2022屆北京市第一六一中學(xué)高三考前熱身訓(xùn)練數(shù)學(xué)試題（解析版）

1、試卷第 =page 1 1頁，共 =sectionpages 3 3頁第 Page * MergeFormat 19 頁 共 NUMPAGES * MergeFormat 19 頁2022屆北京市第一六一中學(xué)高三考前熱身訓(xùn)練數(shù)學(xué)試題一、單選題1已知集合A=x|0 x3，且AB=1，則集合B可以是（）Ax|xb0）上一點(diǎn)P到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和為4，離心率為(1)求橢圓C的方程；(2)設(shè)橢圓C的左右頂點(diǎn)分別為A、B，當(dāng)P不與A、B重合時(shí)，直線AP， BP分別交直線x=4于點(diǎn)M、N，證明：以MN為直徑的圓過右焦點(diǎn)F 【答案】(1)；(2)證明見解析.【分析】（1）根據(jù)條件，列出關(guān)于的式子，即可求解；

2、（2）解法一：首先設(shè)，利用相似關(guān)系，求得坐標(biāo)間的關(guān)系，并且證明；解法二：首先設(shè)直線方程，與拋物線方程聯(lián)立，求得點(diǎn)的坐標(biāo)，可用表示，最后利用坐標(biāo)表示數(shù)量積.【詳解】(1)由題干可得，所以，即橢圓的方程；(2)解法一：設(shè)，因?yàn)橹本€交直線于點(diǎn)，所以，則，同理，則，由于異于軸兩側(cè)，因此異號，所以，又因?yàn)椋?，即，以為直徑的圓過右焦點(diǎn)；解法二：設(shè)直線方程，得，即，因?yàn)橹本€交直線于點(diǎn)，即，因?yàn)橹本€交直線于點(diǎn)，則由三點(diǎn)共線，得，即，所以，即，以為直徑的圓過右焦點(diǎn).20設(shè)函數(shù)（）.(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；求函數(shù)的最小值.(2)設(shè)函數(shù)，證明：當(dāng)時(shí)，函數(shù)至多有一個(gè)零點(diǎn).【答案】(1)；(2)證明見解

3、析【分析】（1）利用求導(dǎo)求出切線的斜率，然后寫出直線方程；求導(dǎo)后分析函數(shù)的單調(diào)性可求得最小值；（2）對參數(shù)進(jìn)行分類討論，利用倒數(shù)來分析函數(shù)的單調(diào)性來確定函數(shù)的零點(diǎn).【詳解】(1)解：由題意得：函數(shù)定義域?yàn)椋?當(dāng)時(shí) 所以曲線在點(diǎn)處的切線方程是.令，當(dāng)即函數(shù)遞減區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，即函數(shù)遞增區(qū)間為所以函數(shù)的最小值；(2)因?yàn)?令，時(shí)，函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增，至多有一個(gè)零點(diǎn)；時(shí)，令，得，令，得 所以函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞減，在區(qū)間單調(diào)遞增則函數(shù)在時(shí)有最小值，此時(shí)函數(shù)無零點(diǎn).時(shí)，令，得或令，得所以函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，在區(qū)間單調(diào)遞減因?yàn)楹瘮?shù)，所以，且在區(qū)間上恒成立.所以函數(shù)在區(qū)間上至多有一個(gè)零點(diǎn).綜上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)至

4、多有一個(gè)零點(diǎn).21素?cái)?shù)又稱質(zhì)數(shù)，是指在大于的自然數(shù)中，除了和它本身以外不再有其他因數(shù)的自然數(shù)早在多年前，歐幾里德就在幾何原本中證明了素?cái)?shù)是無限的在這之后，數(shù)學(xué)家們不斷地探索素?cái)?shù)的規(guī)律與性質(zhì)，并取得了顯著成果中國數(shù)學(xué)家陳景潤證明了“”，即“表達(dá)偶數(shù)為一個(gè)素?cái)?shù)及一個(gè)不超過兩個(gè)素?cái)?shù)的乘積之和”，成為了哥德巴赫猜想研究上的里程碑，在國際數(shù)學(xué)界引起了轟動(dòng)如何篩選出素?cái)?shù)、判斷一個(gè)數(shù)是否為素?cái)?shù)，是古老的、基本的，但至今仍受到人們重視的問題最早的素?cái)?shù)篩選法由古希臘的數(shù)學(xué)家提出年，一名印度數(shù)學(xué)家發(fā)明了一種素?cái)?shù)篩選法，他構(gòu)造了一個(gè)數(shù)表 ，具體構(gòu)造的方法如下：中位于第行第列的數(shù)記為，首項(xiàng)為且公差為的等差數(shù)列的第項(xiàng)恰好為，其中；請同學(xué)們閱讀以上材料，回答下列問題.(1)求；(2)證明：；(3)證明：若在中，則不是素?cái)?shù)；若不在中，則是素?cái)?shù)【答案】(1)(2)證明見解析(3)證明見解析；證明見解析【分析】（1）先求出和，根據(jù)等差數(shù)列即可求解；（2）先求和，再求出，代入等差數(shù)列公式求解即可；（3）先假設(shè)在中，得到，所以不是素?cái)?shù)；再假設(shè)不在中，利用反證法，為合數(shù)，令，得到，可知在中，假設(shè)不成立即可求解.【詳解】(1)根據(jù)題意：，.(2)，公差，公差，故(3)若在中，由（2）可知，存在，使得，所以不是素?cái)?shù)若不在中，反證法：假設(shè)