高中數(shù)學(xué)選修1-2配北師版-課后習(xí)題Word版第三章　1.1　歸納推理

1、第三章DISANZHANG推理與證明1歸納與類比1.1歸納推理課后篇鞏固提升A組1.已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn=n2an(n2),a1=1,猜想an等于()A.2(n+1)2B.2n(n+1)C.22n-1D.22n-1答案B解析由a1=1,Sn=n2an,得a2=13,a3=16,a4=110,猜想an=2n(n+1),故選B.2.將全體正整數(shù)排成一個(gè)三角形數(shù)陣:按照以上排列的規(guī)律,則第20行從左向右的第3個(gè)數(shù)為()A.193B.192C.174D.173答案A解析由排列的規(guī)律可得,第n-1行結(jié)束的時(shí)候共排了1+2+3+(n-1)=(n-1)(1+n-1)2=(n-1)n2個(gè)數(shù),則第n行的第

2、一個(gè)數(shù)字為n(n-1)2+1,則第20行的第一個(gè)數(shù)字為191,故第20行從左向右的第3個(gè)數(shù)為193.故選A.3.定義A*B,B*C,C*D,D*B依次對(duì)應(yīng)下列4個(gè)圖形:則下列4個(gè)圖形中,可以表示A*D,A*C的分別是()A.圖1,圖2B.圖1,圖3C.圖2,圖4D.圖1,圖4答案C解析由可歸納得出:符號(hào)“*”表示圖形的疊加,字母A代表豎線,字母B代表大矩形,字母C代表橫線,字母D代表小矩形.故A*D是圖2,A*C是圖4.4.如圖是元宵花燈展中一款五角星燈連續(xù)旋轉(zhuǎn)閃爍所成的三個(gè)圖形,照此規(guī)律閃爍,下一個(gè)呈現(xiàn)出來(lái)的圖形是()答案A5.已知x1,觀察下列不等式:x+1x2,x2+2x3,x3+3x4

3、,按此規(guī)律,第n個(gè)不等式為.答案xn+nxn+1解析由x+1x2,x2+2x3,x3+3x4可知第n個(gè)不等式為xn+nxn+1.6.觀察下列等式(1+1)=21(2+1)(2+2)=2213(3+1)(3+2)(3+3)=23135照此規(guī)律,第n個(gè)等式可為.答案(n+1)(n+2)(n+n)=2n135(2n-1)解析等號(hào)左邊為n項(xiàng)的乘積;等號(hào)右邊為兩部分:一部分為2n,另一部分為n個(gè)連續(xù)奇數(shù)的乘積.故第n個(gè)等式為(n+1)(n+2)(n+3)(n+n)=2n135(2n-1).7.已知數(shù)列an對(duì)一切的nN+,an0,設(shè)前n項(xiàng)和為Sn,且2Sn=an+1,則通過(guò)前幾項(xiàng)猜想出數(shù)列的通項(xiàng)公式為an

4、=.答案2n-1解析因?yàn)?Sn=an+1,所以2S1=a1+1,即2a1=a1+1,所以a1=1.又2S2=a2+1,所以2a1+a2=a2+1.所以a22-2a2-3=0.因?yàn)閷?duì)一切的nN+,an0,所以a2=3.同理可求得a3=5,a4=7,猜測(cè)出an=2n-1(nN+).8.經(jīng)計(jì)算發(fā)現(xiàn)下列正確不等式:2+18210,4.5+15.5210,3+2+17-20,b0)解析各不等式右邊相同,左邊兩根號(hào)內(nèi)的數(shù)之和等于20.9.觀察下列各式:sin230+cos260+sin 30cos 60=34;sin240+cos270+sin 40cos 70=34;sin215+cos245+sin

5、15cos 45=34.分析以上各式的共同特點(diǎn),根據(jù)其特點(diǎn)寫出反映一般規(guī)律的等式,并對(duì)等式是否正確加以證明.解反映一般規(guī)律的等式是:sin2+cos2(+30)+sin cos(+30)=34.(表達(dá)形式不唯一)該等式是正確的,證明如下:sin2+cos2(+30)+sin cos(+30)=sin2+(cos cos 30-sin sin 30)2+sin (cos cos 30-sin sin 30)=sin2+32cos-12sin2+32sin cos -12sin2=sin2+34cos2+14sin2-32sin cos +32sin cos -12sin2=34(sin2+cos

6、2)=34.10.由下列各式:112;1+12+131;1+12+13+14+15+16+1732;1+12+13+14+1152.請(qǐng)你歸納出一般結(jié)論.解將題中所給四個(gè)式子變形121-112;1+12+122-122;1+12+13+14+15+16+123-132;1+12+13+14+124-142.歸納概括,猜測(cè)得1+12+13+12n-1n2.B組1.觀察下列各式:1=12,2+3+4=32,3+4+5+6+7=52,4+5+6+7+8+9+10=72,可以得出的一般結(jié)論是()A.n+(n+1)+(n+2)+(3n-2)=n2B.n+(n+1)+(n+2)+(3n-2)=(2n-1)2

7、C.n+(n+1)+(n+2)+(3n-1)=n2D.n+(n+1)+(n+2)+(3n-1)=(2n-1)2答案B解析觀察各式很容易發(fā)現(xiàn)規(guī)律:n+(n+1)+(n+2)+(3n-2)=(2n-1)2.2.觀察下列數(shù)表規(guī)律則數(shù)2 017的箭頭方向是()答案C3.如圖,已知ABC的面積為4,連接ABC三邊的中點(diǎn)構(gòu)成第二個(gè)三角形,再連接第二個(gè)三角形三邊中點(diǎn)構(gòu)成第三個(gè)三角形,依此類推,第2 021個(gè)三角形的面積為()A.142 017B.142 018C.142 019D.142 020答案C解析觀察圖形可知后一個(gè)三角形的面積是前一個(gè)三角形面積的14,設(shè)第n個(gè)三角形的面積為an,則數(shù)列an是首項(xiàng)為a

8、1=4,公比為14的等比數(shù)列,an=414n-1=14n-2,第2 021個(gè)三角形的面積為a2 021=142 019=142 019.故選C.4.觀察(x2)=2x,(x4)=4x3,(cos x)=-sin x,由歸納推理可得:若定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(-x)=f(x),記g(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù),則g(-x)=()A.f(x)B.-f(x)C.g(x)D.-g(x)答案D解析由例子可看出偶函數(shù)求導(dǎo)后都變成了奇函數(shù),g(-x)=-g(x),選D.5.觀察下列式子:1+12232,1+122+13253,1+122+132+14274根據(jù)以上式子可以猜想:1+122+132+12

9、0212.答案4 0412 021解析由已知的式子:1+12232,1+122+13253,1+122+132+14274可得1+122+132+1n22n-1n.故1+122+132+12 02124 0412 021.6.設(shè)an是首項(xiàng)為1的正數(shù)項(xiàng)數(shù)列,且(n+1)an+12-nan2+an+1an=0(nN+),經(jīng)歸納猜想可得這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式為.答案an=1n(nN+)解析由首項(xiàng)為1,得a1=1;當(dāng)n=1時(shí),由2a22-1+a2=0,得a2=12;當(dāng)n=2時(shí),由3a32-2122+12a3=0,即6a32+a3-1=0,解得a3=13;歸納猜想該數(shù)列的通項(xiàng)公式為an=1n(nN+).7.

10、根據(jù)圖中線段的排列規(guī)則,試猜想第8個(gè)圖形中線段的條數(shù)為.答案509解析分別求出前4個(gè)圖形中線段的數(shù)目,發(fā)現(xiàn)規(guī)律,得出猜想,圖形到中線段的條數(shù)分別為1,5,13,29.因?yàn)?=22-3,5=23-3,13=24-3,29=25-3,所以猜想第8個(gè)圖形中線段的條數(shù)為28+1-3=509.8.設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,且Sn=2-an(nN+).(1)計(jì)算a1,a2,a3,a4,并猜想an;(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明你的猜想.解(1)當(dāng)n=1時(shí),S1=2-a1,a1=1;當(dāng)n=2時(shí),S2=a1+a2=2-a2,a2=12;當(dāng)n=3時(shí),S3=a1+a2+a3=2-a3,a3=14;當(dāng)n=4時(shí),S4=a1+a2+a3+a4=2-a4,a4=18.故猜想an=12n-1.(2)下面用數(shù)學(xué)歸納法證明猜想:當(dāng)n=1時(shí),a1=121-1=1,猜想成立;假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)猜想成立,即ak=12k-1成立;那么,當(dāng)n=k+1時(shí),ak+1=Sk+1-Sk=(2-ak+1)-(2-ak),所以2ak+1=ak=12k-1,所以ak+1=12k=12(k+1)-1,即n=k+1時(shí),猜想成立.由可知,對(duì)nN*猜想均成立.9.已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,a1=-23,且Sn+1Sn+2=an(n2,nN+),計(jì)算S1,S2,S3,S4,并猜