線性代數(shù)知識點總結(jié)

1、第 PAGE19 頁 共 NUMPAGES19 頁線性代數(shù)知識點總結(jié)線性代數(shù)知識點總結(jié) 1 行列式 （一）行列式概念和性質(zhì) 1、逆序數(shù)：所有的逆序的總數(shù) 2、行列式定義：不同行不同列元素乘積代數(shù)和 3、行列式性質(zhì)：（用于化簡行列式） （1）行列互換（轉(zhuǎn)置），行列式的值不變 （2）兩行（列）互換，行列式變號 （3）提公因式：行列式的某一行（列）的所有元素都乘以同一數(shù)k，等于用數(shù)k乘此行列式 （4）拆列分配：行列式中如果某一行（列）的元素都是兩組數(shù)之和，那么這個行列式就等于兩個行列式之和。 （5）一行（列）乘k加到另一行（列），行列式的值不變。 （6）兩行成比例，行列式的值為0。 （二）重要行列式

2、 4、上（下）三角（主對角線）行列式的值等于主對角線元素的乘積 5、副對角線行列式的值等于副對角線元素的乘積乘 6、Laplace展開式：（A是m階矩陣，B是n階矩陣），則 7、n階（n2）范德蒙德行列式 數(shù)學(xué)歸納法證明 8、對角線的元素為a，其余元素為b的行列式的值： （三）按行（列）展開 9、按行展開定理： （1）任一行（列）的各元素與其對應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和等于行列式的值 （2）行列式中某一行（列）各個元素與另一行（列）對應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和等于0 （四）行列式公式 10、行列式七大公式： （1）|kA|=kn|A| （2）|AB|=|A|B| （3）|AT|=|A| （4）|A

3、-1|=|A|-1 （5）|A*|=|A|n-1 （6）若A的特征值1、2、n，則 （7）若A與B相似，則|A|=|B| （五）克萊姆法則 11、克萊姆法則： （1）非齊次線性方程組的系數(shù)行列式不為0，那么方程為唯一解 （2）如果非齊次線性方程組無解或有兩個不同解，則它的系數(shù)行列式必為0 （3）若齊次線性方程組的系數(shù)行列式不為0，則齊次線性方程組只有0解；如果方程組有非零解，那么必有D=0。 2 矩陣 （一）矩陣的運(yùn)算 1、矩陣乘法注意事項： （1）矩陣乘法要求前列后行一致；（2）矩陣乘法不滿足交換律；（因式分解的公式對矩陣不適用，但若B=E,O,A-1，A*,f(A)時，可以用交換律） （3

4、）AB=O不能推出A=O或B=O。 2、轉(zhuǎn)置的性質(zhì)（5條） （1）（A+B）T=AT+BT （2）（kA）T=kAT （3）（AB）T=BTAT （4）|A|T=|A| （5）（AT）T=A （二）矩陣的逆 3、逆的定義： AB=E或BA=E成立，稱A可逆，B是A的逆矩陣，記為B=A-1 注：A可逆的充要條件是|A|0 4、逆的性質(zhì)：（5條） （1）（kA）-1=1/kA-1 (k0) （2）（AB）-1=B-1A-1 （3）|A-1|=|A|-1 （4）（AT）-1=（A-1）T （5）（A-1）-1=A 5、逆的求法： （1）A為抽象矩陣：由定義或性質(zhì)求解 （2）A為數(shù)字矩陣：（A|E）初

5、等行變換（E|A-1） （三）矩陣的初等變換 6、初等行（列）變換定義： （1）兩行（列）互換；（2）一行（列）乘非零常數(shù)c （3）一行（列）乘k加到另一行（列） 7、初等矩陣：單位矩陣E經(jīng)過一次初等變換得到的矩陣。 8、初等變換與初等矩陣的性質(zhì)： （1）初等行（列）變換相當(dāng)于左（右）乘相應(yīng)的初等矩陣 （2）初等矩陣均為可逆矩陣，且Eij-1=Eij（i，j兩行互換）；Ei-1（c）=Ei（1/c）（第i行（列）乘c） Eij-1（k）=Eij（-k）（第i行乘k加到j(luò)） （四）矩陣的秩 9、秩的定義：非零子式的最高階數(shù) 注：（1）r（A）=0意味著所有元素為0，即A=O （2）r（Ann）=

6、n（滿秩） |A|0 A可逆；r（A）n|A|=0A不可逆；（3）r（A）=r（r=1、2、n-1）r階子式非零且所有r+1子式均為0。 10、秩的性質(zhì)：（7條） （1）A為mn階矩陣，則r（A）min（m,n） （2）r（AB）r（A）（B） （3）r（AB）minr（A），r（B） （4）r（kA）=r（A）（k0） （5）r（A）=r（AC）（C是一個可逆矩陣） （6）r（A）=r（AT）=r（ATA）=r（AAT） （7）設(shè)A是mn階矩陣，B是ns矩陣，AB=O，則r（A）+r（B）n 11、秩的求法： （1）A為抽象矩陣：由定義或性質(zhì)求解；（2）A為數(shù)字矩陣：A初等行變換階梯型（每行

7、第一個非零元素下面的元素均為0），則r（A）=非零行的行數(shù) （五）伴隨矩陣 12、伴隨矩陣的性質(zhì)：（8條） （1）AA*=A*A=|A|E A*=|A|A-1 （2）（kA）*=kn-1A* （3）（AB）*=B*A* （4）|A*|=|A|n-1 （5）（AT）*=（A*）T （6）（A-1）*=（A*）-1=A|A|-1 （7）（A*）*=|A| n-2A （8）r（A*）=n （r（A）=n）；r（A*）=1 （r（A）=n-1）；r（A*）=0 （r（A）n-1） （六）分塊矩陣 13、分塊矩陣的乘法：要求前列后行分法相同。 14、分塊矩陣求逆： 3 向量 （一）向量的概念及運(yùn)算 1、

8、向量的內(nèi)積：（，）=T=T 2、長度定義： |= 3、正交定義：（，）=T=T=a1b1+a2b2+anbn=0 4、正交矩陣的定義：A為n階矩陣，AAT=E A-1=AT ATA=E |A|=1 （二）線性組合和線性表示 5、線性表示的充要條件： 非零列向量可由1，2，s線性表示 (1)非齊次線性方程組（1，2，s）（x1，x2，xs）T=有解。 (2)r（1，2，s）=r（1，2，s，）（系數(shù)矩陣的秩等于增廣矩陣的秩，用于大題第一步的檢驗） 6、線性表示的充分條件：（了解即可） 若1，2，s線性無關(guān)，1，2，s，線性相關(guān)，則可由1，2，s線性表示。 7、線性表示的求法：（大題第二步） 設(shè)1

9、，2，s線性無關(guān)，可由其線性表示。 （1，2，s|）初等行變換（行最簡形|系數(shù)） 行最簡形：每行第一個非0的數(shù)為1，其余元素均為0 （三）線性相關(guān)和線性無關(guān) 8、線性相關(guān)注意事項： （1）線性相關(guān)=0 （2）1，2線性相關(guān)1，2成比例 9、線性相關(guān)的充要條件： 向量組1，2，s線性相關(guān) （1）有個向量可由其余向量線性表示；（2）齊次方程（1，2，s）（x1，x2，xs）T=0有非零解；（3）r（1，2，s）s 即秩小于個數(shù) 特別地，n個n維列向量1，2，n線性相關(guān) （1） r（1，2，n）n （2）|1，2，n |=0 （3）（1，2，n）不可逆 10、線性相關(guān)的充分條件： （1）向量組含有零

10、向量或成比例的向量必相關(guān) （2）部分相關(guān)，則整體相關(guān) （3）高維相關(guān)，則低維相關(guān) （4）以少表多，多必相關(guān) 推論：n+1個n維向量一定線性相關(guān) 11、線性無關(guān)的充要條件 向量組1，2，s 線性無關(guān) （1）任意向量均不能由其余向量線性表示；（2）齊次方程（1，2，s）（x1，x2，xs）T=0只有零解 （3）r（1，2，s）=s 特別地，n個n維向量1，2，n 線性無關(guān) r（1，2，n）=n |1，2，n |0 矩陣可逆 12、線性無關(guān)的充分條件： （1）整體無關(guān)，部分無關(guān) （2）低維無關(guān)，高維無關(guān) （3）正交的非零向量組線性無關(guān) （4）不同特征值的特征向量無關(guān) 13、線性相關(guān)、線性無關(guān)判定 （

11、1）定義法 （2）秩：若小于階數(shù)，線性相關(guān)；若等于階數(shù)，線性無關(guān) 【專業(yè)知識補(bǔ)充】 （1）在矩陣左邊乘列滿秩矩陣（秩=列數(shù)），矩陣的秩不變；在矩陣右邊乘行滿秩矩陣，矩陣的秩不變。 （2）若n維列向量1，2，3 線性無關(guān)，1，2，3 可以由其線性表示，即（1，2，3）=（1，2，3）C，則r（1，2，3）=r（C），從而線性無關(guān)。 r（1，2，3）=3 r（C）=3 |C|0 （四）極大線性無關(guān)組與向量組的秩 14、極大線性無關(guān)組不唯一 15、向量組的秩:極大無關(guān)組中向量的個數(shù)成為向量組的秩 對比：矩陣的秩:非零子式的最高階數(shù) 注:向量組1，2，s 的秩與矩陣A=（1，2，s）的秩相等 16、極

12、大線性無關(guān)組的求法 （1）1，2，s 為抽象的：定義法 （2）1，2，s 為數(shù)字的： （1，2，s）初等行變換階梯型矩陣 則每行第一個非零的數(shù)對應(yīng)的列向量構(gòu)成極大無關(guān)組 （五）向量空間 17、基（就是極大線性無關(guān)組）變換公式： 若1，2，n 與1，2，n 是n維向量空間V的兩組基，則基變換公式為（1，2，n）=（1，2，n）Cnn 其中，C是從基1，2，n 到1，2，n 的過渡矩陣。 C=（1，2，n）-1（1，2，n） 18、坐標(biāo)變換公式： 向量在基1，2，n與基1，2，n 的坐標(biāo)分別為x=（x1，x2，xn）T，y=（y1，y2，yn）T，即=x11 + x22 + +xnn =y11 +

13、 y22 + +ynn，則坐標(biāo)變換公式為x=Cy或y=C-1x。其中，C是從基1，2，n 到1，2，n 的過渡矩陣。C=（1，2，n）-1（1，2，n） （六）Schmidt正交化 19、Schmidt正交化 設(shè)1，2，3 線性無關(guān) （1）正交化 令1=1 （2）單位化 4 線性方程組 （一）方程組的表達(dá)形與解向量 1、解的形式： (1)一般形式 (2)矩陣形式：Ax=b；(3)向量形式：A=（1，2，n） 2、解的定義： 若=（c1，c2，cn）T滿足方程組Ax=b，即A=b，稱是Ax=b的一個解（向量） （二）解的判定與性質(zhì) 3、齊次方程組： （1）只有零解r（A）=n（n為A的列數(shù)或是未

14、知數(shù)x的個數(shù)） （2）有非零解r（A）n 4、非齊次方程組： （1）無解r（A）r（A|b）r（A）=r（A）-1 （2）唯一解r（A）=r（A|b）=n （3）無窮多解r（A）=r（A|b）n 5、解的性質(zhì)： （1）若1，2是Ax=0的解，則k11+k22是Ax=0的解 （2）若是Ax=0的解，是Ax=b的解，則+是Ax=b的解 （3）若1，2是Ax=b的解，則1-2是Ax=0的解 【推廣】 （1）設(shè)1，2，s是Ax=b的解，則k11+k22+kss為 Ax=b的解 （當(dāng)ki=1） Ax=0的解 （當(dāng)ki=0） （2）設(shè)1，2，s是Ax=b的s個線性無關(guān)的解，則2-1，3-1，s-1為Ax=

15、0的s-1個線性無關(guān)的解。 變式：1-2，3-2，s-2 2-1，3-2，s-s-1 （三）基礎(chǔ)解系 6、基礎(chǔ)解系定義： （1）1，2，s 是Ax=0的解 （2）1，2，s 線性相關(guān) （3）Ax=0的所有解均可由其線性表示 基礎(chǔ)解系即所有解的極大無關(guān)組 注：基礎(chǔ)解系不唯一。 任意n-r（A）個線性無關(guān)的解均可作為基礎(chǔ)解系。 7、重要結(jié)論：（證明也很重要） 設(shè)A施mn階矩陣，B是ns階矩陣，AB=O （1）B的列向量均為方程Ax=0的解 （2）r（A）+r（B）n（第2章，秩） 8、總結(jié)：基礎(chǔ)解系的求法 （1）A為抽象的：由定義或性質(zhì)湊n-r（A）個線性無關(guān)的解 （2）A為數(shù)字的：A初等行變換階

16、梯型 自由未知量分別取1,0,0；0,1,0；0,0,1；代入解得非自由未知量得到基礎(chǔ)解系 （四）解的結(jié)構(gòu)（通解） 9、齊次線性方程組的通解（所有解） 設(shè)r（A）=r，1，2，n-r 為Ax=0的基礎(chǔ)解系， 則Ax=0的通解為k11+k22+kn-rn-r （其中k1，k2，kn-r為任意常數(shù)） 10、非齊次線性方程組的通解 設(shè)r（A）=r，1，2，n-r 為Ax=0的基礎(chǔ)解系，為Ax=b的特解， 則Ax=b的通解為+ k11+k22+kn-rn-r （其中k1，k2，kn-r為任意常數(shù)） （五）公共解與同解 11、公共解定義： 如果既是方程組Ax=0的解，又是方程組Bx=0的解，則稱為其公共

17、解 12、非零公共解的充要條件： 方程組Ax=0與Bx=0有非零公共解 有非零解 13、重要結(jié)論（需要掌握證明） （1）設(shè)A是mn階矩陣，則齊次方程ATAx=0與Ax=0同解，r（ATA）=r（A） （2）設(shè)A是mn階矩陣，r（A）=n，B是ns階矩陣，則齊次方程ABx=0與Bx=0同解，r（AB）=r（B） 5 特征值與特征向量 （一）矩陣的特征值與特征向量 1、特征值、特征向量的定義： 設(shè)A為n階矩陣，如果存在數(shù)及非零列向量，使得A=，稱是矩陣A屬于特征值的特征向量。 2、特征多項式、特征方程的定義： |E-A|稱為矩陣A的特征多項式（的n次多項式）。 |E-A |=0稱為矩陣A的特征方程

18、（的n次方程）。 注:特征方程可以寫為|A-E|=0 3、重要結(jié)論： （1）若為齊次方程Ax=0的非零解，則A=0，即為矩陣A特征值=0的特征向量 （2）A的各行元素和為k，則(1，1，1)T為特征值為k的特征向量。 （3）上（下）三角或主對角的矩陣的特征值為主對角線各元素。 4、總結(jié)：特征值與特征向量的求法 （1）A為抽象的：由定義或性質(zhì)湊 （2）A為數(shù)字的：由特征方程法求解 5、特征方程法： （1）解特征方程|E-A|=0，得矩陣A的n個特征值1，2，n 注：n次方程必須有n個根(可有多重根，寫作1=2=s=實數(shù)，不能省略) （2）解齊次方程（iE-A）=0，得屬于特征值i的線性無關(guān)的特征

19、向量，即其基礎(chǔ)解系（共n-r（iE-A）個解） 6、性質(zhì)： （1）不同特征值的特征向量線性無關(guān) （2）k重特征值最多k個線性無關(guān)的特征向量 1n-r（iE-A）ki （3）設(shè)A的特征值為1，2，n，則|A|=i，i=aii （4）當(dāng)r（A）=1，即A=T，其中，均為n維非零列向量，則A的特征值為1=aii=T=T，2=n=0 （5）設(shè)是矩陣A屬于特征值的特征向量，則 A f（A） AT A-1 A* P-1AP（相似） f（） -1 |A|-1 / P-1 （二）相似矩陣 7、相似矩陣的定義： 設(shè)A、B均為n階矩陣，如果存在可逆矩陣P使得B=P-1AP，稱A與B相似，記作AB 8、相似矩陣的性

20、質(zhì) （1）若A與B相似，則f（A）與f（B）相似 （2）若A與B相似，B與C相似，則A與C相似 （3）相似矩陣有相同的行列式、秩、特征多項式、特征方程、特征值、跡（即主對角線元素之和） 【推廣】 （4）若A與B相似，則AB與BA相似，AT與BT相似，A-1與B-1相似，A*與B*也相似 （三）矩陣的相似對角化 9、相似對角化定義： 如果A與對角矩陣相似，即存在可逆矩陣P，使得P-1AP= ， 稱A可相似對角化。 注：Ai=ii（i0，由于P可逆），故P的每一列均為矩陣A的特征值i的特征向量 10、相似對角化的充要條件 （1）A有n個線性無關(guān)的特征向量 （2）A的k重特征值有k個線性無關(guān)的特征向

21、量 11、相似對角化的充分條件： （1）A有n個不同的特征值（不同特征值的特征向量線性無關(guān)） （2）A為實對稱矩陣 12、重要結(jié)論： （1）若A可相似對角化，則r（A）為非零特征值的個數(shù)，n-r（A）為零特征值的個數(shù) （2）若A不可相似對角化，r（A）不一定為非零特征值的個數(shù) （四）實對稱矩陣 13、性質(zhì) （1）特征值全為實數(shù) （2）不同特征值的特征向量正交 （3）A可相似對角化，即存在可逆矩陣P使得P-1AP= （4）A可正交相似對角化，即存在正交矩陣Q，使得Q-1AQ=QTAQ= 6 二次型 （一）二次型及其標(biāo)準(zhǔn)形 1、二次型： （1）一般形式 （2）矩陣形式（常用） 2、標(biāo)準(zhǔn)形： 如果二

22、次型只含平方項，即f（x1，x2，xn）=d1x12+d2x22+dnxn2 這樣的二次型稱為標(biāo)準(zhǔn)形（對角線） 3、二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形的方法： （1）配方法： 通過可逆線性變換x=Cy（C可逆），將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形。其中，可逆線性變換及標(biāo)準(zhǔn)形通過先配方再換元得到。 （2）正交變換法： 通過正交變換x=Qy，將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形1y12+2y22+nyn2 其中，1，2，n 是A的n個特征值，Q為A的正交矩陣 注:正交矩陣Q不唯一，i與i 對應(yīng)即可。 （二）慣性定理及規(guī)范形 4、定義： 正慣性指數(shù)：標(biāo)準(zhǔn)形中正平方項的個數(shù)稱為正慣性指數(shù)，記為p；負(fù)慣性指數(shù)：標(biāo)準(zhǔn)形中負(fù)平方項的個數(shù)稱為負(fù)慣性指數(shù)，記為q；規(guī)范形：f=z12+zp2-zp+12-zp+q2稱為二次型的規(guī)范形。 5、慣性定理： 二次型無論選取怎樣的可逆線性變換為標(biāo)準(zhǔn)形，其正負(fù)慣性指數(shù)不變。 注：（1）由于正負(fù)慣性指數(shù)不變，所以規(guī)范形唯一。 （2）p=正特征值的個數(shù)，q=負(fù)特征值的個數(shù)，p+q=非零特征值的個數(shù)=r（A） （三）合同矩陣 6、定義： A、B均為n階實對稱矩陣，若存在可逆矩