專轉(zhuǎn)本高數(shù)第七章第七節(jié)二重積分

1、專轉(zhuǎn)本高數(shù)第七章第七節(jié)二重積分播放 求曲頂柱體的體積采用 “分割、求和、取極限的方法，如下動畫演示2步驟如下：用假設(shè)干個小平頂柱體體積之和近似表示曲頂柱體的體積，先分割曲頂柱體的底，并取典型小區(qū)域，曲頂柱體的體積分割求和極限32、二重積分的定義4積分區(qū)域積分和被積函數(shù)積分變量被積表達(dá)式面積元素即5 在直角坐標(biāo)系下用平行于坐標(biāo)軸的直線網(wǎng)來劃分區(qū)域D，故二重積分可寫為D那么面積元素為63、二重積分的性質(zhì)下面假定f(x,y),g(x,y)在閉區(qū)域D上連續(xù),A為D的面積. 性質(zhì)2 線性性質(zhì) 這里A為D的面積. 性質(zhì)17性質(zhì)4性質(zhì)3 區(qū)域可加性 推論1推論28性質(zhì)5 估值性質(zhì) 證所以于是9性質(zhì)6(二重積

2、分的中值定理) 證由性質(zhì)5知, 即得證。 10abxyo如果積分區(qū)域為D ：其中函數(shù) 、 在區(qū)間 上連續(xù).1、在直角坐標(biāo)系下計算二重積分二、二重積分的計算11應(yīng)用計算“平行截面面積為的立體求體積的方法,12積分區(qū)域為：一般地， 先對 y 積分，后對 x 積分的二次積分記為abxyo13dxyoc如果積分區(qū)域為： 先對 x 積分，后對 y 積分的二次積分14將化為二次積分,其中 D 由直線圍成。解法1先畫出積分區(qū)域 D，將 D 向 y 軸投影，先 x 后 y ,例1xyo15xyo解法2先 y 后 x, 將 D 向 x 軸投影,16計算其中 D 由直線解 先畫出積分區(qū)域 D ，先 y 后 x,將

3、 D 向 x 軸投影，例2圍成。17解例3先求兩曲線的交點先對 y 積分， 18解例419解例5先 x 后 y ,兩曲線的交點20解例5兩曲線的交點選擇積分次序的原那么： 假設(shè)選擇先 y 后 x ,(1)積分容易； (2)盡量少分塊或不分塊. 麻煩。21解例622解積分區(qū)域為將 D 向 y 軸投影, 改變積分的次序.例723解設(shè)那么例8交換下面積分的次序:24設(shè)將 D 向 y 軸投影,25例9交換下面積分的次序:26利用對稱性簡化二重積分的計算設(shè)積分區(qū)域D關(guān)于y 軸對稱，yxox-x(1) 假設(shè)f(x,y)關(guān)于 x 是奇函數(shù)，那么有(2) 假設(shè)f(x,y)關(guān)于x 是偶函數(shù)，那么有其中 是D的右

4、半?yún)^(qū)域。27利用對稱性簡化二重積分的計算設(shè)積分區(qū)域D關(guān)于x 軸對稱，(1) 假設(shè)f(x,y)關(guān)于 y 是奇函數(shù)，那么有(2) 假設(shè)f(x,y)關(guān)于x 是偶函數(shù)，那么有其中 是D的上半?yún)^(qū)域。yxo28例10 設(shè)有平面區(qū)域解oxy29解oxy選(A).30例11 求二重積分解oxy區(qū)域D分別對稱于x軸和y軸， 312、在極坐標(biāo)系下計算二重積分在下述兩種情況下,往往利用極坐標(biāo)來計算二重積分： 1)當(dāng)積分區(qū)域D為圓域、環(huán)域或扇形域等時, D的邊界用極坐標(biāo)表示較為簡單； 2)被積函數(shù)具有 等形式時,用極坐標(biāo)積分較為容易. 直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的轉(zhuǎn)換關(guān)系為： 32所以面積元素為33二重積分化為極坐標(biāo)下二次積分

5、的公式區(qū)域特征如圖34解例12在極坐標(biāo)系下,xyo35例13解區(qū)域D關(guān)于y 軸對稱，用極坐標(biāo)，xyo36xyo37例14解直接做麻煩, 化為極坐標(biāo),38例15解所以在極坐標(biāo)系下, 圓方程為 直線方程為39解計算二重積分例16由區(qū)域的對稱性和函數(shù)的奇偶性，可只考慮第一象限局部，xyo40解法1例17xyo41所以42xyo解法2例17用直角坐標(biāo)系，先對 x 積分，43所以44例18解45練習(xí)：P324 習(xí)題七46 求曲頂柱體的體積采用 “分割、求和、取極限的方法，如下動畫演示47 求曲頂柱體的體積采用 “分割、求和、取極限的方法，如下動畫演示48 求曲頂柱體的體積采用 “分割、求和、取極限的方法，如下動畫演示49 求曲頂柱體的體積采用 “分割、求和、取極限