2022屆福建省莆田一中（莆田市）高三畢業(yè)班三模數(shù)學(xué)試題（解析版）

1、試卷第 =page 1 1頁(yè)，共 =sectionpages 3 3頁(yè)第 Page * MergeFormat 16 頁(yè) 共 NUMPAGES * MergeFormat 16 頁(yè)2022屆福建省莆田市高三畢業(yè)班三模數(shù)學(xué)試題一、單選題1設(shè)集合，則（）ABCD【答案】B【分析】根據(jù)交集的定義即可求解.【詳解】由題意得，則.故選：B.2若復(fù)數(shù)，則（）ABCD【答案】C【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算即可得解.【詳解】故選：C3芝諾是古希臘著名的哲學(xué)家，他曾提出一個(gè)著名的悖論，史稱芝諾悖論芝諾悖論的大意是：“阿喀琉斯是古希臘神話中善跑的英雄，在他和烏龜?shù)母?jìng)賽中，他的速度為烏龜?shù)氖?，烏龜在他前?00米爬

2、，他在后面追，但他不可能追上烏龜原因是在競(jìng)賽中，追者首先必須到達(dá)被追者的出發(fā)點(diǎn)，當(dāng)阿喀琉斯追了100米時(shí)，烏龜已經(jīng)向前爬了10米于是一個(gè)新的起點(diǎn)產(chǎn)生了；阿喀琉斯必須繼續(xù)追，而當(dāng)他追完烏龜爬的這10米時(shí)，烏龜又向前爬了1米，阿喀琉斯只能再追這1米就這樣，烏龜會(huì)制造出無窮個(gè)起點(diǎn)，它總能在起點(diǎn)與自己之間制造出一個(gè)距離，不管這個(gè)距離有多小，只要烏龜不停地奮力向前爬，阿喀琉斯就永遠(yuǎn)追不上烏龜”試問在阿略琉斯與烏龜?shù)母?jìng)賽中，當(dāng)阿喀琉斯與烏龜相距0.001米時(shí)，烏龜共爬行了（）A11.111米B11.11米C19.99米D111.1米【答案】A【分析】由題意可知，烏龜每次爬行的距離構(gòu)成等比數(shù)列，利用等比數(shù)列

3、的前n項(xiàng)和公式即可求出總距離.【詳解】由題意可知，烏龜每次爬行的距離構(gòu)成等比數(shù)列,且所以烏龜?shù)呐佬芯嚯x(米).故選：A4已知某校有教職工560人，其中女職工240人，現(xiàn)按性別用分層抽樣的方法從該校教職工中抽取28人，則抽取的男職工人數(shù)與抽取的女職工人數(shù)之差是（）A2B4C6D8【答案】B【分析】根據(jù)分層抽樣的抽取比例計(jì)算方法，分別求出抽取人數(shù)中的男女職工人數(shù)即可求解.【詳解】抽取的女職工人數(shù)為：人抽取的男職工人數(shù)為：人則抽取的男職工人數(shù)與抽取的女職工人數(shù)之差為：人故選：B.5“”是“”的（）A充要條件B充分不必要條件C必要不充分條件D既不充分也不必要條件【答案】B【分析】利用同角的三角函數(shù)的平

4、方關(guān)系及二倍角公式可得，再除以可得關(guān)于的方程，求解即可判斷.【詳解】由題，則，即，所以，解得或，所以“”是“”的充分不必要條件，故選：B6已知，則（）ABCD【答案】C【分析】利用指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性以及中間值進(jìn)行比較即可.【詳解】 ， 故選：C.7拋物線有如下光學(xué)性質(zhì)：過焦點(diǎn)的光線經(jīng)拋物線反射后得到的光線平行于拋物線的對(duì)稱軸；反之，平行于拋物線對(duì)稱軸的入射光線經(jīng)拋物線反射后必過拋物線的焦點(diǎn)已知拋物線，一條平行于x軸的光線從點(diǎn)射出，經(jīng)過拋物線E上的點(diǎn)B反射后，與拋物線E交于點(diǎn)C，若的面積是10，則()AB1CD2【答案】D【分析】根據(jù)ABx軸知B點(diǎn)縱坐標(biāo)為2p，代入拋物線方程可求B點(diǎn)橫坐

5、標(biāo)，利用B和F求出直線BC的方程，代入拋物線方程消去y可得根與系數(shù)關(guān)系，根據(jù)拋物線焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式可求BC長(zhǎng)度，利用點(diǎn)到直線距離公式可求A到直線BC的距離d，根據(jù)即可求出p【詳解】由題知拋物線焦點(diǎn)為，ABx軸，將y=2p代入得x=2p，則B為(2p，2p)，由題可知B、F、C三點(diǎn)共線，BC方程為：，即，代入拋物線方程消去y得，設(shè)方程兩根為，則，則，又到BC：的距離為：，由得故選：D8已知函數(shù)的最小值是4則（）A3B4C5D6【答案】A【分析】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值和最值即可，這里需要用到的二階導(dǎo)數(shù)【詳解】由題，所以單調(diào)遞增，又，所以，故為最小值點(diǎn)，即，解得，故選：A二、多選題9下列說法正確的是（）

6、A展開式中的常數(shù)項(xiàng)為B展開式中的各項(xiàng)系數(shù)之和為1C展開式中的系數(shù)為40D展開式中的二項(xiàng)式系數(shù)之和為32【答案】ACD【分析】根據(jù)多項(xiàng)式的乘法可知A正確，利用賦值法判斷B，根據(jù)二項(xiàng)展開式通項(xiàng)公式判斷C，根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)和判斷D.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，常數(shù)項(xiàng)應(yīng)為，則A正確；對(duì)于選項(xiàng)B，令，得，即展開式中的各項(xiàng)系數(shù)之和為-1，則B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C，展開式的通項(xiàng)公式為，令，得，則，即展開式中的系數(shù)為40，則C正確；對(duì)于選項(xiàng)D，展開式中的二項(xiàng)式系數(shù)之和為，故D正確.故選：ACD10將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再將所得圖象上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的，得到函數(shù)的圖象，若的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，則的取值可能為（

7、）ABCD【答案】AD【分析】根據(jù)圖象的變換規(guī)律求出的解析式，進(jìn)而求出對(duì)稱軸，即可得到的取值情況.【詳解】函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象，再將所得圖象上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的，得到函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱 又 當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；故選：AD.11已知函數(shù)，函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）A若有3個(gè)不同的零點(diǎn)，則a的取值范圍是B若有4個(gè)不同的零點(diǎn)，則a的取值范圍是C若有4個(gè)不同的零點(diǎn)，則D若有4個(gè)不同的零點(diǎn)，則的取值范圍是【答案】BCD【分析】根據(jù)題意，將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)與圖像交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，進(jìn)而數(shù)形結(jié)合求解即可得答案.【詳解】解：令得，即所以零點(diǎn)個(gè)數(shù)為函數(shù)與圖像交點(diǎn)個(gè)數(shù)，故，作出函

8、數(shù)圖像如圖，由圖可知，有3個(gè)不同的零點(diǎn)，則a的取值范圍是，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；有4個(gè)不同的零點(diǎn)，則a的取值范圍是，故B選項(xiàng)正確；有4個(gè)不同的零點(diǎn)，此時(shí)關(guān)于直線對(duì)稱，所以，故C選項(xiàng)正確；由C選項(xiàng)可知，所以，由于有4個(gè)不同的零點(diǎn)，a的取值范圍是，故，所以，故D選項(xiàng)正確.故選：BCD12已知正四面體的棱長(zhǎng)為點(diǎn)E，F(xiàn)滿足，用過A，E，F(xiàn)三點(diǎn)的平面截正四面體的外接球O，當(dāng)時(shí)，截面的面積可能為（）ABCD【答案】CD【分析】作出當(dāng)時(shí)的圖象，問題轉(zhuǎn)化為截面AEF從平面ARS轉(zhuǎn)動(dòng)到平面ACD的過程中截球所截得圓面的面積范圍，利用球的截面的性質(zhì)得出圓面的半徑平方的范圍即可求解.【詳解】如圖1,在棱BC上取點(diǎn)R，在棱B

9、D上取點(diǎn)S，使得，取CD的中點(diǎn)G，連接AR，AS，RS，BG，AG，記RSBG=M，連接AM. 過點(diǎn)A作AH平面BCD，垂足為H，則H為BCD的中心，正四面體ABCD外接球的球心在AH上，AO為球的半徑.由題中數(shù)據(jù)可得.設(shè)球的半徑為R，則，解得.當(dāng)時(shí)，截面AEF從平面ARS轉(zhuǎn)動(dòng)到平面ACD，要求截面的面積只需考慮球心到截面的距離的取值范圍即可.由題意可知CD/RS且CD平面ABG，如圖2，過點(diǎn)作，垂足為N，則ON平面ARS.因?yàn)?，所以，即球心到截面的距離，則截面圓的半徑，故所求截面的面積.故選：CD三、填空題13已知向量，若，則_【答案】或或【分析】根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算及向量垂直的數(shù)量積表示求解

10、即可.【詳解】，解得或.故答案為：或.14在正方體中，分別是棱，的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值是_【答案】【分析】異面直線與所成角轉(zhuǎn)化為直線與所成角即可求出答案.【詳解】如圖連接，取中點(diǎn)為點(diǎn),連接，且四邊形為平行四邊形 同理異面直線與所成角即為直線與所成角設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，則，在中， 故答案為： .15五一期間，某個(gè)家庭（一共四個(gè)大人，三個(gè)小孩）一起去旅游，在某景點(diǎn)站成一排拍照留念，則小孩不站在兩端，且每個(gè)小孩左右兩邊都有大人的概率是_【答案】【分析】根據(jù)全排列求出7人總的排法種數(shù)，再利用插空法求出小孩不站在兩端，且每個(gè)小孩左右兩邊都有大人的排法種數(shù)，根據(jù)古典概型求解.【詳解】7個(gè)人全排列

11、有種排法，利用插空法，其中小孩不站在兩端，且每個(gè)小孩左右兩邊都有大人的排法有種，所以小孩不站在兩端，且每個(gè)小孩左右兩邊都有大人的概率.故答案為：16已知雙曲線的右焦點(diǎn)為F圓與雙曲線C的漸近線在第一象限交于點(diǎn)P，直線與雙曲線C交于點(diǎn)Q，且，則雙曲線C的離心率為_【答案】【分析】根據(jù)雙曲線的定義及余弦定理可求解.【詳解】如下圖所示，設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為，設(shè)直線的傾斜角為，則，由題意可知，則，則雙曲線的定義有，從而，所以在中，由余弦定理有.故答案為：四、解答題17在，這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充到下面的問題中，并解答設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且,(1)求的最小值；(2)若數(shù)列滿足_，求數(shù)列的前10項(xiàng)和【答

12、案】(1)(2)答案見解析【分析】（1）結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和公式求得，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解；（2）選，判斷，進(jìn)而求解；選，利用裂項(xiàng)相消法即可求解；選，利用分組求和法即可求解.【詳解】(1)由題，所以，則，所以當(dāng)時(shí)，的最小值為.(2)設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，選，由（1），令，即,所以，所以；選，由（1），所以；選，由（1），所以18在中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c已知(1)求B的值；(2)若，且，求的面積【答案】(1)；(2).【分析】（1）由正弦定理統(tǒng)一為三角函數(shù)，再由兩角和的正弦公式化簡(jiǎn)求出即可得解；（2）由已知求出，再由正弦定理可得，聯(lián)立已知求出，利用三角形面積公式求

13、解.【詳解】(1)，,，又，即，又.(2)因?yàn)?，且，所以，則.由正弦定理可得，即，化簡(jiǎn)得，又，聯(lián)立可解得故ABC的面積為.19如圖，在四棱錐中，四邊形為矩形，且E，F(xiàn)分別為棱的中點(diǎn)，(1)證明：平面(2)求平面與平面的夾角的余弦值【答案】(1)證明見解析(2)【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，再分別求出相關(guān)平面的法向量及，再運(yùn)用向量的共線及向量的夾角公式可求解.【詳解】(1)矩形對(duì)角線的交點(diǎn)記為，可知,又因?yàn)?可知,同理可得，,且底面，所以底面，故可建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，從而有設(shè)平面的法向量為，則有，可取，所以，所以平面.(2)記平面、平面的法向量分別為、.由（1）中的數(shù)據(jù)，同理可得平面

14、、平面的法向量分別為、，根據(jù)法向量的方向，可知平面與平面的夾角的余弦值即為.20點(diǎn)外賣現(xiàn)已成為上班族解決午餐問題的一種流行趨勢(shì)某配餐店為擴(kuò)大品牌能響力，決定對(duì)新顧客實(shí)行讓利促銷促銷活動(dòng)規(guī)定：凡點(diǎn)餐的新顧客均可獲贈(zèng)10元，15元或者20元代金券一張，中獎(jiǎng)率分別為、和，每人限點(diǎn)一餐且100%中獎(jiǎng)現(xiàn)有A公司甲、乙、丙、丁、戊五位員工決定點(diǎn)餐試吃(1)求這五人中至多一人抽到10元代金券的概率；(2)這五人中抽到15元，20元代金券的人數(shù)分別用a，b表示，記，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望【答案】(1)；(2)分布列見解析，期望為.【分析】(1)設(shè)“這5人中恰有i人抽到10元代金券”為事件，由互斥事件的

15、概率求和公式求解“五人中至多一人抽到10元代金券”的概率即可；(2)由題意可知可取，求得相應(yīng)的概率值，列出分布列，最后求解數(shù)學(xué)期望即可.【詳解】(1)設(shè)“這5人中恰有i人抽到10元代金券”為事件，易知“五人中至多一人抽到10元代金券”的概率：.(2)由題意可知的可能取值為，故的分布列為：012346故21已知橢圓的離心率為，點(diǎn)在橢圓C上(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程(2)若直線l與橢圓C相切于點(diǎn)D，且與直線交于點(diǎn)E試問在x軸上是否存在定點(diǎn)P，使得點(diǎn)P在以線段為直徑的圓上？若存在，求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在請(qǐng)說明理由【答案】(1)(2)存在，.【分析】(1)由題意，列出方程可直接求解;(2)先得到切線方

16、程，從而可得點(diǎn)的坐標(biāo)，再寫出圓的方程后代入點(diǎn)的坐標(biāo)可求解.【詳解】(1)由題意得，所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.(2)由題意，可知橢圓的切線方程的斜率一定存在，設(shè)切線方程的切點(diǎn)為，切線方程為，下面證明：聯(lián)立，消得，又，則，所以，所以，及直線與橢圓只有一個(gè)公共點(diǎn)，直線與橢圓相切，所以橢圓上切點(diǎn)為的切線方程為.切線方程與聯(lián)立得，則線段為直徑的圓的方程為，設(shè)，則，化簡(jiǎn)整理得，由題意可知，此式恒成立，故當(dāng)滿足題意.此時(shí).故存在定點(diǎn)P，使得點(diǎn)P在以線段為直徑的圓上.22已知函數(shù)(1)討論的單調(diào)性(2)若，證明：對(duì)任意的，都有【答案】(1)單調(diào)性討論見解析(2)證明見解析【分析】（1）求導(dǎo)，根據(jù)a的符號(hào)分類討論即可；（2）