知參數(shù)和區(qū)域概率【解】的邊緣分布函數(shù)為關(guān)于例2:已知的分布函數(shù)為的邊緣分布函數(shù)和求關(guān)于問各服從什么分布？同理，2.已知聯(lián)合分布函數(shù)，求解邊緣分布函數(shù)二維離散型隨

3、機變量的概念二維離散型隨機變量的聯(lián)合分布律及其性質(zhì)二維離散型隨機變量的邊緣分布律第二節(jié) 二維離散型隨機變量的概率分布二維離散型隨機變量的獨立性定義:若二維隨機變量的所有可能取值是有限對或可列無限多對時，則稱為離散型隨機變量。一、二維離散型隨機變量的聯(lián)合分布律。則稱(1)式為二維隨機變量滿足：二、 離散型隨機變量的邊緣分布律 設(shè)的聯(lián)合分布律為則關(guān)于的邊緣分布律為記做記做同理通常用以下表格表示的分布律和邊緣分布律典型例題分析1.求古典概型中二維隨機變量的分布律例1:箱內(nèi)有6個球,其中紅、白、黑球分別為1,2,3個，現(xiàn)從箱中隨機的取出2球，記 X 為取出的紅球的個數(shù)，Y為取出的白球的個數(shù)，求（X,Y

4、）的聯(lián)合分布?！窘狻侩S機變量可能取值為0,1；可能取值為0,1,2；所以隨機變量（X ,Y）的聯(lián)合分布律為隨機變量X ,Y 的邊緣分布律為 例2.一袋中有四個球,上面分別標(biāo)有數(shù)字1,2,2,3.從袋中任取一球后不放回,再從袋中任取一個球,以分別表示第一、二次取得的球上標(biāo)有的數(shù)字，求的分布律?！窘狻靠赡苋≈稻鶠?,2,3.同理可得所以的分布律為 0 1/6 1/12 1/6 1/6 1/6 1/12 1/6 0 1 2 3 1 2 32.已知邊緣分布律，求解聯(lián)合分布律【解】由題意可知即例3:設(shè)隨機變量且，則于是可得 下面將填寫分布律表格所以作業(yè)（1）(X,Y)的聯(lián)合分布律；設(shè)隨機變量且，求（2）

5、3.已知隨機變量的概率分布，求函數(shù)的聯(lián)合分布律【解】由題意可知的可能取值對為于是例4:設(shè)隨機變量求的聯(lián)合分布律和邊緣分布律。，記 于是聯(lián)合分布律和邊緣分布律為事實上，邊緣分布率還可以直接求解同理可得三、兩個隨機變量的獨立性定義：若二維隨機變量的分布律滿足（1）聯(lián)合分布律為邊緣分布律的乘積，即或（2）記聯(lián)合分布矩陣若矩陣兩行或兩列對應(yīng)成比例，即則隨機變量 X 與 Y 相互獨立.例5:設(shè)隨機變量相互獨立，試確定其余值？【解】因為相互獨立，則兩行或兩列對應(yīng)成例，即首先，解得解得又由歸一性可得，同時滿足解得二維連續(xù)型隨機變量的概念二維連續(xù)型隨機變量的聯(lián)合概率密度及其性質(zhì)二維連續(xù)型隨機變量的邊緣概率密度

6、第三節(jié) 二維連續(xù)型隨機變量的概率分布二維連續(xù)型隨機變量的獨立性定義:設(shè)二維隨機變量的分布函數(shù)為若存在使得對任意實數(shù)總有則稱為二維連續(xù)型隨機變量,稱為的概率密度,或稱為隨機變量和的聯(lián)合概率密度。一、二維連續(xù)型隨機變量若在點連續(xù)，則有,即連續(xù)型隨機變量在某點的概率為0。G 表示xOy平面上的區(qū)域,落在此區(qū)域上的概率相當(dāng)于以G為底,以曲面為頂?shù)那斨w體積。注：f (x , y) 的性質(zhì):于是設(shè) 為有效函數(shù)，為有效區(qū)域。（1）X 型區(qū)域表示Y 型區(qū)域表示（歸一性）（2）同時注意有效區(qū)域的表示注：稱二、連續(xù)型隨機變量的邊緣概率密度若是二維連續(xù)型隨機變量,其概率密度為則:同理（關(guān)于Y 的邊緣概率密度）事

7、實上，（關(guān)于X 的邊緣概率密度）已知聯(lián)合概率密度求解邊緣概率密度的難點為：若的聯(lián)合概率密度的有效區(qū)域 D 可以表示為（2）自變量的有效區(qū)間積分表達(dá)式上下限（1）三、常見連續(xù)型分布1.均勻分布2.二元正態(tài)分布例1:設(shè)二維隨機變量的概率密度試求：常數(shù)的值；(2) 概率【解】 由概率密度的性質(zhì)得,從而得典型例題分析1.已知概率密度求解未知參數(shù)，或區(qū)域概率。（2）將看作平面上隨機點的坐標(biāo)，有作業(yè):設(shè)二維隨機變量的概率密度為則(X , Y)服從的概率密度為例2:設(shè)二維隨機變量為區(qū)域 D 上的均勻分布，,則其中【解】則【解】例3.上服從均勻分布,密度的概率密度為xy012.已知聯(lián)合概率密度，求解邊緣概率密度函數(shù)xy01y=x區(qū)域 G 用 Y 型區(qū)域表示為于是 Y 的邊緣概率密度函數(shù)為【解】例4:已知, 求邊緣概率密度函數(shù).區(qū)域 D 用 X 型區(qū)域表示為于是 X 的邊緣概率密度函數(shù)為區(qū)域 D 用 Y 型區(qū)域表示為于是 Y 的邊