第30屆全國中學生物理競賽復賽模擬試題第1套答案

1、聯(lián)系我們： 2022年物理競賽復賽模擬試題第一套參考解答命題人 蔡子星一、(20分)某人在設計房子的時候盡量節(jié)省空間，弄了一個立起來是儲物架，放下來時床的家具。他設計得很精巧，使得在放下的過程中，架子是保持水平的，而且人不怎么費力。下面我們給出一種設計。ABCDP1P2MAB、CD、AD是三根相互鉸接的輕桿，。這樣就能保證架子上的東西不會掉下來。但是考慮到負重分別加在D點和CD中點O點，直接把床推上放下會比擬費力，而且容易砸到人，即使沒有砸到人，砸到花花草草也不好。為了解決這個問題，我們在AB桿上距離A點處的M點連一根原長可以忽略的彈簧到D點。這樣就可以自由的上下推動床而幾乎不費力了。為了盡量

2、省力，彈簧的經(jīng)度系數(shù)應當為多少？當床與墻面夾角時，請計算AD桿上的受力。【解答】1如果勢能處處恒定那么無需外力。令，由余弦定理1分重力勢能2分彈性勢能2分要求總勢能為常數(shù)，那么有為常數(shù)，于是5分注：其它方法只要結(jié)果正確，過程無明顯錯誤均給分2由于是輕桿，且只在兩端受力，所以受力沿桿，設為對于桿，以為支點，由合外力矩等于0 4分中由正弦定理 2分代入力矩方程有由此得到 4分注：其它方法只要結(jié)果正確，過程無明顯錯誤均給分二、(22分)天宮一號圓滿完成了國內(nèi)第一次太空授課。在課堂演示中我們看到了如下情景，一個水球懸浮在空中，我們可以通過水球構(gòu)成的透鏡看到宇航員倒立的像。假設水球半徑為，折射率為。在計

3、算中我們?nèi)“S近似只計算小角度范圍的光線成的像物像假設物體、水球、實像之間的相對位置如下圖，由于相機沒有變焦，因而只能對物體前方距離為處的物體能夠清晰成像。隨著球心到物體之間距離的變化，將發(fā)現(xiàn)兩次能清晰成像的位置、。求，以及兩個實像大小的比值應當滿足什么條件才能觀察到上述現(xiàn)象?！窘獯稹拷夥ㄒ?設第一次成像物距為，像距為，設第二次成像物距為，像距為物在光心左為正，像在光心右為正由單球面成像公式 1 3分 2 3分由平面幾何 3 1分 4 1分將1、2代入3消去和得到再將4代入得到于是6分按放大率定義第一次成像放大率為 1分由于光路可逆，第二成就和第一相比就是物象對調(diào)，因而第二次成像放大率為： 1

4、分代入、的解，得到兩個實像大小比值為 2分需要使得上式有意義，需要根號內(nèi)大于0于是有4分解法二:如圖假設小角度入射，如圖假設各個角度由傍軸近似；2分由平面幾何，第一次折射角和第二次入射角相等，均為，因而第一次入射角和第二次折射角均為。由三角形外角等于兩內(nèi)角和；2分由折射定律及傍軸近似2分在中間的三角形中：(2分)代入以上各式，只用和、表示，整理得到：；4分又所以2分以下同解法一三、(23分)如下圖，一個半徑為的勻質(zhì)薄壁圓筒，質(zhì)量為，被軸承限制只能繞著其中心軸旋轉(zhuǎn)。一根長為的不可伸長的細繩一端系在圓筒上，另一端連接一個質(zhì)量的質(zhì)點，開始如圖靜止。沿垂直于繩子的方向給質(zhì)點大小為的沖量。試計算說明，求

5、當繩子與接觸點法線夾角是否能到達，如果可以求出圓筒相對地面的角速度，如果不可以說明理由?！窘獯稹咳鐖D，在任意時刻，令接觸點的方向與軸夾角為，令繩子方向與夾角相對地面的速度為1分在以為參照的平動系中即為原點，且坐標軸方向不變的參照系，想象一下在摩天輪車廂里面的人，相對的速度(4分)所以對地面速度為和的矢量和(1分)由能量守恒，其中使用了余弦定理(6分)由角動量守恒，其中使用了矢量叉乘定義(6分)為了計算方便，做無量綱化：，得到代入得到； 另一個解，代表相對運動反向時的情景，未給出不扣分 得到圓筒角速度：5分注1：這個參照系中繩子與軸轉(zhuǎn)角為，因而角速度為。假設將由結(jié)果誤寫為，能量守恒和角動量守恒方

6、程只要形式正確不重復扣分，但不給結(jié)果分。注2：對于題設情景，可以計算繩子拉力，發(fā)現(xiàn)一直大于0，所以繩子不會軟。注3：保存形式不變，可以得到時，只有一個解為0；即此時相對角速度反向，也就是說，相對轉(zhuǎn)角最大為。四、(25分)我們想做一個演示電磁感應定律的實驗：造一個大電磁鐵，正上面放一個細鐵環(huán)，半徑為，橫截面為一個半徑為的圓，電導率為，密度為，真空介電常數(shù)。在鐵環(huán)的位置磁場大小為，方向與豎直夾角，假磁鐵在圓環(huán)內(nèi)磁場的豎直分量不變。在磁鐵中通入如下的正弦交流電，頻率均為很高，振幅大小為在這種情景下是否可以造成“懸浮的現(xiàn)象，如果可以，估算出的大小，如果不可以說明理由。圓環(huán)的自感約為，需要計算說明是否可

7、以忽略【解答】假設電流為那么磁通量為2分電動勢為 3分圓環(huán)電阻為2分假設忽略電感應，那么感應電流為安培力平均值向上為正3分因而忽略電感導致不可以懸浮，因而不可忽略2分利用感抗大小說明不扣分，不說明理由或者理由錯誤不給分。 保存電感，電路的方程可以寫為3分令，代入得到2分其中利用輔助角公式，于是安培力平均值 2分由于懸浮合外力平均值等于0利用積化和差公式2分代入數(shù)值得到4分作為估算，認為，近似為得到，同樣給全分五、(22分)理想的非門可以視為一個受控電壓源：當輸入端電壓大于時，輸出端相當于和地線之間短路；當輸入端電壓小于時，輸出端相當于和地線之間有一個理想電壓源，電源電壓。等效電路圖如下圖。不同

8、非門中接地點可以視為是同一個點。我們利用非門、電容和電阻能夠做成一個輸出方波信號的多諧振蕩器。畫出下列圖電路中隨著時間的變換關系。 提示：如左下列圖的RC電路，從剛接通電路開始電容上電壓隨時間變化規(guī)律為： 【解答】等效電路如下圖，可見電流只在-回路中流動。假設系統(tǒng)存在穩(wěn)態(tài)，那么電容電量為常數(shù)，因而電阻上電流為0，那么輸入電壓等于輸出電壓，這顯然矛盾，因而系統(tǒng)不存在穩(wěn)態(tài)。不失一般性，電容初態(tài)電壓為0，系統(tǒng)初態(tài)，因而電路沿逆時針給電容充電電阻上電流從下向上為正，電容電量右邊記為正當時候，門反向，進入II 門反向，此時，由于電容上電量不突變，所以因而電路沿順時針給電容反向充電，新充入電量為；即不斷上

9、升，到達時，時，門反向，進入II類比題目中的RC電路有，此過程歷時II 門再次反向，此時，由于電容上電量不突變，所以因而電路沿逆時針給電容正向充電，新沖入電量為；即不斷上升，到達時，時，門反向，進入I類比題目中的RC電路有，此過程歷時，重復循環(huán)因此得到方波信號周期等于 只需得到此結(jié)果，過程無明顯錯誤即給全分六、(22分)在真空中有一個體積為的絕熱硬箱子，內(nèi)部有壓強為溫度為的理想氣體。摩爾質(zhì)量為，定容摩爾比熱為?，F(xiàn)在通過一個多孔塞讓氣體緩緩漏出。1當氣體漏出一半時候，箱子內(nèi)溫度為多少？2假設漏出氣體的過程中，壓強差做的功全部轉(zhuǎn)換為氣體的動能，問氣體全部漏出的過程中箱子一共可以獲得多少動量？提示：

10、理想氣體絕熱方程為，【解答】對于還沒有噴出的氣體而言，它經(jīng)歷了準靜態(tài)絕熱膨脹過程。初態(tài)，末態(tài)體積為，由絕熱方程：4分代入理想氣體狀態(tài)方程，末態(tài)溫度4分2假設經(jīng)過一小段時間過程，有摩爾的氣體被推出。這時內(nèi)部的氣體狀態(tài)為對外做功只需求出，就能計算出做功了。顯然，我們知道絕熱方程可以改寫：，代入理想氣體狀態(tài)方程：為常數(shù)我們可以把這里面初始的看成剩余的的那局部最開始占有的體積得到4分對外做功4分在箱子系中，噴氣體動量守恒，因而箱子獲得動量大小等于氣體動量。由動能定理 4分代入積分得到2分注1：如果最后系數(shù)計算的是0.64，且積分步驟是1積分到0.5，那么僅扣1分. 注2：如果在地面系使用動能定理，將導致氣體獲得的動能在不同階段不同，計算很難。七、(26分)在誘導原子核衰變的時候，有會用到讀作muon，中文繆子代替原子中的一個電子。除了質(zhì)量比電子重207倍之外幾乎沒有別的區(qū)別。原子核核電荷數(shù)為。電子質(zhì)量，電子電量，普朗克常數(shù)1我們利用玻爾模型和牛頓力學做一個簡單估計，的基態(tài)和第一激發(fā)態(tài)之間的能級差為多少？用電子伏特做單位表示。2計算上一問中，基態(tài)的速度為多少？如果考慮相對論效應，會使得基態(tài)軌道半徑相對于牛頓力學情景相對變化多少？3原子核的質(zhì)量為，如果考慮