2022屆河南省鶴壁市?？h第一中學(xué)高三下學(xué)期4月考試數(shù)學(xué)（文）試題（解析版）

1、試卷第 =page 1 1頁，共 =sectionpages 3 3頁第 Page * MergeFormat 16 頁 共 NUMPAGES * MergeFormat 16 頁2022屆河南省鶴壁市?？h第一中學(xué)高三下學(xué)期4月考試數(shù)學(xué)（文）試題一、單選題1（）ABCD【答案】A【分析】由題，對(duì)復(fù)數(shù)進(jìn)行計(jì)算，分子分母同時(shí)乘以，得出答案.【詳解】化簡.故選A【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.2已知集合，則AB=（）ABCD【答案】D【分析】先對(duì)求出集合和集合，然后求其交集.【詳解】因?yàn)椋?故選：D3（）ABCD【答案】C【分析】利用二倍角余弦公式即可得到結(jié)果.【詳

2、解】.故選C【點(diǎn)睛】本題考查三角恒等變換，考查運(yùn)算求解能力.4執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的（）A3B4C5D6【答案】B【解析】執(zhí)行給定的程序框圖，逐次運(yùn)算，根據(jù)判斷條件，終止循環(huán)，即可得到輸出結(jié)果【詳解】由題意，執(zhí)行給定的程序框圖，可知：第1次循環(huán)，不滿足判斷條件，；第2次循環(huán)，不滿足判斷條件，；第3次循環(huán)，不滿足判斷條件，滿足判斷條件，終止循環(huán)，輸出，故選B【點(diǎn)睛】本題主要考查了循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖的計(jì)算輸出問題，其中解答中根據(jù)程序框圖，逐次執(zhí)行循環(huán)體，根據(jù)判斷條件終止循環(huán)是解答的關(guān)鍵，著重考查了運(yùn)算與求解能力，屬于基礎(chǔ)題5函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（）ABCD【答案】B【解析】根據(jù)正弦函數(shù)的

3、單調(diào)性，令求解.【詳解】令，解得，所以的遞增區(qū)間是故選：B6某三棱錐的三視圖如圖所示，P，A，B，C在三視圖中所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為為棱的中點(diǎn)，則直線與所成角的正切值為（）ABCD【答案】D【分析】先畫出三棱錐，作，易知就是直線與所成的角，再求出相關(guān)邊長，即可求解.【詳解】三棱錐如圖所示，作，垂足為E，連接，易知就是直線與所成的角.因?yàn)槠矫?，所?因?yàn)槠矫妫云矫?，所?故選：D.7已知是定義在上的偶函數(shù)，且，如果當(dāng)時(shí)，則（）A3BC2D【答案】C【分析】根據(jù)得，即的周期為8，再根據(jù)時(shí)，及為R上的偶函數(shù)，即可求出【詳解】由，得，所以是周期為8的周期函數(shù)，當(dāng)時(shí)，所以，又是定義在R上的偶函數(shù)，所以故選

4、：C.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的周期性，奇偶性與求值，考查運(yùn)算求解能力，屬于?？碱}8在中，現(xiàn)有以下四個(gè)命題；的面積為；中最大角的余弦值為那么，下列命題中為真命題的是（）ABCD【答案】B【分析】設(shè)的內(nèi)角，所對(duì)邊分別是，可得，運(yùn)用正弦定理和余弦定理、面積公式和復(fù)合命題的真值表，即可判斷結(jié)論【詳解】解：設(shè)的內(nèi)角，所對(duì)邊分別是，可得，由正弦定理可得，即，顯然，即真，假；中最大角的余弦值為，即真；，則的面積為，故假綜上可得真，故選：9已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且滿足，若曲線在處的切線為，則下列直線中與直線垂直的是（）ABCD【答案】B【分析】先求導(dǎo)數(shù)代入，求出，再求出切線斜率，可得.【詳解】，令，則，即.，所以

5、的方程為，所以直線與直線垂直.選B.【點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，利用導(dǎo)數(shù)求解在某點(diǎn)處的切線，把切點(diǎn)橫坐標(biāo)代入導(dǎo)數(shù)可得切線斜率.10設(shè)a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，若，且，則（）ABCD【答案】B【分析】利用余弦定理和正弦定理，以及倍角公式，直接計(jì)算即可求解【詳解】因?yàn)?，所以，即，所以，所以?若則.這與題設(shè)不合，故，又，所以，即.故選：B11已知點(diǎn)，點(diǎn)是圓上任意一點(diǎn)，則面積的最大值是（）ABCD9【答案】C【解析】求出直線的方程，計(jì)算出圓心到直線的距離，可知的最大高度為，并計(jì)算出，最后利用三角形的面積公式可得出結(jié)果.【詳解】解：根據(jù)題意得直線的斜率為：，故直線的方程為：，且，圓

6、的圓心坐標(biāo)為，半徑長為，圓心到直線的距離為，所以，點(diǎn)到直線的距離的最大值為，因此，面積的最大值為.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查三角形面積的最值問題，考查圓的幾何性質(zhì)，當(dāng)直線與圓相離時(shí)，若圓的半徑為，圓心到直線的距離為，則圓上一點(diǎn)到直線距離的最大值為，距離的最小值為，要熟悉相關(guān)結(jié)論的應(yīng)用.12已知拋物線：的焦點(diǎn)為，過點(diǎn)的直線交拋物線于，兩點(diǎn)，其中點(diǎn)在第一象限，若弦的長為，則（）A2或B3或C4或D5或【答案】C【分析】先根據(jù)弦長求出直線的斜率，再利用拋物線定義可求出.【詳解】設(shè)直線的傾斜角為，則，所以，即，所以直線的方程為.當(dāng)直線的方程為，聯(lián)立，解得和，所以；同理，當(dāng)直線的方程為.，綜上，或.選C

7、.【點(diǎn)睛】本題主要考查直線和拋物線的位置關(guān)系，弦長問題一般是利用弦長公式來處理.出現(xiàn)了到焦點(diǎn)的距離時(shí)，一般考慮拋物線的定義.二、填空題13已知向量，的夾角為，且|2，|，3，則_.【答案】【分析】根據(jù)數(shù)量積公式，求夾角.【詳解】因?yàn)?，所?故答案為：14中國古代數(shù)學(xué)名著（九章算術(shù)中記載：“圓周與其直徑之比被定為3.圓中弓形面積為量（c為弦長；a為半徑長與圓心到弦的距離之差）.”據(jù)此計(jì)算，已知一個(gè)圓中弓形所對(duì)應(yīng)的弦長，質(zhì)點(diǎn)M隨機(jī)投入此圓中，則質(zhì)點(diǎn)M落在該弓形內(nèi)的概率為_.【答案】【分析】分別計(jì)算出弓形和圓的面積，然后，利用面積比求出答案即可【詳解】由題意可知：弓形的面積，設(shè)圓的半徑為r，則，解得

8、，所以圓的面積，所以質(zhì)點(diǎn)落在弓形內(nèi)的概率為.故答案為：15已知雙曲線的焦距為8，直線與雙曲線C交于A，B兩點(diǎn)，若，則雙曲線C的方程為_.【答案】【分析】根據(jù)雙曲線的對(duì)稱性可得，兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，即可得到，根據(jù)兩直線垂直斜率之積為，得到，再根據(jù)及，即可求出，從而求出雙曲線方程；【詳解】解：根據(jù)雙曲線的對(duì)稱性，易知，兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，因?yàn)?，所以，則，即，又，所以，從而，故雙曲線C的方程為.故答案為：16在四面體中，與都是邊長為2的等邊三角形，且平面平面，則該四面體外接球的體積為_【答案】【分析】先確定球心的位置，結(jié)合勾股定理可求球的半徑，進(jìn)而可得球的面積.【詳解】取的外心為，設(shè)為球心，連接，則平面

9、，取的中點(diǎn)，連接，過做于點(diǎn)，易知四邊形為矩形，連接，設(shè)，.連接，則，三點(diǎn)共線，易知，所以，.在和中，即，所以，得.所以.【點(diǎn)睛】本題主要考查幾何體的外接球問題，外接球的半徑的求解一般有兩個(gè)思路：一是確定球心位置，利用勾股定理求解半徑；二是利用熟悉的模型求解半徑,比如長方體外接球半徑是其對(duì)角線的一半.三、解答題17在遞增的等比數(shù)列中，且.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1） （2）【分析】（1）設(shè)公比為，由，得，結(jié)合數(shù)列的增減性可得公比，從而可得，進(jìn)而可得結(jié)果；（2）由（1）得，利用分組求和，結(jié)合等差數(shù)列與等比數(shù)列的求和公式，即可得結(jié)果.【詳解】（1）設(shè)公比為，由，得，化

10、簡得，解得或，因?yàn)榈缺葦?shù)列是遞增的，所以，所以.（2）由（1）得，所以 ，則，所以.【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列求和公式，以及利用“分組求和法”求數(shù)列前項(xiàng)和，屬于中檔題. 利用“分組求和法”求數(shù)列前項(xiàng)和常見類型有兩種：一是通項(xiàng)為兩個(gè)公比不相等的等比數(shù)列的和或差，可以分別用等比數(shù)列求和后再相加減；二是通項(xiàng)為一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列的和或差，可以分別用等差數(shù)列求和、等比數(shù)列求和后再相加減.18某市環(huán)保部門對(duì)該市市民進(jìn)行了一次垃圾分類知識(shí)的網(wǎng)絡(luò)問卷調(diào)查，每位市民僅有一次參加機(jī)會(huì)，通過隨機(jī)抽樣，得到參與問卷調(diào)查的人的得分（滿分：分）數(shù)據(jù)，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如表所示.組別男女（1）若規(guī)定問卷得分不低于

11、分的市民稱為“環(huán)保關(guān)注者”，請(qǐng)完成答題卡中的列聯(lián)表，并判斷能否在犯錯(cuò)誤概率不超過的前提下，認(rèn)為是否為“環(huán)保關(guān)注者”與性別有關(guān)？（2）若問卷得分不低于分的人稱為環(huán)保達(dá)人”，現(xiàn)在從本次調(diào)查的“環(huán)保達(dá)人”中利用分層抽樣的方法隨機(jī)抽取名市民參與環(huán)保知識(shí)問答，再從這名市民中抽取人參與座談會(huì)，求抽取的名市民中，既有男“環(huán)保達(dá)人”又有女“環(huán)保達(dá)人”的概率.附表及公式：，.【答案】（1）詳見解析；（2）.【分析】（1）根據(jù)題意，可寫出列聯(lián)表，根據(jù)公式求出的觀測值，與對(duì)應(yīng)的比較，即可得出結(jié)論；（2）利用分層抽樣算出男“環(huán)保達(dá)人”人，女“環(huán)保達(dá)人”人，再根據(jù)列舉法將基本事件列舉出來，再由古典概型求出概率.【詳解】

12、解：（1）由圖中表格可得列聯(lián)表如下：非“環(huán)保關(guān)注者”是“環(huán)保關(guān)注者”合計(jì)男104555女153045合計(jì)2575100將列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)代入公式計(jì)算得的觀測值，所以在犯錯(cuò)誤的概率不超過的前提下，不能認(rèn)為是否為是“環(huán)保關(guān)注者”與性別有關(guān).（2）由題可知，利用分層抽樣的方法可得男“環(huán)保達(dá)人”人，女“環(huán)保達(dá)人”人，設(shè)男“環(huán)保達(dá)人”人分別為，；女“環(huán)保達(dá)人”人為，從中抽取兩人的所有情況為，共種情況，既有男“環(huán)保達(dá)人”又有女“環(huán)保達(dá)人”的情況有，共種情況，所求概率.【點(diǎn)睛】本題考查獨(dú)立性檢驗(yàn)的應(yīng)用和古典概型求概率，還運(yùn)用了分層抽樣和列舉法，屬于基礎(chǔ)題.19如圖，在四棱錐中，底面為菱形，平面底面，且為的中點(diǎn)

13、.(1)證明：；(2)求三棱錐的體積.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）取的中點(diǎn)，連接，得到，根據(jù)平面底面，證得平面底面，得到，又由，得到，利用線面垂直的判定定理，證得平面，進(jìn)而得到；（2）由（1）證得平面，得到四棱錐的高為，求得，結(jié)合，即可求解.【詳解】(1)證明：取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)椋瑸榈闹悬c(diǎn)，所以，又因?yàn)槠矫娴酌妫矫娴酌?，所以平面底面，因?yàn)榈酌?，所以，又因?yàn)榈酌鏋榱庑?，所以，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，為的中點(diǎn)，所以，所以，又因?yàn)椋云矫?，又由平面，所?(2)解：由（1）知，且，所以平面，即四棱錐的高為，因?yàn)?，且，所以，又因?yàn)榈酌鏋榱庑?，且，所以，所以三棱錐的體積為.20已知函數(shù).（1

14、）討論函數(shù)的單調(diào)性.（2）若，求的最大值.【答案】(1)見解析；(2) 【分析】（1）求出導(dǎo)數(shù)，討論參數(shù)a的取值;（2）構(gòu)造新函數(shù)，把雙變量問題轉(zhuǎn)化為單變量.【詳解】解：（1）函數(shù)的定義域?yàn)椋?，得，?dāng)時(shí)，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增.當(dāng)時(shí)，則時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減；時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增.（2）由（1）可知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，與相矛盾；當(dāng)時(shí)，所以，此時(shí).當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，函數(shù)在上單調(diào)遞增.，即，則.令，則.令，則，令，則，當(dāng)時(shí)，即當(dāng)，時(shí)，的最大值為.綜上，的最大值為.【點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性問題時(shí)，注意參數(shù)的分類依據(jù).21已知橢圓的離心率，且橢圓過點(diǎn)

15、（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)直線與交于、兩點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上，是坐標(biāo)原點(diǎn)，若，判定四邊形的面積是否為定值？若為定值，求出該定值；如果不是，請(qǐng)說明理由.【答案】（1）；（2）是定值，其定值為.【分析】（1）設(shè)橢圓的焦距為，根據(jù)題意得出關(guān)于 、的方程組，求出和的值，即可得出橢圓 的標(biāo)準(zhǔn)方程； （2）對(duì)直線的斜率是否存在進(jìn)行分類討論，當(dāng)直線軸時(shí)，可得出直線的方程為，可求出四邊形 的面積；當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，設(shè)點(diǎn)、 ，將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入橢圓的方程得出 ，計(jì)算出以及原點(diǎn)到直線的距離，通過化簡計(jì)算可得出四邊形 的面積為，進(jìn)而得證.【詳解

16、】（1）設(shè)橢圓的焦距為，由題意可得 ，解得， 因此，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線的方程為或.若直線的方程為，聯(lián)立，可得 ，此時(shí)，四邊形的面積為 ，同理，當(dāng)直線的方程為時(shí)，可求得四邊形的面積也為；當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程是，代人到，得 ， ，點(diǎn)到直線的距離，由，得 ，點(diǎn)在橢圓上，所以有，整理得 ，由題意知，四邊形為平行四邊形，平行四邊形的面積為.故四邊形的面積是定值，其定值為.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓方程的求解，同時(shí)也考查了四邊形面積的計(jì)算，考查定值問題，一般利用直線與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理設(shè)而不求法求解，考查運(yùn)算求解能力，屬于中等題.22在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程是（為參數(shù)）.以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為，(1)求曲線的直角坐標(biāo)方程，(2)設(shè)A，B分別在曲線上運(yùn)動(dòng)，若的最小值是1，求m的值.【答案】(1)，(2)或【分析】（1）利用三角消參得到曲線的直角坐標(biāo)方程；利用得到的直角坐標(biāo)方程；（2）利用幾何法表示出最值，解得或.【詳解】(1)由消去參數(shù)，得，所以曲線的直角坐標(biāo)方程為由，整理得，而，所以，即的直角坐標(biāo)方程為.(2)由（1）知曲線是圓心為，半徑的圓，則圓心到直線的