4.5常見曲面的參數(shù)方程

1、 -4.5 常見曲面的參數(shù)方程本節(jié)重點：掌握空間中的三種坐標(biāo)系：直角坐標(biāo)系、球坐標(biāo)系、柱坐標(biāo)系。掌握旋轉(zhuǎn)曲面的參數(shù)方程的建立。掌握直紋面的參數(shù)方程。本節(jié)難點：旋轉(zhuǎn)曲面的參數(shù)方程。直紋面的參數(shù)方程。在第二章中，我們已經(jīng)引進(jìn)一般曲面與曲線的參數(shù)方程的概念、并給出簡單曲面與曲線的參數(shù)表示，例如球面與圓柱螺旋線，直線的參數(shù)方程?，F(xiàn)在再介紹旋轉(zhuǎn)曲面、直紋面的參數(shù)方程，同時給出空間中另外兩種坐標(biāo)系：球坐標(biāo)系與柱坐標(biāo)系。一旋轉(zhuǎn)曲面的參數(shù)方程，球坐標(biāo)與柱坐標(biāo)設(shè)旋轉(zhuǎn)曲面的軸為Z 軸，母線 的參數(shù)方程是( , , )則此旋轉(zhuǎn)曲面可由 上每一點生成的緯圓所構(gòu)成的。由于這緯圓上動點 P X Y Z 與它在坐標(biāo)面上的投

2、影 ,X YP (X ,Y ,Z )具有一樣的坐標(biāo)，所以 上任一點生成的緯圓XOYP1111的參數(shù)方程是其中是緯圓半徑，即 到 Z 軸的距離，而參數(shù) 是 X 軸到的轉(zhuǎn)角。設(shè) 對X21Y21P1OPP11應(yīng)的參數(shù)是，則t1再讓在其取值范圍內(nèi)變動，即得這旋轉(zhuǎn)曲面的參數(shù)方程t1X ( f (t) (g(t)cos22 a t b ( f (t) (g(t) sin Y220 2Z h(t)特別地，當(dāng)母線 P 為坐標(biāo)面上的徑線XOZ時,成為(t) cos X f t b a f (t) sin Y0 2Z h(t)例、 如圖，以原點為中心，為半徑的球面可看作是由坐標(biāo)面上的半圓 ，aXOZrX acos

3、0Z asinY 繞 Z 軸旋轉(zhuǎn)所生成的，由()得其22參數(shù)方程為coscos X at acossin Y220 2Z asin它與2.1 中的球面參數(shù)方程的形式是一樣的。()中的參數(shù)分別叫做經(jīng)度與緯度，序?qū)?,)叫做地理坐標(biāo)。顯然，除兩極外，球面上.z. -的點與序?qū)σ灰粚?yīng)。這種利用曲面參數(shù)方程中的兩個參數(shù)來表示曲面P(X ,Y,Z)(,)上的點的坐標(biāo)叫做曲紋坐標(biāo)，它對于曲面理論的進(jìn)一步研究有著重要的作用。利用球面的這種曲紋坐標(biāo)還可以引入空間的另一種坐標(biāo)系。設(shè) P 為空間任意一點，它到原點的距離為 ，過 P 作以原點為中心，以 為半徑的球面，則 P 在這球面上具有地理坐rr標(biāo),，可令點

4、P 對應(yīng)有序數(shù)組r( ,)；反之，由非負(fù)實數(shù) 可確定 P 所在的球面，再由r(,)PZ在這球面上確定 點?？臻g中點的這種坐標(biāo)叫做球坐標(biāo)。顯然， 軸上點的球坐標(biāo)可取任意值。把()中的常數(shù) 換為變數(shù) ，就成為球坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的變換式，即arX rcos cos r 0 r cossin 0 2 YZ r sin t 22 反之，有r X Y Z222XXcos sin (4.5.5)X2 Y2X 2 Y2Z arcsinX2 Y2 Z2 0XOY( ,)r即可確定。這里r( ,)當(dāng)時， =0，于是，對坐標(biāo)面上的點，只需序?qū)Σ籞是別的，正是大家熟知的極坐標(biāo)。這時原點是極點， X 軸是極軸，因此，球坐

5、標(biāo)可以看作是平面極坐標(biāo)在空間中的一種推廣。例、如圖 4-17，以 軸為對稱軸，半徑為 的圓柱面可看作是由坐標(biāo)面上的直線 ：ZaXOZX a Y 0 Z t ，圖 417繞 軸旋轉(zhuǎn)所生成的。由(4)得其參數(shù)方程為ZX acos 0 2 asin 4 Y t Z t,t( ,t)利用參數(shù) 可得圓柱面上的一種曲紋坐標(biāo) ，從而我們可引入空間的又一種坐標(biāo)系。設(shè) 為空間任意一點，它到 軸的距離為 ，過 作以 軸為軸，半徑為 r 的圓柱面，則PZPZPr,tP(r, ,t)在這圓柱面上具有曲紋坐標(biāo) ，可令 對應(yīng)有序數(shù)組；反之，由非負(fù)實數(shù) 可確r定 所在的圓柱面，再由 在這圓柱面上確定 點?？臻g中點的這種坐標(biāo)

6、叫做柱坐標(biāo)。P( ,t)P.z. -與球坐標(biāo)一樣， 軸上點的柱坐標(biāo)可取任意值。Z把(4)中的常數(shù) 換為變數(shù) ，即得柱坐標(biāo)與直角坐標(biāo)間的關(guān)系式arcosr 00 2 4 Y反之，有r Xcos 22XXsin X22X 22 0 時，t 0 ，從而XOY(r, )當(dāng) Zr例如在柱坐標(biāo)系下，坐標(biāo)曲面， r r| r |常數(shù)是以 軸為軸，半徑等于Z00面；坐標(biāo)曲面 0，則軌跡為半平面； 常數(shù)是過 軸的平面假設(shè)限定rZ00常數(shù)是平行于 XOY 面的平面。顯然， 坐標(biāo)曲線可看作是兩個不同類的坐標(biāo)曲面的交線，如坐標(biāo)曲線r r， 叫做 線是圓柱面Z Z與的XOY0000交線，因而是位于平面Z ZZ00在不同

7、坐標(biāo)系下，同一方程可能表示不同的圖形。例如方程r r，在球坐標(biāo)系下表示的是0。22222二直紋面的參數(shù)方程因為直紋面的母線是直線，所以其參數(shù)方程為 mVYZ nV其中V 是這直線上點的參數(shù)。只因為直紋面是一族單參數(shù)直線構(gòu)成的，族中母線是隨著一個參數(shù)U 而變動的，即l m n 均為U 的函數(shù)，所以這直母線族方程可以寫成.z. -( ) ( ) X U l U V( ) U m U V( )()Y ( ) ( )Z U n U V其中U 為族的參數(shù)，一個U 值對應(yīng)族中一條直母線。當(dāng)曲面看作是運(yùn)點軌跡時，就是由所有母線上的點構(gòu)成的，故()即為它的方程。令V 0是，得直紋面上一曲線X (U),Y (U

8、),Z (U)。它與所有的母線都有公共點，可稱為直紋面的導(dǎo)線。特別地，當(dāng)l(U),m(U),n(U) 分別為常數(shù)l,m,n即母線互相平行時，直紋面()為柱面( ) X U lV( ) U mV()Y ( )Z U nV( ),( ), ( ),而當(dāng) UUU 分別為常數(shù)即導(dǎo)線只含一點時，直紋面()為錐面() X lV mVYZ nV( , , )平面可以看作以直線為導(dǎo)線的柱面。設(shè)一個平面通過定點P X Y Z平行于兩個不0000 , , , , , 共線向量 abP0，我們以 a 為方向向量，過 引一直線111222 , , X U Y U Z U 為導(dǎo)線，以 b 為母線的共同的方向向量，則由0

9、10101()得到平面的參數(shù)方程X X U V012() Y U VY012X X U V012 Y Z 1 0 X Y 3 0X Y Z例、求以直線 X，為導(dǎo)線，母線平行于直線的柱面的參數(shù)方程。解：將導(dǎo)線方程改寫成并取 為參數(shù)，得導(dǎo)線的參數(shù)方程為再將它和l 1,m 1,n 1一同代入()使得所求柱面的參數(shù)方程為顯然,這柱面是個平面。習(xí)題 4、求以下曲線按指定軸旋轉(zhuǎn)生成的曲面的參數(shù)方程：.z. -(1)(2) 繞 Z 軸旋轉(zhuǎn)XX3 sin t, Y 4 sin t, Z t cost (0 t )2t, Y t, Z 3t X繞 軸旋轉(zhuǎn)。、徑線的參數(shù)方程與旋轉(zhuǎn)軸，寫出旋轉(zhuǎn)曲面的參數(shù)方程,X t Y0,Z12 繞 軸旋轉(zhuǎn)(1)(2)tZX t, Y sin t,Z 0繞 X 軸旋轉(zhuǎn)。X2Y 2、一錐面以(0,0,3)為頂點，以橢圓1,Z 為導(dǎo)線，試求其參數(shù)方程。125 16、利用直母線的方程，求單葉雙曲面與雙曲拋物面的參數(shù)方程。2X YZ 、設(shè)以 為參數(shù)的一族直線，