2022年新高考全國Ⅰ卷數(shù)學(xué)試題及答案解析

1、 2022年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（新高考卷）數(shù)學(xué)一、單選題（本大題共8小題，共40.0分）若集合M=x|x4，N=x|3x1，則MN=()A. x|0 x2B. x|13x2C. x|3x16D. x|13x0)的最小正周期為T.若23T，且y=f(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)(32,2)中心對稱，則f(2)=()A. 1B. 32C. 52D. 3設(shè)a=0.1e0.1，b=19，c=ln0.9，則()A. abcB. cbaC. cabD. ac0)上，過點(diǎn)B(0,1)的直線交C于P，Q兩點(diǎn)，則()A. C的準(zhǔn)線為y=1B. 直線AB與C相切C. |OP|OQ|OA|2D. |BP|BQ|BA|

2、2已知函數(shù)f(x)及其導(dǎo)函數(shù)f(x)的定義域均為R，記g(x)=f(x).若f(322x)，g(2+x)均為偶函數(shù)，則()A. f(0)=0B. g(12)=0C. f(1)=f(4)D. g(1)=g(2)三、填空題（本大題共4小題，共20.0分）(1yx)(x+y)8的展開式中x2y6的系數(shù)為_(用數(shù)字作答)寫出與圓x2+y2=1和(x3)2+(y4)2=16都相切的一條直線的方程_若曲線y=(x+a)ex有兩條過坐標(biāo)原點(diǎn)的切線，則a的取值范圍是_已知橢圓C：x2a2+y2b2=1(ab0)，C的上頂點(diǎn)為A，兩個焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，離心率為12.過F1且垂直于AF2的直線與C交于D，E兩點(diǎn)，

3、|DE|=6，則ADE的周長是_四、解答題（本大題共6小題，共70.0分）記Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和，已知a1=1，Snan是公差為13的等差數(shù)列(1)求an的通項(xiàng)公式；(2)證明：1a1+1a2+1an1)上，直線l交C于P，Q兩點(diǎn)，直線AP，AQ的斜率之和為0(1)求l的斜率；(2)若tanPAQ=22，求PAQ的面積已知函數(shù)f(x)=exax和g(x)=axlnx有相同的最小值(1)求a；(2)證明：存在直線y=b，其與兩條曲線y=f(x)和y=g(x)共有三個不同的交點(diǎn)，并且從左到右的三個交點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列答案解析1.【答案】D【解析】解：由x4，得0 x16，M=x|x4=x|0

4、 x16，由3x1，得x13，N=x|3x1=x|x13，MN=x|0 x16x|x13=x|13x0)的最小正周期為T，則T=2，由23T，得232，20，則f(x)=1x1x2，x0，當(dāng)f(x)=0時，x=1，0 x1時，f(x)1時，f(x)0，f(x)單調(diào)遞增，f(x)在x=1處取最小值f(1)=1，lnx11x，ln0.9110.9=19，ln0.919，c1910=110，109e0.1，0.1e0.119，a0.11.1=0.11，而1n0.9=ln10912(109910)=19180c，ca0，利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)求出lnx11x，由此能求出結(jié)果本題考查三個數(shù)的大小的判斷，考查構(gòu)造法

5、、導(dǎo)數(shù)性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題8.【答案】C【解析】解：如圖所示，正四棱錐PABCD各頂點(diǎn)都在同一球面上，連接AC與BD交于點(diǎn)E，連接PE，則球心O在直線PE上，連接OA，設(shè)正四棱錐的底面邊長為a，高為，在RtPAE中，PA2=AE2+PE2，即l2=(2a2)2+2=12a2+2，球O的體積為36，球O的半徑R=3，在RtOAE中，OA2=OE2+AE2，即R2=(3)2+(2a2)2，12a2+26=0，12a2+2=6，l2=6，又3l33，3292，該正四棱錐體積V()=13a2=13(1222)=233+42，V()=22+8=2(4)，當(dāng)320，V()單調(diào)遞增；當(dāng)

6、492時，V()0，V()單調(diào)遞減，V()max=V(4)=643，又V(32)=274，V(92)=814，且2740，解得x33，令f(x)0，解得33x0,f(33)=92390，f(x)有兩個極值點(diǎn)，有且僅有一個零點(diǎn)，故選項(xiàng)A正確，選項(xiàng)B錯誤；又f(x)+f(x)=x3x+1x3+x+1=2，則f(x)關(guān)于點(diǎn)(0,1)對稱，故選項(xiàng)C正確；假設(shè)y=2x是曲線y=f(x)的切線，設(shè)切點(diǎn)為(a,b)，則3a21=22a=b，解得a=1b=2或a=1b=2，顯然(1,2)和(1,2)均不在曲線y=f(x)上，故選項(xiàng)D錯誤故選：AC對函數(shù)f(x)求導(dǎo)，判斷其單調(diào)性和極值情況，即可判斷選項(xiàng)AB；由

7、f(x)+f(x)=2，可判斷選項(xiàng)C；假設(shè)y=2x是曲線y=f(x)的切線，設(shè)切點(diǎn)為(a,b)，求出a，b的值，驗(yàn)證點(diǎn)(a,b)是否在曲線y=f(x)上即可本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，極值以及曲線在某點(diǎn)的切線方程，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題11.【答案】BCD【解析】解：點(diǎn)A(1,1)在拋物線C：x2=2py(p0)上，2p=1，解得p=12，拋物線C的方程為x2=y，準(zhǔn)線方程為y=14，選項(xiàng)A錯誤；由于A(1,1)，B(0,1)，則kAB=1(1)10=2，直線AB的方程為y=2x1，聯(lián)立y=2x1x2=y，可得x22x+1=0，解得x=1，故直線AB與拋物線C相切，選項(xiàng)B正確；根據(jù)

8、對稱性及選項(xiàng)B的分析，不妨設(shè)過點(diǎn)B的直線方程為y=kx1(k2)，與拋物線在第一象限交于P(x1,y1)，Q(x2,y2)，聯(lián)立y=kx1y=x2，消去y并整理可得x2kx+1=0，則x1+x2=k，x1x2=1，y1y2=(kx11)(kx21)=k2x1x2k(x1+x2)+1=1，|OP|OQ|=x12+y12x22+y222x1y12x2y2=2x1x2y1y2=2=|OA|2，由于等號在x1=x2=y1=y2=1時才能取到，故等號不成立，選項(xiàng)C正確；|BP|BQ|=x12+(y1+1)2x2+(y2+1)2x12+4y1x22+4y2=5x125x22=5(x1x2)2=5=|BA|

9、2，選項(xiàng)D正確故選：BCD對于A，根據(jù)題意求得p的值，進(jìn)而得到準(zhǔn)線；對于B，求出直線AB方程，聯(lián)立直線AB與拋物線方程即可得出結(jié)論；對于C，設(shè)過點(diǎn)B的直線方程為y=kx1(k2)，聯(lián)立該直線與拋物線方程，由韋達(dá)定理得到兩根之和及兩個之積，然后利用兩點(diǎn)間的距離公式，結(jié)合基本不等式判斷選項(xiàng)CD本題考查拋物線方程的求解，直線與拋物線位置關(guān)系的綜合運(yùn)用，同時還涉及了兩點(diǎn)間的距離公式以及基本不等式的運(yùn)用，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題12.【答案】BC【解析】解：f(322x)為偶函數(shù)，可得f(322x)=f(32+2x)，f(x)關(guān)于x=32對稱，令x=54，可得f(32254)=f(32+254)，即

10、f(1)=f(4)，故C正確；g(2+x)為偶函數(shù)，g(2+x)=g(2x)，g(x)關(guān)于x=2對稱，故D不正確；f(x)關(guān)于x=32對稱，x=32是函數(shù)f(x)的一個極值點(diǎn)，g(32)=f(32)=0，又g(x)關(guān)于x=2對稱，g(52)=g(32)=0，x=52是函數(shù)f(x)的一個極值點(diǎn)，f(x)關(guān)于x=32對稱，x=12是函數(shù)f(x)的一個極值點(diǎn)，g(12)=f(12)=0，故B正確；f(x)圖象位置不確定，可上下移動，即沒一個自變量對應(yīng)的函數(shù)值是確定值，故A錯誤故選：BC由f(322x)為偶函數(shù)，可得f(x)關(guān)于x=32對稱，可判斷C；g(2+x)為偶函數(shù)，可得g(2+x)=g(2x)

11、，g(x)關(guān)于x=2對稱，可判斷D；由g(32)=0，g(x)關(guān)于x=2對稱，可得g(52)=0，得到x=52是f(x)的極值點(diǎn)，x=12也是極值點(diǎn)，從而判斷B；f(x)圖象位置不確定，可上下移動，故函數(shù)值不確定，從而判斷A本題考查函數(shù)的奇偶性，極值點(diǎn)與對稱性，考查了轉(zhuǎn)化思想和方程思想，屬中檔題13.【答案】28【解析】解：(x+y)8的通項(xiàng)公式為Tr+1=C8rx8ryr，當(dāng)r=6時，T7=C86x2y6，當(dāng)r=5時，T6=C85x3y5，(1yx)(x+y)8的展開式中x2y6的系數(shù)為C86C85=8!6!2!8!5!3!=2856=28故答案為：28由題意依次求出(x+y)8中x2y6，

12、x3y5項(xiàng)的系數(shù)，求和即可本題考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題14.【答案】x=1(填3x+4y5=0，7x24y25=0都正確)【解析】解：圓x2+y2=1的圓心坐標(biāo)為O(0,0)，半徑r1=1，圓(x3)2+(y4)2=16的圓心坐標(biāo)為C(3,4)，半徑r2=4，如圖： |OC|=r1+r2，兩圓外切，由圖可知，與兩圓都相切的直線有三條kOC=43，l1的斜率為34，設(shè)直線l1：y=34x+b，即3x+4y4b=0，由|4b|5=1，解得b=54(負(fù)值舍去)，則l1：3x+4y5=0；由圖可知，l2：x=1；l2與l3關(guān)于直線y=43x對稱，聯(lián)立x=1y=43x，解得l2與

13、l3的一個交點(diǎn)為(1,43)，在l2上取一點(diǎn)(1,0)，該點(diǎn)關(guān)于y=43x的對稱點(diǎn)為(x0,y0)，則y02=43x012y0 x0+1=34，解得對稱點(diǎn)為(725,2425). kl3=2425+43725+1=724，則l3：y=724(x+1)43，即7x24y25=0與圓x2+y2=1和(x3)2+(y4)2=16都相切的一條直線的方程為：x=1(填3x+4y5=0，7x24y25=0都正確)故答案為：x=1(填3x+4y5=0，7x24y25=0都正確)由題意畫出圖形，可得兩圓外切，由圖可知，與兩圓都相切的直線有三條分別求出三條切線方程，則答案可求本題考查圓的切線方程的求法，考查圓與

14、圓位置關(guān)系的應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題15.【答案】(,4)(0,+)【解析】解：y=ex+(x+a)ex，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(x0,(x0+a)ex0)，切線的斜率k=ex0+(x0+a)ex0，切線方程為y(x0+a)ex0=(ex0+(x0+a)ex0)(xx0)，又切線過原點(diǎn)，(x0+a)ex0=(ex0+(x0+a)ex0)(x0)，整理得：x02+ax0a=0，切線存在兩條，方程有兩個不等實(shí)根，=a2+4a0，解得a0，即a的取值范圍是(,4)(0,+)，故答案為：(,4)(0,+)設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(x0,(x0+a)ex0)，利用導(dǎo)數(shù)求出切線的斜率，進(jìn)而得到切線方程，再把原點(diǎn)代入可得

15、x02+ax0a=0，因?yàn)榍芯€存在兩條，所以方程有兩個不等實(shí)根，由0即可求出a的取值范圍本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)處的切線方程，屬于中檔題16.【答案】13【解析】解：橢圓C：x2a2+y2b2=1(ab0)的離心率為12，不妨可設(shè)橢圓C：x24c2+y23c2=1，a=2c，C的上頂點(diǎn)為A，兩個焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，AF1F2為等邊三角形，過F1且垂直于AF2的直線與C交于D，E兩點(diǎn)，kDE=tan30=33，由等腰三角形的性質(zhì)可得，|AD|=|DF2|，|AE|=|EF2|，設(shè)直線DE方程為y=33(x+c)，D(x1,y1)，E(x2,y2)，將其與橢圓C聯(lián)立化簡可得，13x2+8

16、cx32c2=0，由韋達(dá)定理可得，x1+x2=8c13，x1x2=32c213，|DE|=k2+1|x1x2|=(x1+x2)24x1x2=13+1(8c13)2+128c213=4813c=6，解得c=138，由橢圓的定義可得，ADE的周長等價(jià)于|DE|+|DF2|+|EF2|=4a=8c=8138=13故答案為：13根據(jù)已知條件，先設(shè)出含c的橢圓方程，再結(jié)合三角形的性質(zhì)，以及弦長公式，求出c的值，最后再根據(jù)橢圓的定義，即可求解本題主要考查直線與橢圓的綜合應(yīng)用，需要學(xué)生很強(qiáng)的綜合能力，屬于中檔題17.【答案】解：(1)已知a1=1，Snan是公差為13的等差數(shù)列，所以Snan=1+13(n1

17、)=13n+23，整理得Sn=13nan+23an，故當(dāng)n2時，Sn1=13(n1)an1+23an1，得：13an=13nan13nan113an1，故(n1)an=(n+1)an1，化簡得：anan1=n+1n1，an1an2=nn2，a3a2=42，a2a1=31；所以ana1=n(n+1)2，故an=n(n+1)2(首項(xiàng)符合通項(xiàng))所以an=n(n+1)2證明：(2)由于an=n(n+1)2，所以1an=2n(n+1)=2(1n1n+1)，所以1a1+1a2+.+1an=2(112+1213+.+1n1n+1)=2(11n+1)2【解析】(1)直接利用數(shù)列的遞推關(guān)系式的應(yīng)用求出數(shù)列的通項(xiàng)

18、公式；(2)利用(1)的結(jié)論，進(jìn)一步利用裂項(xiàng)相消法的應(yīng)用求出數(shù)列的和，進(jìn)一步利用放縮法的應(yīng)用求出結(jié)果本題考查的知識要點(diǎn)：數(shù)列的遞推關(guān)系式，數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，數(shù)列的求和，裂項(xiàng)相消法在數(shù)列求和中的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和數(shù)學(xué)思維能力，屬于中檔題18.【答案】解：(1)cosA1+sinA=sin2B1+cos2B，cosA1+sinA=2sinBcosB2cos2B=sinBcosB，化為：cosAcosB=sinAsinB+sinB，cos(B+A)=sinB，cosC=sinB，C=23，sinB=12，0B0，cosC0，C(2,)，C為鈍角，B，A都為銳角，B=C2sinA=si

19、n(B+C)=sin(2C2)=cos2C，a2+b2c2=sin2A+sin2Bsin2C=cos22C+cos2Csin2C=(12sin2C)2+(1sin2C)sin2C=2+4sin4C5sin2Csin2C=2sin2C+4sin2C52245=425，當(dāng)且僅當(dāng)sinC=142時取等號a2+b2c2的最小值為425【解析】(1)利用倍角公式、和差公式、三角形內(nèi)角和定理即可得出B(2)利用誘導(dǎo)公式把A用C表示，再利用正弦定理、倍角公式、基本不等式即可得出結(jié)論本題考查了倍角公式、和差公式、三角形內(nèi)角和定理、余弦定理、基本不等式、轉(zhuǎn)化方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題19.【答案

20、】解：(1)由直三棱柱ABCA1B1C1的體積為4，可得VA1ABC=13VA1B1C1ABC=43，設(shè)A到平面A1BC的距離為d，由VA1ABC=VAA1BC，13SA1BCd=43，1322d=43，解得d=2(2)由直三棱柱ABCA1B1C1知BB1平面ABC，所以平面ABC平面ABB1A1，又平面A1BC平面ABB1A1，又平面ABC平面A1BC=BC，所以BC平面ABB1A1，BCA1B，BCAB，以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，BC，BA，BB1所在直線為坐標(biāo)軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系， AA1=AB，BC2AB12=22，又12ABBCAA1=4，解得AB=BC=AA1=2，則B(0,0,0

21、)，A(0,2,0)，C(2,0,0)，A1(0,2,2)，D(1,1,1)，則BA=(0,2,0)，BD=(1,1,1)，BC=(2,0,0)，設(shè)平面ABD的一個法向量為n=(x,y,z)，則nBA=2y=0nBD=x+y+z=0，令x=1，則y=0，z=1，平面ABD的一個法向量為n=(1,0,1)，設(shè)平面BCD的一個法向量為m=(a,b,c)，mBC=2a=0mBD=a+b+c=0，令b=1，則a=0，c=1，平面BCD的一個法向量為m=(0,1,1)，cos=122=12，二面角ABDC的正弦值為1(12)2=32【解析】(1)利用體積法可求點(diǎn)A到平面A1BC的距離；(2)以B為坐標(biāo)原

22、點(diǎn)，BC，BA，BB1所在直線為坐標(biāo)軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，利用向量法可求二面角ABDC的正弦值本題考查求點(diǎn)到面的距離，求二面角的正弦值，屬中檔題20.【答案】解：(1)補(bǔ)充列聯(lián)表為： 不夠良好良好合計(jì)病例組4060100對照組1090100合計(jì)50150200計(jì)算K2=200(40901060)210010050150=246.635，所以有99%的把握認(rèn)為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛(wèi)生習(xí)慣有差異(2)(i)證明：R=P(B|A)P(B|A)：P(B|A)P(B|A)=P(B|A)P(B|A)P(B|A)P(B|A)=P(AB)P(A)P(AB)P(A)P(AB)P(A)P(AB

23、)P(A)=P(AB)P(AB)P(AB)P(AB)=P(AB)P(B)P(AB)P(B)P(AB)P(B)P(AB)P(B)=P(A|B)P(A|B)P(A|B)P(A|B)；()利用調(diào)查數(shù)據(jù)，P(A|B)=40100=25，P(A|B)=10100=110，P(A|B)=1P(A|B)=35，P(A|B)=1P(A|B)=910，所以R=2535910110=6【解析】(1)補(bǔ)充列聯(lián)表，根據(jù)表中數(shù)據(jù)計(jì)算K2，對照附表得出結(jié)論(2)(i)根據(jù)條件概率的定義與運(yùn)算性質(zhì)，證明即可；()利用調(diào)查數(shù)據(jù)和對立事件的概率公式，計(jì)算即可本題考查了獨(dú)立性檢驗(yàn)應(yīng)用問題，也考查了條件概率的應(yīng)用問題，是中檔題21

24、.【答案】解：(1)將點(diǎn)A代入雙曲線方程得4a21a21=1，化簡得a44a2+4=0，a2=2，故雙曲線方程為x22y2=1，由題顯然直線l的斜率存在，設(shè)l：y=kx+m，設(shè)P(x1,y1)Q(x2,y2)，則聯(lián)立雙曲線得：(2k21)x2+4kmx+2m2+2=0，故x1+x2=4km2k21，x1x2=2m2+22k21，kAP+kAQ=y11x12+y21x22=kx1+m1x12+kx2+m1x22=0，化簡得：2kx1x2+(m12k)(x1+x2)4(m1)=0，故2k(2m2+2)2k21+(m12k)(4km2k21)4(m1)=0，即(k+1)(m+2k1)=0，而直線l不

25、過A點(diǎn)，故k=1；(2)設(shè)直線AP的傾斜角為，由tanPAQ=22，2tanPAQ21tan2PAQ2=22，得tanPAQ2=22，由2+PAQ=，=PAQ2，得kAP=tan=2，即y11x12=2，聯(lián)立y11x12=2，及x122y12=1得x1=10423,y1=4253，代入直線l得m=53，故x1+x2=203,x1x2=689，而|AP|=3|x12|,|AQ|=3|x22|，由tanPAQ=22，得sinPAQ=223，故SPAQ=12|AP|AQ|sinPAQ=2|x1x22(x1+x2)+4|=1629【解析】(1)將點(diǎn)A代入雙曲線方程得x22y2=1，由題顯然直線l的斜率存在，設(shè)l：y=kx+m，與雙曲線聯(lián)立后，根據(jù)直線AP，AQ的斜率之和為0，求解即可；(2)設(shè)直線AP的傾斜角為，由tanPAQ=22，得tanPAQ2=22，聯(lián)立y11x12=2，及x122y12=1，根據(jù)三角形面積公式即可求解本題考查了直線與雙曲線的綜合，屬于中檔題22.【答案】(1)解：f(x)=exax，g(x)=axlnx，f(x)=exa，g(x)=a1x，y=ex在xR上單調(diào)