最小二乘估計量的性質(zhì)

1、第三節(jié)最小二乘估計量的性質(zhì)三大性質(zhì)：線性特性、無偏性和最小偏差性、線性特性的含義線性特性是指參數(shù)估計值0|和0分別是觀測值Y或者是擾動項卩的12線性組合，或者叫線性函數(shù)，也可以稱之為可以用Y或者是卩來表示。tt1、0的線性特征證明2（1）由0的計算公式可得：2t=x2t占)tt入Zxy工TOC o 1-5 h z0t_L=_t=tpt2Zx2Zx2Zx2ZtttxYZt_Jd乙x2t需要指出的是，這里用到了工x=工(X-X)=工X-S|1工TOC o 1-5 h zttt=工X工x=0tt因為x不全為零，可設tb，從而，b不全為零，故QbY。這說明0是Y的線性組t工x2t2tt2tt合。(2)

2、因為Y-0+0X+卩，所以有 HYPERLINK l bookmark82 o Current Document t12tt0ZbYZb(0+0X+p)tttbp這說明0是p的線性組合。2t需要指出的是，這里用到了x2=0以及工bX=E(xx+X丿x2xXtx2tX2X2Sx2、0的線性特征證明1(1)因為0=Y-0X，所以有120=Y-0X=-SYX(SbY)12nttt占丄XbYVnt丿t這里，令a=-Xb，則有Q二工aYn1t這說明0是Y的線性組合。1t(2)因為回歸模型為Y=0+0X+卩，所以t12tt0=aY=a(0+0X+p)1t1ttt12a+0SaX+Sapt2tttt=S1X

3、Sb=1。而ntSaX=S1XbxttVnt丿XX=0所以，0=0+Sap11tt這說明0是p的線性組合。1t至此，參數(shù)的線性特性證明完畢問題參數(shù)估計值線性特性的深層次含義是什么？要根據(jù)被解釋變量、隨機擾動項和的隨機性來理解。、無偏性的含義所謂無偏性是指估計值的均值等于真實值。在這里，無偏性是指參數(shù)估計值Q和0的期望值分別等于總體參數(shù)0和0。其數(shù)學上要求是1212EC)=0和EG)=0。1122證明：根據(jù)參數(shù)估計值的線性特征，我們推導出：0=0+工a卩，所以有：11ttEC)=E(0+工a卩)=E(0)+E(Xa卩)11tt1tt=E(0)+工E(a卩)=E(0)+X(E(a)E(卩)1tt1

4、tt=E(0)1相似地，0=0+Xb卩，所以有22ttEC)=E(0+Xb卩)=E(0)+E(Xb卩)22tt2tt=E(0)+XE(b卩)=E(0)+X(E(b)E(卩)2tt2tt=E(0)2三、最優(yōu)性(有的書本上直接稱之為最小方差性)的含義最優(yōu)性是指用最小二乘法得到的參數(shù)估計值Q和0在各種線性無偏12估計中得到的方差最小。根據(jù)上述的定義，我們可以任意假設Q*是用其他方法得到的總體參數(shù)20的一個線性無偏估計。2因為0：具有線性特性，我們可以得到：20*=XcY=Xc(0+0X+p)，2ttt12ttECJ=E&cY)=E&c(p2tt=EcE(P+PX+p)=EcP+cE(pX)+EcE(

5、卩)ttt1t2t=pZc+ZcPE(X)+01tt2t=PZc+PZcX1t2tt又因為念是用其他方法得到的總體參數(shù)Q的一個無偏估計，所以有22EC*)=P22所以由上述兩個結果，可以得到：p工c+p工cX=p1t2tt2上述式子要成立，必須同時滿足兩個條件，即Zc=0和ZcX=1ttt現(xiàn)在求p*的方差：(XcY)1tt2cYECcY丿|2tttt:cY-(cE(y)tttttt-2=E工cYY”Ltttvar)=var(ZcY)=ELZ2ttLcYE(XcY)12=E工cY-工cf1tttt一c卩2=E(ctt屮)2+(c卩匕1122屮+c|Ll+c|Ll卩1122tt=E=Zc2E(L2

6、)+ZZcLE(LL)tttsts+(cL匕人(cLcL+cLcL+)+(cLcL+cLcL+)+tt1122113322332244因為根據(jù)假設條件(常數(shù)方差和非自相關，即var(卩)=E(卩-E(卩)2=E(卩2)=g2和ttttucov(卩,卩)=E-E(卩)tsttss=E|_(卩0)(卩0)J=E(卩卩)=0tsts所以，有varC*)=2工c2=c2工(cb)+b22ututtt=a2Z(cZb2+22工b(cb)uttututtt0*方差的最后一項為2工b(cb)=工be工b2tttttt=Eet血F血J=yL(Eex1)x2ttt=E(工e(XX)1)x2ttt=*eXXEe1

7、)x2tttt=0這是因為Ee=0和EeX=1+C2工b2utttt因此，有varb)2uttctt而在此時，有0*=EeY=EbY=02tttt2即兩個估計值相等。很明顯，當e=b時，0*方差最小，此時，最小值為varC*)=2Eb2o22ut因為0*的最小方差等于0的方差，即var(3*)var(3)，因此，我們說，22220在所有線性無偏估計中的方差最小，且最小方差為：2var(0)=g2工b2=2utx2t同理，我們可以證明，Q在所有線性無偏估計中的方差最小，且參數(shù)1估計值的方差為：C)C2(EX2)varW丿=1nx2t由此，說明，最小二乘估計具有BLUE(bestlinearunb

8、iasedestimation)性質(zhì)。從而在統(tǒng)計學和計量經(jīng)濟學中得到廣泛應用。第四節(jié)系數(shù)的顯著性檢驗一、系數(shù)估計值的特性：1、根據(jù)系數(shù)估計值的線性特性，我們知道系數(shù)估計值是Y和卩的線tt性組合。又因為Y和卩都服從正態(tài)分布，所以，我們可以自然得到兩tt點：一是系數(shù)估計值是隨機變量(這里是在數(shù)學上再次予以證明)；二是系數(shù)估計值服從正態(tài)分布。從而，可以用隨機變量的一些數(shù)字特征來表示。通常，我們采用的是均值與方差。系數(shù)估計值的均值是多少呢？根據(jù)系數(shù)估計值的無偏性，我們知道，EC)=卩，EC)=卩。1122這說明系數(shù)估計值和T這兩個隨機變量的數(shù)學期望(均值)分別等于總體參數(shù)(實際值)。系數(shù)估計值的方差又

9、是多少呢？根據(jù)系數(shù)估計值的最小方差性的證明，我們得到了其方差，即有varC)=1C2X2)()yG2uyvarW丿=o2乙b2=y-unx22utx2tt至此，我們可以用隨機變量的數(shù)學期望和方差來刻畫p和p這兩個隨機變量的分布，即有：p服從均值為p、方差為u亍11n乙12b2X2)uy的nyx2t正態(tài)分布；而6服從均值為p、方差為二的分布。用數(shù)學的語言22工x2tC2S-Mx2t可以描述為：0:NpG2(ZX21,n乙x2t丿可以明顯看出的是，在系數(shù)的描述中，方差中含有隨機擾動項的方差，其他我們可以得到。隨機擾動項是總體回歸模型中的誤差項，無法得到，只能對其估計。、隨機誤差項方差的估計因為總體

10、回歸模型為：y二B+Bx+卩t12tt而樣本回歸模型為：Y=B+BX+et12tt從形式上看，樣本回歸模型中的殘差e可以看作隨機擾動項t的估計值。進一步，殘差e的方差可以作為隨機擾動項卩的tt方差2的估計值。u樣本回歸模型為：y=0+0X+et12tt樣本回歸直線為：Y=0+0Xt12t樣本回歸模型的左右兩邊減去樣本回歸直線的左右兩邊，可得：=e，把這個式子重新安排一下，可以得到：ttttte=Y-Pttt現(xiàn)在，重點要求的是e的兩個部分，即C-Y）和（Y-Y）。這兩ttt部分知道之后，才能求e的方差。t對樣本回歸模型y=0+0 x+e兩邊分別對t求和，再除以n,t12tt有：Y=0+0X+et

11、12ttn乙Y=乙0+乙0X+乙et12ttn1工Y=1工0+1工0X+1工entn1n2tntn1工Y=1工0+0 x1工X+1工entn12ntnt1、nY=0+0X+乙e12nt由前邊的正規(guī)方程組，我們曾經(jīng)知道，點（X,Y）在樣本回歸直線上，用數(shù)學的語言來講，就有：AAY=0+0X，12因此，有=0+02Xt，進而，有TOC o 1-5 h z八八=0+0X入（_）入-Y=0VX-X丿=0 xt2t2t對總體回歸模型y=0+0 x+卩兩邊分別對t求和，再除以nt12tt有：Y=0+0X+卩t12ttn乙Y=乙0+乙0X+乙卩t12ttn1工Y=1工0+1工0X+1工卩ntn1n2tntn

12、1工Y=1工0+0 x1工X+1工卩ntn12ntntTOC o 1-5 h z11YnY=0+0X+-乙卩卩=n乙巴Y=0+0X+卩12nt12所以，由Y=01+02ft+t，可得,Y=0+0X+卩12x+2tY-Y=0（X-X）+C-口）=0 x+C-門）t2tt2ttttIBe=Y-Yttt將兩部分結合起來，現(xiàn)在，我們可以得到：Y-Y=0 xt2tY-Y=0 x+V卩丿t2tt可以得到：e)x+CJ，(從這個式子我們可以看出t22tt什么呢？)至此，已經(jīng)將殘差與擾動項聯(lián)系起來了。由此，我們可以得到：工e2=一0)x+C一口)t22tt=一0)x)+C一口)+工2G-0)xC一口)22tt

13、22tt=(0一0)工x2+C一聲)+222tt22tt進一步，有：Ee2)=E一0)工x2+CJ+2G-0)xC一卩)t22tt22tt=工x2E(|3一0)+E一了)丄2EC0)SxC一口)t22t22tt在這三項當中，有：EG-0)=EC一0)=ECE=var=5U-2222222乙x2所以，第一項為工x2EG-0一)=工兀2邑tx2EG-0)=工x2fU=g2t22t7x2ut第二項為：EEE|LX2+t=nc2+En(丄工0|nt丿=nc2+Eu=nc2一EuE2)+E口2-20工卩工E(卩2)+E(口2-2口工卩)tttt2-21工0工0nt1皿-2皿Vntnt丿1皿Vnt丿=nc

14、2-E0)TOC o 1-5 h zunt=nc2-E(0+0+-+0)2n12t=nc2-E(0+0+-+0)2un12t=nc2-J-EP(02+02+02)+(00+00+)+(00+00)+unL12t12132324-=nc2-1E02)-1E(X工(00)untnts=nc2-c2-)uunts=(n-1)c2u第三項為：32）zxC一口）tt）ExQ初）x卩一工x胡）x卩）（Z；卩）x站）x卩”2Er（Xb卩治工xTttLttt/、-b卩）（x卩+x卩）一2E（Xb卩）Ex）ttiittttt）+-2E（b卩）E（pEx）tttii22iitt=2Ebx卩2+2E（b）2GpE（

15、卩）Ex）ttttsts=2b）+2bxE（卩卩）0ttttsts=2=2c2=2c2故有E（e2）=c2+（n1）c22c2=（n2）c2，也就疋說t卩卩卩卩iJIJIJ11(bi(b-_-_-_-_-_-_EEEEEE222222=tt+b卩八x卩+x卩,ittiitttt卩2+bx卩2）+Cbitttiibx卩2+2Ettttststttttttbxc2t卩bxttc2=Ee2）=E卩（n一2）tI（n-2）丿如令S2二工et2，則意味著ECs2)=02。這說明S2是c2的無偏估(n2)卩卩計量。前面，我們已經(jīng)求得G2（ZX2）u、ti,n乙x2t丿c2u2,x2t。在p八和p的方差中都

16、含i2有未知量c2。這里，我們證明了S2是c2的無偏估計量，因此,工e2可以用S2上2作為c2的估計值，這樣，代入得到p八和0的(n2)卩i2方差的估計值分別為S2=St和S2=呂01nx202工x2it2tS=吊，S=0ix2t，S=P2分別稱為回歸模型的標準差、參數(shù)估計值b八和0的標準差。12知道了估計值的方差估計值，就可以對參數(shù)進行顯著性檢驗，也可以估計總體參數(shù)的置信區(qū)間。二參數(shù)估計的顯著性檢驗以上一節(jié)家庭消費支出和收入之間的關系的例子來說明，通過選取樣本，我們得到了總體參數(shù)0和0的估計值分12別為Q和0。通過這個估計值，我們知道了家庭消費支出和12收入的具體數(shù)量關系?，F(xiàn)在，需要知道的是

17、，通過樣本得到的估計值能夠正確地反映總體參數(shù)嗎？這需要通過假設檢驗來做出判斷。1、關于假設檢驗假設檢驗指利用樣本得到的信息來判斷總體是否具有某種制定的特征。例如：某藥品生產(chǎn)線上規(guī)定，每片藥片的凈重是400毫克，標準差是4毫克。今連續(xù)檢查20片藥片，平均藥片重量為毫克。問藥片的重量是否已經(jīng)偏離了額定凈重值？假設：對總體分布特征的假設假設檢驗：根據(jù)樣本信息來判斷總體分布是否具有指定的特征，這個過程叫假設檢驗。就家庭消費支出而言，我們關注的是家庭消費支出與收入之間是否真的存在回歸關系，也就是說我們關注總體參數(shù)0和0是否不等于零。因此，我們這里的假設是對總體參數(shù)12的假設，我們這里的檢驗是對總體參數(shù)的

18、假設檢驗，我們要運用的假設檢驗的工具是用樣本工具得到的與0和0有關的12檢驗的工具。這就是用樣本信息來推斷總體。1、對總體均值的假設檢驗因為我們關注的是解釋變量和被解釋變量之間的關系是否真實存在，因此，我們需要檢驗的是總體均值是否為零對總體均值的假設檢驗可分三種情況：總體服從正態(tài)分布，總體方差已知，樣本大小無限制總體總體分布未知，總體方差未知，大樣本總體服從正態(tài)分布，總體方差未知，小樣本我們這里符合的是總體服從正態(tài)分布，總體方差未知，小樣本。2、用什么來檢驗？(檢驗工具，統(tǒng)計量)我們已經(jīng)知道，參數(shù)估計值滿足：入(G2(SX20:N0uS11，乙X2Vt丿、a2uX2丿要盡可能利用關于0和012

19、的信息。將0和0由正態(tài)分布轉(zhuǎn)化為標準正態(tài)分布統(tǒng)計量：12Z=01:N(01)和Z=02(2:N(01)V;var(p，V,var(fr)，在這兩個統(tǒng)計量中，var(0)和varQ)我們都不知道，原因在于12a2未知。但我們前邊已經(jīng)證明s2二仝是a2的無偏估計量。u(n-2)u因此，對于大樣本情況，我們可以用s2=21代替a2，進而(n-2)u2，S=B-var求得var）和var）以及S廠J:n（01）可以進一步轉(zhuǎn)化這樣，Z=varB-:N（01）和Z=12為：Z1-片:N（01）和Z2-匕:N（01）。S，S，卩1卩2從而可以利用這兩個統(tǒng)計量對總體參數(shù)b和b進行檢驗。（什12么含義）就是說，

20、我們可以對比如B“進行檢驗。如何檢驗2呢？就是考察我們算出來的統(tǒng)計量Z二M=是否服從正態(tài)分布。對于一元線性回歸模型而言，我們關心的是解釋變量能否解釋被解釋變量，在數(shù)學上這表現(xiàn)為b豐0是否成2立。因此，我們可以進行下假設零假設H:002備擇假設H:卩鼻0z口二魚服從標準正態(tài)分布，我們用12在零假設條件下，JS2JS27這個統(tǒng)計量進行檢驗。在一般情況下，樣本容量不滿足大樣本條件，這時要用t統(tǒng)計量，所做的檢驗稱之為t分布檢驗。這時t統(tǒng)計量為:t二丄壬=二旦，其服從自由度為（n-2）的t分布。22Pt|仁(n_2)=w，此式子等價于pt(n_2)=牛和P_t(n_2)=w。見下圖。w22tot(n-2

21、)(n2)假設成立，即b=0。2(即t統(tǒng)計量小于臨界值)，則可以認為原關于t分布TOC o 1-5 h zt分布的含義是隨機變量落入一定區(qū)域的概率。給定顯著性水平和自由度(n-2),則t落入?yún)^(qū)間Ct(n-2),t(n-2)w2w2內(nèi)的概率為：P_t(n-2)tt(n2)，w2反之，如果計算出來的這時t統(tǒng)計量為:則可以認為備擇假設成立，即Bz0。2因此，我們通常的希望是t統(tǒng)計量值大于臨界值。t統(tǒng)計量值我們可以根據(jù)樣本計算出來，而臨界值可以通過查表得到。問題：t值與P值的關系是什么？相應地，我們可以對總體參數(shù)值B進行檢驗。過程為：1零假設為：H:B=001備擇假設為：H:B工012計算統(tǒng)計量t二丄

22、廬B1查t分布表，得出臨界值t(n2)。a2，則拒絕零假設，接受備擇假設，即認為卩工0。2若M顯-2)三、總體參數(shù)的置信區(qū)間1、B的置信區(qū)間1由Pt(n2)vtvt(n2)=1a，將t=U代入概率公式，可a2a：2S得：、P=1aa2nPLt.(n2)SBBtf(n2)SL1aTOC o 1-5 h zra2B11a2BanP0tf(n2)SvBvB+1.(n2)S)=1ar1a2B11a2、BnP/t,(n2)SBB+1(n2)S)=1a1a：2B11a：2B用概率表述為：1總體參數(shù)P11丿+111ao包含總體參數(shù)在區(qū)間-Gt：(n2)S)(B+1-(n2)SM內(nèi)的概率為_1a2b1a2b-

23、統(tǒng)計表述：區(qū)間(Bt.(n2)S)G+1(n2)S_1a2Bi1a2B-B的概率為1a。1通常說，總體參數(shù)B的1a置信區(qū)間為:13-1(n-2)S)G+1,(n-2)S)1&2A1&2A_2、相似地，總體參數(shù)卩的if置信區(qū)間為：2G-1(n-2)S)G+1.(n-2)S)_2&2B2&2B_由這兩個區(qū)間，可以推斷總體回歸線所處的區(qū)域。四、決定系數(shù)(可決系數(shù))評價回歸直線對觀察值擬合的好壞，擬合優(yōu)度是一個重要的指標。顯然，若觀測點離回歸直線近，則擬合程度好，反之，則擬合程度差。測量擬合優(yōu)度的統(tǒng)計量是可決系數(shù)(決定系數(shù))現(xiàn)由一個恒等式開始。AAYY=(YY)+(YY)tttt這個式子把解釋變量的總

24、偏差YY分解成兩部分：回歸偏差t或者叫可解釋偏差(yrY)和殘差(Y-Y?)兩部分之和。ttt可解釋偏差是由樣本回歸直線決定的，殘差則是隨機的。顯然，由樣本回歸直線解釋的部分越大，則殘差越小，樣本回歸直線與樣本值的擬合優(yōu)度就越好。而要從總體上反映樣本回歸方程對所有樣本點的擬合的好壞，必須求和，考慮到正負抵消的問題，可以求平方和?？傠x差平方和：TSS二工C-Y)t回歸平方和：ESS二工6Y)t殘差平方和：rss=Z(Y-)t現(xiàn)在推導三者之間的關系：八八YY二(YY)+(YY)tttt工CY)工(*y)+(Y-y)tV*丄(丫廠Y)2+(Yt-Yt)2+2(Yt-Y弋%)工CY+CYr+2工&Y)

25、(Y)ttttt工CY+S(ytt這里有：TOC o 1-5 h z、八一八2乙(YY)(YY)=+0XY)12tt=20工e?1t2ttt=0(會議正規(guī)方程組)所以有工(YY)=工6Y)+工(yY)。即:ttt總離差平方和=回歸平方和+殘差平方和。用公式表示為：tss=ess+rss，ESS表示可以由解釋變量說明的偏差部分，RSS表示可以由殘差說明的偏差部分。顯然，Ess在Tss中所占的比例越大，Rss所占的比例越小，則參數(shù)估計值的顯著性越強，樣本回歸直線與樣本觀測值擬合得越好。因此，可以用ESS在TSS中所占的比例說明回歸直線與樣本觀測值的擬合程度。也即總離差中可以由回歸方程說明的部分?？?/p>

26、決系數(shù)或擬合優(yōu)度可以定義為_ESS_-Y2=TSS=X(bt可決系數(shù)的取值范圍為：R2uo,lR2變化的含義是什么?四、相關分析1、回歸分析和相關分析的區(qū)別回歸分析：性質(zhì)、變量要求相關分析：相關關系，不是因果關系。變量要求不同2、相關分析的分類:線性相關：直觀上講，樣本點集中分布在一條直線附近直線斜率為正，為正相關。直線斜率為負，則為負相關非線性相關：樣本點分布在一條曲線周圍。3、相關程度的度量一般用相關系數(shù)表示X和Y的相關程度。總體相關系數(shù)定義為p=T1)XYJvar(X)var(Y)總體相關系數(shù)的取值范圍：總體相關系數(shù)與樣本相關系數(shù)之間的關系。樣本相關系數(shù)一般用r來表示，且定義:工xytt

27、E(X-X)(Y-Y)Tx2unXYcov(X,Y)r=-XYvarX)varY)這里有：x=X-Xty=Y-Yt4、相關分析與回歸分析的關系這里特指在一元線性回歸分析和簡單相關分析中的關系。這里可決系數(shù)與相關系數(shù)有如下關系：r2=R2XYr=+R2。5、計量回歸分析的規(guī)范表達第五節(jié)預測和預測區(qū)間關于預測預測對兩種樣本數(shù)據(jù)的作用。對于時間序列數(shù)據(jù)的估計的目的是預測。對截面數(shù)據(jù)估計的目的是為了推測未知數(shù)據(jù)。預測是計量經(jīng)濟學的一項主要任務。一、預測的點估計首先回顧四個方程式總體回歸模型：y二B+Bx+卩t12tt總體回歸直線：E(Y)=B+BXt12t樣本回歸模型：Y=B+BX+et01tt樣本回

28、歸直線：y=0+BXt01t對于樣本外的符合假定條件的一點X而言，代入總體回歸0模型和總體回歸直線，我們可以得到：y=B+Bx+卩和e(y)=B+BX012000120然而，由于B和B我們并不知道，因此，無從獲得Y和120E(Y)。0但是，利用樣本回歸直線，我們可以得到Y的估計值Y，00)=E(f3)+E(f3X)0120求期望有：+PX二E(Y)200這說明Y是E(Y)的無偏估計量。00冋時，EC）=E（Y）=Y_y，故ECLY，這說明#不是Y的00000000無偏估計量。由=P1+P2Xo叫可得：/Y=0+0X120C_F)=E(0+0X+卩00L1200(0_|3)+(0_0)X+卩(二

29、)2(2入0)0)V0_0丿+XEV0_0丿+E(卩)E=E=E=0)_C+0X力120110220這說明在多次觀察中，（y“）平均值趨于零，從而以Y作000為y的估計中心是合理的。0二、預測的區(qū)間估計1、E（Y）的置信區(qū)間02、Y的置信區(qū)間0先求e（Y）的置信區(qū)間0因為E（Y）=0+0X，所以E（Y）服從正態(tài)分布。求其置信區(qū)01200間的關鍵是求其與Y的偏差的方差。0var(E(Y)_Y)=E(E(Y)_Y)_E(E(Y)_Y00L0000其中，E(E(Y)_Yr)=E(Y)_EC)=0(Y是E(Y)的無偏估計量)000000所以,var(E(Y)_Y)=E(E(Y)_F)，進一步可以寫為0

30、000var(E(Y)_Y)=E(E(Y)_Y)2=E(E(Y)_Y)2=E(Y_E(Y)200000000=var(Y)0進而，var(e(Y)-Y)=E(E(Y)-Y)二EP(P+PX)-(|3+0X0000L120120(p-0)+G-0)X12二EG-0)+X2E(p-0)+0X)-0p+0pX1220120+2XE110220上式子中的第一項為：&2(EX2)tX2tE(0-0)=EG-EC)=varC)=-E11111nE上式子中的第二項為：C)=X2varC)=20X2EC-0)=X2ECE02202上式子中的第三項為：X2G20u-2工x2t3-0丿甲-0j=-2X0Xb:11

31、P2H2EX2t將上述三項相加得到var(Y)-Y)=b2(1+00unEx2t因為上式中，總體方差&2可以用s2來代替。從而可以得到uE(Y)-Yp的方差估計值為：Var(Y)-it)=VarC)=S2(!+0000nEx2t統(tǒng)計量，則有P00(o)E(Y)-P-tjn-2丿0=a2JVar所以，根據(jù)E(Y)-i的分布，給定顯著性水平a，使用t(n-2)=1-a即有=1-a。PY-1(n2)屁rC)E(Y)Y+1.(n2)JvSrC)a2V00a2y0k丿這說明，E(Y)的1a置信區(qū)間為:0Y-1(n-2)0a.20var,Y+1(n-2)0a.22、y的置信區(qū)間0相似地，我們可以得到Y-Y

32、00的方差估計值為i(x-x)S2(l+_+0)x2從而y的1-a置信區(qū)間為:0Y-1(n-2)0aj2Var)-YZY+1000(n-2)a2tio.案例：用回歸模型預測木材剩余物伊春林區(qū)位于黑龍江省東北部。全區(qū)有森林面積萬公頃，木材蓄積量為億m3。森林覆蓋率為，是我國主要的木材工業(yè)基地之一。1999年伊春林區(qū)木材采伐量為532萬m3。按此速度44年之后，1999年的蓄積量將被采伐一空。所以目前亟待調(diào)整木材采伐規(guī)劃與方式，保護森林生態(tài)環(huán)境。為緩解森林資源危機，并解決部分職工就業(yè)問題，除了做好木材的深加工外，還要充分利用木材剩余物生產(chǎn)林業(yè)產(chǎn)品，如紙漿、紙袋、紙板等。因此預測林區(qū)的年木材剩余物是安排木材剩余物加工生產(chǎn)的一個關鍵環(huán)節(jié)。下面，利用一元線性回歸模型預測林區(qū)每年的木材剩余物。顯然引起木材剩余物變化的關鍵因素是年木材采伐量。給出伊春林區(qū)16個林業(yè)局1999年木材剩余物和年木材采伐量數(shù)據(jù)如表。散點圖見圖。觀測點近似服從線性關系。建立一元線性回歸模型如下：y=+x+ut01tt表年剩余物y和年木材采伐量x數(shù)據(jù)11林業(yè)局名年木材剩余物y（萬m3）年木材采伐量x（萬m3）烏伊嶺東風新青紅星五營上甘嶺友好翠巒烏馬河美溪大