專題04 二次函數(shù)與平行四邊形存在性問題-2018中考數(shù)學二次函數(shù)壓軸試題分類精析

1、專題4二次函數(shù)中平行四邊形的存在性問題一、解決此類題目的基本步驟與思路先分類，（按照邊和對角線進行分類）畫圖，（畫出大致的平行四邊形的樣子，抓住目標點坐標）計算（利用平行四邊形的性質(zhì)以及全等三角形的性質(zhì)）二、針對于計算的方法選擇全等三角形抓住對應邊對應角的相等在利用點坐標進行長度的表示時要利用兩點間距離公式平行四邊形的對應邊相等列相關(guān)的等式利用平行四邊形的對角線的交點從而找出四個點坐標之間的關(guān)系XA+XC=XB+XDYa+YC=Yb+YD（利用P是中點，以及中點坐標公式）xl+x2yl+y2A（X,y）、B（x2，y2）,那么AB中點坐標就是（,2）注意事項：1簡單的直角三角形可以直接利用底乘

2、高進行面積的表示2復雜的利用“補”的方法構(gòu)造矩形或者大三角形，整體減去部分的思想3.利用“割”的方法時，一般選用橫割或者豎割，也就是做坐標軸的垂線。4.利用點坐標表示線段長度時注意要用大的減去小的。二次函數(shù)中平行四邊形的存在性問題（一）例題演示已知：如圖，在平面直角坐標系xOy中，直線尸-再藍+&與x軸、y軸的交點分別為A、B,將ZOBA對折，使點O的對應點H落在直線AB上，折痕交x軸于點C.（1）直接寫出點C的坐標，并求過A、B、C三點的拋物線的解析式；（2）若拋物線的頂點為D,在直線BC上是否存在點P,使得四邊形ODAP為平行四邊形？若存在，求出點P的坐標；若不存在，說明理由；【解析】（1

3、）點A的坐標是縱坐標為0得橫坐標為8,所以點A的坐標為（8,0）；點B的坐標是橫坐標為0，解得縱坐標為6，所以點B的坐標為（0，6）；由題意得：BC是ZABO的角平分線，所以OC=CH,BH=OB=6。.AB=10,AH=4，設OC=x，則AC=8-x,由勾股定理得：x=3,：點C的坐標為（3,0）將此三點代入二次函數(shù)一般式，列的方程組即可求得；（2）求得直線BC的解析式，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，對角相等，對邊平行且相等，借助于三角函數(shù)即可求得；解答：（1）點C的坐標為（3,0）.（1分）點A、B的坐標分別為A（8,0）,B（0,6）,可設過A、B、C三點的拋物線的解析式為y=a（x-3）（x-

4、8）.將x=0,y=6代入拋物線的解析式，得且=寺.過A、B、C三點的拋物線的解析式為產(chǎn)片/一普m+6（2）可得拋物線的對稱軸為直線弓，頂點D的坐標為（號，-彳!）設拋物線的對稱軸與x軸的交點為G.直線BC的解析式為y=-2x+6.設點P的坐標為（x,-2x+6）.解法一：如圖，作OPAD交直線BC于點P,連接AP,作PM丄x軸于點M.7op#ad，azpom=zgad，tanZPOM=tanZGAD.AS=，即-2x+6解得經(jīng)檢驗是原方程的解此時點P的坐標為（學，但此時0M斗，GA=|,OMVGA.T0P二rsIpom，怔二ZPOM=ZGAD,AOP|+6二1尹晉，點P不在直線BC上.直線B

5、C上不存在符合條件的點P.【試題精煉】如圖，已知拋物線y=-X2+bx+c與一直線相交于A(-1,0),C(2,3)兩點，與y軸交于點N.其頂點為D.拋物線及直線AC的函數(shù)關(guān)系式；若拋物線的對稱軸與直線AC相交于點B,E為直線AC上的任意一點，過點E作EFBD交拋物線于點F,以B,D,E,F為頂點的四邊形能否為平行四邊形？若能，求點E的坐標；若不能，請說明理由；21【解析】：本題主要考查二次函數(shù)的應用。利用待定系數(shù)法，以及點A(-1,O),C(2,3)即可求得二次函數(shù)解析式、一次函數(shù)解析式。根據(jù)題意進行分類討論：當點E在線段AC上時，點F在點的E上方，則F(x,x+3),根據(jù)題意可求得E的坐標

6、；點E在線段AC(或)延長線上時，點F在點E的下方，則點F的坐標為(x,x-l),然后利用二次函數(shù)圖象上點的坐標特征可求得點E的坐標。解答：(1)由題意可知，點A,C坐標分別代入拋物線解析式解得b=2，c=3.又因為A,C在直線上，設y=kx+b，解得k=1，n=1所以直線解析式為y=x+1(2)由(1)、(2)得點D的坐標為(1,4),點B的橫坐標與點D的橫坐標相同，且點B在直線AC上，將其代入y=x+1，可得y=2。故點B的坐標為(1,2),因為點E在直線AC上，設點E的坐標為(x,x+1)。如圖2所示，當點E在線段AC上時，點F在點E的上方，則點F的坐標為(x,x+3),因為點F在拋物線

7、上，所以x+3=-x2+2x+3,解得x=0或x=1(舍去)，所以點E的坐標為(0,1)當點E在線段AC延長線上時，則點F的坐標為(x,x-1),點F在點E的下方，因為F在拋物線上，所以TOC o 1-5 h z1-171+17x-1=-x2+2x+3,解得x=或x=2, HYPERLINK l bookmark22 1-173-171+/173+17所以綜上所述，點的坐標點E的坐標為(0,1)或者(2,2),(22)【中考鏈接】如圖，已知與x軸交于點A(l,0)和B(5,0)的拋物線l的頂點為C(3,4),拋物線l與l關(guān)于x軸121對稱，頂點為C.求拋物線l的函數(shù)關(guān)系式；2已知原點O,定點D

8、(0,4),l上的點P與l上的點P始終關(guān)于x軸對稱，則當點P運動到何處時，以點D,O,P,P為頂點的四邊形是平行四邊形?【解析】(“利用直線1的解析式求出B點坐標，再把B點坐標代入二次函數(shù)解析式即可求出鼻的值：過點M作ME丄y軸于點E,交怔于點D,所以AABM的面積為yDN-OB,設M的坐標為(叫-m2+2m+3),用含m的式子表示DM；然后求出S與m的函數(shù)關(guān)系式，即可求出S的最犬值，其中m的取值范圍是0m3j解答：(1)由題意知點c的坐標為(3,-4).設l的函數(shù)關(guān)系式為y=a(x-3)2-42又.點A(l,0)在拋物線y=a(x-3)2-4上，.(I3)2a-4=0，解得a=1拋物線1的函

9、數(shù)關(guān)系式為y=(x3)2-4(或y=x2-6x+5).2(2)P與P始終關(guān)于x軸對稱，PP與y軸平行.設點P的橫坐標為m,則其縱坐標為m26m+5,OD=4，:2m26m+5=4，即m26m+5=2.當m2-6m+5=2時，解得m=3.當m2-6m+5=-2時，解得m=3J2.當點P運動到(3-、：62)或(3+、；62)或(3-、2,-2)或(3+.2-2)時，PP絲OD，以點D,O,P,P為頂點的四邊形是平行四邊形.【鞏固練習】.如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=x2-2x-3交x軸于A,B兩點(點A在點B的左側(cè))，將該拋物線位于x軸上方曲線記作M，將該拋物線位于x軸下方部分沿x軸翻折，

10、翻折后所得曲線記作N，曲線N交y軸于點C，連接AC,BC.(1)求曲線N所在拋物線相應的函數(shù)表達式;點P為曲線M或曲線N上的一個動點，點Q為x軸上的一個動點，若以點B,C,P,Q為頂點的四邊形是平行四邊形，求點Q的坐標.【解析】：本題主要考查二次函數(shù)的應用、和平行四邊形。由已知拋物線可求得頂點坐標，進而求得曲線N所在拋物線頂點坐標，進而再利用頂點式可求得曲線N的解析式。過點C作直線lx軸，交曲線M或N于點P,所以l：y=3,考慮兩種情況：點P位于曲線M上和點P位于曲線N上，分別聯(lián)立曲線M和直線l的方程或曲線N和直線l的方程，求出點P的坐標，再根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，即可求出點Q的坐標。解答：因為可化為尸(k-1)所以拋物線的頂點坐標為(1,-4),H口向上，所以.曲線N所在拋物線頂點坐標為1,4,幵口向下，故曲線N所在拋物線對應的函數(shù)表達式為y=-(x-1)即y=-K2+2K+3o(2)過點C作直線lx軸，交曲線M或N于點P,所以l：y=3o當點P位于曲線M上時，由x2-2x-3=3,解得xJ+i，x2=-JJ1,所以CP=/+1，或CP-1因為以點B,C,P,Q為頂點的四邊形是平行四邊形，所以CPBQ且CP=BQ,所以Q(4+,0),Q(4-,0),Q(2+。,0),Q(4*,0)