大學(xué)數(shù)學(xué)系列教材42線性方程組與向量組的線性相關(guān)性修改課件

1、 2、n 維向量的運(yùn)算 定義2.2 設(shè) n 維向量 1) = ,當(dāng)且僅當(dāng) ai= bi (i=1,2, ,n); 2) + = (a1+ b1, a2+ b2, , an+ bn); 3) k= (ka1, ka2, kan), 其中 k 是數(shù)量。 =(a1,a2,an); =(b1,b2,bn); 注：如上定義的向量加法和數(shù)乘的運(yùn)算統(tǒng)稱為向量的線性運(yùn)算。 牛牛文庫文檔分享 3、n 維向量的運(yùn)算律 設(shè) ， ， 為n維向量，k、l為實(shí)數(shù)，0為零向量。 1) + = + ; 2) + + = + ( + ); 3) + 0 = ; 4) + ( ) = 0; 5) 1 = ; 6) k ( l )

2、 =( k l ) ; 7) k ( + ) = k + k; 8) ( k + l ) = k + l. 牛牛文庫文檔分享 2.2 向量組的線性相關(guān)性 1、向量組 若干個(gè)同維數(shù)的列向量（或同維數(shù)的行向量）所組成的集合叫做向量組。用 A, B,C, I, II, III 等表示。 例如一個(gè) mn 矩陣 A 有n個(gè)m維列向量它們組成的向量組 1,2,n稱為矩陣A的列向量組。 牛牛文庫文檔分享 mn 矩陣A又有m個(gè)n維行向量i=( ai1, ai2, , ai n ), ( i=1,2,m ). 它們組成的行向量組1, 2, m稱為矩陣A的行向量組。 反之，由有限個(gè)向量所組成的向量組可以構(gòu)成一個(gè)矩

3、陣。例如： m個(gè)n維列向量所組成的向量組1,2,m構(gòu)成一個(gè)nm矩陣A=( 1,2,m ) ; 牛牛文庫文檔分享 m個(gè)n維行向量所組成向量組1, 2, m 構(gòu)成一個(gè)mn矩陣 我們前面學(xué)過的線性方程組又可以寫成矩陣的形式Ax = b,而且矩陣又可以寫成向量組的形式，所以方程組也可以寫成向量的形式x11 + x22 + + xnn = b , 由此可見，線性方程組與其增廣矩陣B（A,b）的列向量組1，2，m , b之間也有一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系。 牛牛文庫文檔分享 定義2.3 給定向量組A: 1,2,s ,對(duì)于任何一組實(shí)數(shù)k1, k2, ks ,向量 k11 + k22 + + kss 稱為向量組A的一個(gè)線

4、性組合, k1, k2, , ks稱為這個(gè)線性組合的系數(shù)。 2、線性組合與線性表示 給定向量組A: 1,2,s 和向量 b ,如果存在一組數(shù) 1 , 2 , , s, 使則向量 b 可以表示為向量組A的線性組合, 這時(shí)稱向量b能由向量組A 線性表示。 牛牛文庫文檔分享一組給定的向量組1 , 2 , , m 不是線性相關(guān)，就是線性無關(guān)。無關(guān)兩種等價(jià)的說法： 對(duì)于任何不全為零的數(shù)1，2， , m，總有 如果數(shù)1，2， , m，使 11 +22 + +mm=0，則只有1=2= =m=0。11 +22 + +mm0；定義2.4 給定向量組A: 1 , 2 , , s ,如果存在不全為零的數(shù) k1， k

5、2 ，. ， ks，使得 k11 + k22 + + kss = 0, 則稱向量組 A 是線性相關(guān)的，否則稱它線性無關(guān)。 牛牛文庫文檔分享 根據(jù)向量組線性相關(guān)的定義,若1 , 2 , , m線性相關(guān)，則存在一組不全為零的數(shù)1,2, , m，使11 +22 + +mm=0即齊次線性方程組x11 +x22 + +xmm=0 (2)有非零解xi= i (i=1,2,m)。反之，若方程組(2)有非零解，則向量組1 , 2 , , m線性相關(guān)。同理，向量組1 , 2 , , m線性無關(guān)的充分必要條件是齊次線性方程組 (2) 僅有零解。綜上所述，我們得出下面的定理。 定理2.1 向量組1 , 2 , ,

6、m線性相(無)關(guān)的充分必要條件是齊次線性方程組x11 +x22 + +xmm=0有(無)非零解。 推論2.1 向量組1 , 2 , , m線性相關(guān)的充分必要條件是它所構(gòu)成的矩陣A=(1 ,2 , , m)的秩小于向量的個(gè)數(shù)m；向量組線性無關(guān)的充分必要條件是R(A)=m。 牛牛文庫文檔分享 對(duì)于mn的矩陣A，由推論2.1可得 1） A=(1 ,2 , , n) 的列向量組線性無關(guān)的充分必要條件是A 列滿秩； 2） 的行向量組線性無關(guān)的充分必要條件是A行滿秩； 3）若m=n，則得方陣A的列（行）向量組線性無關(guān)的充分必要條件是A滿秩，即A為可逆矩陣。 牛牛文庫文檔分享 推論2.3 m n 時(shí)， m個(gè)

7、n維向量必線性相關(guān)。 證明 m個(gè)n維向量1 , 2 , , m構(gòu)成的矩陣Anm=(1 , 2 , ,m)，則 R(A) n。因?yàn)閚 m，所以R(A) m，故m個(gè)n維向量必線性相關(guān)。 推論2.2 n個(gè)n維向量線性無關(guān)的充分必要條件是由它們排成的n階行列式的值不為零。由此可得： 牛牛文庫文檔分享 例1 已知向量組1，2，3線性無關(guān)，試證向量組1=1+2, 2=2+3, 3=3+1也線性無關(guān)。 證明 設(shè)數(shù)1,2 ,3, 使1 1 +2 2 +3 3=0,即 ( 1+3) 1+ ( 1+2) 2+ ( 2+3) 3=0, 因?yàn)?，2，3 線性無關(guān)，由知必有 該方程組只有零解，即1=2 =3=0。由知1

8、，2，3 線性無關(guān)。 牛牛文庫文檔分享 例3 判斷下列向量組的線性相關(guān)性。 1) 1 = ( 1, 1, 1)T, 2 = ( 0, 2, 5 )T, 3= ( 1, 3, 6 )T； 2) 1 = ( 1, 0, 0, )T, 2 = ( 1, 2, 1 )T, 3 =( 1, 0, 1)T。 解 1）設(shè)有 x1, x2, x3 使 x11 + x22 + x33 = 0 （1）即 ( x1+x3 , x1+2x2+3x3 ,x1+ 5x2+6x3 ) = ( 0, 0, 0 )，亦即 牛牛文庫文檔分享由于 所以，方程組有非零解，即存在不全為零的 x1 , x2 , x3 使（1）成立。故向

9、量組1, 2, 3是線性相關(guān)的。2）設(shè)有x1, x2, x3 使x11 + x22 + x33 = 0 （2） 即 牛牛文庫文檔分享由于所以，方程組僅有零解。即只有當(dāng) x1, x2, x3 全為零時(shí)（2）成立。故向量組 1, 2, 3是線性無關(guān)的。 牛牛文庫文檔分享 3、向量組的線性相關(guān)與線性無關(guān)相關(guān)結(jié)論 1）一個(gè)向量 線性相關(guān)的充要條件是 0。 2）兩個(gè)向量線性相關(guān)的充要條件是它們對(duì)應(yīng)的分量成比例。兩個(gè)向量線性無關(guān)的充要條件是它們對(duì)應(yīng)的分量不成比例。 3）線性相關(guān)向量組的任何擴(kuò)大組必線性相關(guān)。即若向量組1 , 2 , , s線性相關(guān)，任意增加有限個(gè)同維數(shù)的向量s+1 ， s+2， , m所構(gòu)

10、成的新的向量組1 , 2 , , s， s+1 ， s+2， , m仍然線性相關(guān)。 一個(gè)向量 線性無關(guān)的充要條件是 0。 4)線性無關(guān)向量組的任何一個(gè)非空部分向量組仍線性無關(guān)。 牛牛文庫文檔分享 4、向量組等價(jià) 定義2.5 若向量組1,2,s中的每個(gè)向量都能由向量組1, 2, t 線性表示, 則稱向量組1,2,s能由向量組1, 2, t 線性表示。如果兩個(gè)向量組能互相線性表示, 則稱這兩個(gè)向量組等價(jià)。 若向量組1,2,s能由向量組1, 2, t 線性表示，向量組1, 2, t 又能向量組1,2 , p線性表示。則向量組1,2,s必能由向量組1,2 , p線性表示。這一結(jié)論稱為向量組線性表示的傳

11、遞性。 容易證明向量組的等價(jià)關(guān)系具有反身性、對(duì)稱性和傳遞性。 牛牛文庫文檔分享 定理2.2 向量組1 , 2 , , s(s2)線性相關(guān)的充分必要條件是該向量組中至少有一個(gè)向量能由其余的s-1個(gè)向量線性表示。 證明 必要性。由于1 , 2 , , s線性相關(guān)，必有s個(gè)不全為零的數(shù)1，2， ， s，使得11 +22 + + ss=0。由于1，2， ， s不全為零，不妨設(shè) s0，于是得即s能由1 , 2 , , s-1線性表示。 充分性。不妨設(shè)s可由其余的向量線性表示，即有s = 11 + 22 + + s-1s1，從而 11 + 22 + + s-1s-1 + (-1)s = 0， 因?yàn)?1，2

12、， ，s-1，-1 這 s 個(gè)數(shù)不全為零，故1， 2，s線性相關(guān)。 牛牛文庫文檔分享 定理2.3 設(shè)1 , 2 , , s 線性無關(guān)， 能由 1，2， ，s線性表示，則表示法是惟一的。 證明 設(shè)有兩個(gè)表示式 =11 + 22 + + ss， = k11 + k22 + + kss ，兩式相減，得（1k1)1 +(2k2)2 + + (s ks)s = 0， 因?yàn)?,2,s 線性無關(guān)，所以 iki = 0，即 i = ki ( i = 1, 2, , s ) 。故表示法是惟一的。 牛牛文庫文檔分享 定理2.4 設(shè) 1 ,2 ,s 線性無關(guān)，而 1,2，s ， 線性相關(guān)，則 能由 1,2,s惟一線

13、性表示。 證明 記A=(1 ,2 ,s)，B=(1,2,s , ) ,有R(A) R(B)。因?yàn)? ,2 , ,s 線性無關(guān),所以R(A) = s 。又因?yàn)?，2，s ， 線性相關(guān)，所以R(B) s +1。于是s R(B) s +1，即有R(B)= s，從而R(A) =R(B)= s。由定理1.1知線性方程組Ax=有解,故 能由1,2, ,s線性表示。由定理2.3知表示法是惟一的。 牛牛文庫文檔分享 定理2.5 設(shè) r 維向量組線性相關(guān),那末去掉每個(gè)向量的最后一個(gè)分量，所得的r-1維的向量組仍是線性相關(guān)。 牛牛文庫文檔分享 證明 記Ars=(1 , 2 , , s ), B(r-1)s=(1 , 2 , , s )，由于1 , 2 , , s 線性相關(guān)，知R(A) s，而顯然有R(B) R(A) ，故R(B)t，則向量組1,2,s必線性相關(guān)。 證明 記A=(1,2,s)，B=(1, 2, t )。由于向量組1,2,s可由1, 2, t 線性表示，即對(duì)每個(gè)i (1 is)，都有 t 個(gè)常數(shù)k1i, k2i, ,kti,使i= k1i 1 + k2i 2 + + ktit =(1, 2, t )i=1,2, ,s.令ts矩陣K=(kij)，由分塊矩陣的乘法運(yùn)算，得 牛牛文庫文檔分享 ( 1 , 2 , , s ) = (1, 2, t ) 即 A=BK. 考察s個(gè)未知