智愛高中數(shù)學(xué) 放縮法(詳解)

1、智愛高中數(shù)學(xué) 放縮技巧放縮法：將不等式一側(cè)適當(dāng)?shù)姆糯蠡蚩s小以達(dá)證題目的的方法，叫放縮法。放縮法的方法有：添加或舍去一些項(xiàng)，如：；將分子或分母放大或縮小利用根本不等式，如：；利用常用結(jié)論：、；、 ； 程度大、 ； 程度小a, b, c, dR+，求證：【巧證】：記m = a, b, c, dR+ 1 m 2 時(shí)，求證：【巧證】：n 2 n 2時(shí), 3.求證： 【巧證】：巧練一：設(shè)x 0, y 0, ，求證：a b巧練一：【巧證】：巧練二：求證：lg9lg11 b c, 那么巧練四： 【巧證】： 巧練五：巧練五：【巧證】：左邊巧練六：巧練六：【巧證】： 巧練七：a, b, c 0, 且a2 + b

2、2 = c2，求證：an + bn 0, 證明數(shù)列型不等式，因其思維跨度大、構(gòu)造性強(qiáng)，需要有較高的放縮技巧而充滿思考性和挑戰(zhàn)性，能全面而綜合地考查知識(shí)的潛能與后繼能力，因而成為壓軸題及各級各類競賽試題命題的極好素材。這類問題的求解策略往往是：通過多角度觀察所給數(shù)列通項(xiàng)的結(jié)構(gòu)，深入剖析其特征，抓住其規(guī)律進(jìn)行恰當(dāng)?shù)胤趴s；其放縮技巧主要有以下幾種：裂項(xiàng)放縮1.(1)求的值; (2)求證:.解析:(1)因?yàn)?所以 (2)因?yàn)?所以奇巧積累:(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12) (13) (14) (15) 2. 證明:解析: 運(yùn)用兩次次分

3、式放縮: (加1) (加2) 相乘,可以得到: 所以有 (1)求證: (2)求證: (3)求證: (4) 求證：解析:(1)因?yàn)?所以 (2) (3)先運(yùn)用分式放縮法證明出,再結(jié)合進(jìn)行裂項(xiàng),最后就可以得到答案 (4)首先,所以容易經(jīng)過裂項(xiàng)得到再證而由均值不等式知道這是顯然成立的，所以3.求證:解析:一方面:因?yàn)?所以 另一方面: 當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),所以綜上有4.設(shè)函數(shù).數(shù)列滿足.設(shè)，整數(shù).證明:.解析:由數(shù)學(xué)歸納法可以證明是遞增數(shù)列,故存在正整數(shù),使,那么,否那么假設(shè),那么由知,因?yàn)?于是5.,求證: .解析:首先可以證明:所以要證 只要證: 故只要證,即等價(jià)于,即等價(jià)于而正是成立的,所以原命

4、題成立.,求證:.解析:所以 從而7.,求證:證明: ,因?yàn)?,所以 所以 二、函數(shù)放縮 8.求證：. 解析:先構(gòu)造函數(shù)有,從而因?yàn)?所以 9.求證:(1) 解析:構(gòu)造函數(shù),得到,再進(jìn)行裂項(xiàng),求和后可以得到答案 函數(shù)構(gòu)造形式: ,10.求證:解析:提示:函數(shù)構(gòu)造形式: 當(dāng)然此題的證明還可以運(yùn)用積分放縮 如圖,取函數(shù),首先:,從而,取有,所以有,相加后可以得到: 另一方面,從而有取有,所以有,所以綜上有11.求證:和.解析:構(gòu)造函數(shù)后即可證明12.求證: 解析:,疊加之后就可以得到答案 函數(shù)構(gòu)造形式:(加強(qiáng)命題) 13.證明: 解析:構(gòu)造函數(shù),求導(dǎo),可以得到: ,令有,令有, 所以,所以,令有,

5、 所以,所以14. 證明.解析: ,然后兩邊取自然對數(shù),可以得到然后運(yùn)用和裂項(xiàng)可以得到答案)放縮思路：。于是， 即注：題目所給條件為一有用結(jié)論，可以起到提醒思路與探索放縮方向的作用；當(dāng)然，此題還可用結(jié)論來放縮： ，即15. 函數(shù)是在上處處可導(dǎo)的函數(shù),假設(shè)在上恒成立. ( = 1 * ROMAN I)求證：函數(shù)上是增函數(shù)； ( = 2 * ROMAN II)當(dāng)； ( = 3 * ROMAN III)不等式時(shí)恒成立， 求證：解析:( = 1 * ROMAN I),所以函數(shù)上是增函數(shù) ( = 2 * ROMAN II)因?yàn)樯鲜窃龊瘮?shù),所以 兩式相加后可以得到 (3) 相加后可以得到: 所以 令,有

6、所以 (方法二) 所以 又,所以16.函數(shù)假設(shè) 解析:設(shè)函數(shù) 函數(shù)上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.的最小值為，即總有而即令那么 三、分式放縮 不等式:和 記憶口訣小者小,大者大 解釋:看b,假設(shè)b小,那么不等號是小于號,反之.17.不等式:和也可以表示成為和解析: 利用假分?jǐn)?shù)的一個(gè)性質(zhì)可得 即18.證明:解析: 運(yùn)用兩次次分式放縮: (加1) (加2) 相乘,可以得到: 所以有四、分類放縮19.求證: 解析: 20. 在平面直角坐標(biāo)系中, 軸正半軸上的點(diǎn)列與曲線0上的點(diǎn)列滿足，直線在x軸上的截距為.點(diǎn)的橫坐標(biāo)為,.(1)證明4，; (2)證明有，使得對都有. 解析:(1) 依題設(shè)有：，由得： ,又直

7、線在軸上的截距為滿足 顯然，對于，有 (2)證明：設(shè)，那么 設(shè)，那么當(dāng)時(shí)，。所以，取，對都有：故有成立。21.函數(shù)，假設(shè)的定義域?yàn)?，0，值域也為1，0.假設(shè)數(shù)列滿足，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，問是否存在正常數(shù)A，使得對于任意正整數(shù)都有？并證明你的結(jié)論。解析:首先求出,故當(dāng)時(shí),因此，對任何常數(shù)A，設(shè)是不小于A的最小正整數(shù)，那么當(dāng)時(shí),必有.故不存在常數(shù)A使對所有的正整數(shù)恒成立.22.設(shè)不等式組表示的平面區(qū)域?yàn)?設(shè)內(nèi)整數(shù)坐標(biāo)點(diǎn)的個(gè)數(shù)為.設(shè),當(dāng)時(shí),求證:. 解析:容易得到,所以,要證只要證,因?yàn)?所以原命題得證.五、迭代放縮23. ,求證:當(dāng)時(shí), 解析:通過迭代的方法得到,然后相加就可以得到結(jié)論24. 設(shè),

8、求證:對任意的正整數(shù)k,假設(shè)kn恒有:|Sn+kSn|0,b0,求證：解析: 因?yàn)閍+b=1,a0,b0,可認(rèn)為成等差數(shù)列，設(shè)，從而 45.設(shè)，求證.解析: 觀察的結(jié)構(gòu)，注意到，展開得，即，得證.46.求證:. 解析:參見上面的方法,希望自己嘗試! 47.函數(shù)，滿足：對任意，都有；對任意都有.I試證明：為上的單調(diào)增函數(shù)；II求；III令，試證明：.解析:此題的亮點(diǎn)很多,是一道考查能力的好題.(1)運(yùn)用抽象函數(shù)的性質(zhì)判斷單調(diào)性:因?yàn)?所以可以得到,也就是,不妨設(shè),所以,可以得到,也就是說為上的單調(diào)增函數(shù).(2)此問的難度較大,要完全解決出來需要一定的能力!首先我們發(fā)現(xiàn)條件不是很足,嘗試探索看看按

9、(1)中的不等式可以不可以得到什么結(jié)論,一發(fā)現(xiàn)就有思路了! 由(1)可知,令,那么可以得到 ,又,所以由不等式可以得到,又,所以可以得到 接下來要運(yùn)用迭代的思想: 因?yàn)?所以, ,在此比擬有技巧的方法就是: ,所以可以判斷 當(dāng)然,在這里可能不容易一下子發(fā)現(xiàn)這個(gè)結(jié)論,所以還可以列項(xiàng)的方法,把所有項(xiàng)數(shù)盡可能地列出來,然后就可以得到結(jié)論. 所以,綜合有= (3)在解決的通項(xiàng)公式時(shí)也會(huì)遇到困難. ,所以數(shù)列的方程為,從而, 一方面,另一方面 所以,所以,綜上有.48. 函數(shù)fx的定義域?yàn)?,1，且滿足以下條件： 對于任意0,1，總有，且； 假設(shè)那么有求f0的值；求證：fx4；當(dāng)時(shí)，試證明：.解析: 解

10、：令，由對于任意0,1，總有， 又由得即 解：任取且設(shè) 那么 因?yàn)?，所以，?. 當(dāng)0,1時(shí)，. 證明：先用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)n=1時(shí)，不等式成立；假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，由 得即當(dāng)n=k+1時(shí)，不等式成立由1、2可知，不等式對一切正整數(shù)都成立.于是，當(dāng)時(shí)，而0,1，單調(diào)遞增 所以， 49. ： 求證：解析:構(gòu)造對偶式：令 那么 又 十一、積分放縮利用定積分的保號性比大小 保號性是指，定義在上的可積函數(shù)，那么.50.求證：.解析: ， 時(shí)，. 利用定積分估計(jì)和式的上下界定積分產(chǎn)生和應(yīng)用的一個(gè)主要背景是計(jì)算曲邊梯形的面積，現(xiàn)在用它來估計(jì)小矩形的面積和.51. 求證：，.解析: 考慮函數(shù)在區(qū)間上的定積分.

11、如圖，顯然-對求和，.52. .求證：.解析:考慮函數(shù)在區(qū)間上的定積分.-.53.設(shè)，如圖，直線及曲線：，上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)為.從上的點(diǎn)作直線平行于軸，交直線于點(diǎn)，再從點(diǎn)作直線平行于軸，交曲線于點(diǎn).的橫坐標(biāo)構(gòu)成數(shù)列.試求與的關(guān)系，并求的通項(xiàng)公式； 當(dāng)時(shí)，證明； 當(dāng)時(shí)，證明.解析:過程略.證明II：由知，.當(dāng)時(shí)，.證明：由知.恰表示陰影局部面積，顯然 .奇巧積累: 將定積分構(gòu)建的不等式略加改造即得“初等證明，如：；. 十二、局部放縮(尾式放縮) 54.求證: 解析: 55. 設(shè)求證：解析: 又只將其中一個(gè)變成，進(jìn)行局部放縮，于是56.設(shè)數(shù)列滿足，當(dāng)時(shí)證明對所有 有；解析: 用數(shù)學(xué)歸納法：當(dāng)時(shí)顯然成立

12、，假設(shè)當(dāng)時(shí)成立即，那么當(dāng)時(shí)，成立。 利用上述局部放縮的結(jié)論來放縮通項(xiàng)，可得 注：上述證明用到局部放縮，當(dāng)然根據(jù)不等式的性質(zhì)也可以整體放縮：；證明就直接使用了局部放縮的結(jié)論十三、三角不等式的放縮57.求證:. 解析:(i)當(dāng)時(shí), (ii)當(dāng)時(shí),構(gòu)造單位圓,如下圖: 因?yàn)槿切蜛OB的面積小于扇形OAB的面積 所以可以得到 當(dāng)時(shí) 所以當(dāng)時(shí)有 (iii)當(dāng)時(shí), ,由(ii)可知: 所以綜上有十四、使用加強(qiáng)命題法證明不等式 (i)同側(cè)加強(qiáng),只要證明,其中通過尋找分析,歸納完成.58.求證:對一切,都有.解析: 從而 當(dāng)然此題還可以使用其他方法,如: 所以. (ii)異側(cè)加強(qiáng)(數(shù)學(xué)歸納法) (iii)雙

13、向加強(qiáng) 有些不等式,往往是某個(gè)一般性命題的特殊情況,這時(shí),不妨返璞歸真,通過雙向加強(qiáng)復(fù)原其本來面目,從而順利解決原不等式.其根本原理為: 欲證明,只要證明:.59.數(shù)列滿足:,求證: 解析: ,從而,所以有 ,所以 又,所以,所以有 所以 所以綜上有引申:數(shù)列滿足:,求證: .解析:由上可知,又,所以 從而 又當(dāng)時(shí),所以綜上有.引申:數(shù)列,.記,.求證:當(dāng)時(shí).(1); (2); (3).解析:(1),猜測,下面用數(shù)學(xué)歸納法證明: (i)當(dāng)時(shí),結(jié)論成立; (ii)假設(shè)當(dāng)時(shí),那么時(shí), 從而,所以 所以綜上有,故 (2)因?yàn)槟敲? ,相加后可以得到: ,所以,所以 (3)因?yàn)?從而,有,所以有 ,從而,所以,所以 所以綜上有. 60.數(shù)列的首項(xiàng), (1)證明:對任意的,; (2)證明:. 解析:(1)依題,容易得到,要證 ,即證即證,設(shè)所以即證明從而,即,這是顯然成立的.所以綜上有對任意的, (法二) ,原不等式成立 (2)由(1)知，對任意的，有取，那么 原不等式成立十四、經(jīng)典題目方法探究 探究1.函數(shù).假設(shè)在區(qū)間上的最小值為,令.求證:. 證明:首先:可以得到.先證明 (方法一) 所以 (方法二)因?yàn)?相乘得: ,從而.(方法三)設(shè)A=,B=,因?yàn)锳B,所以A21,