彈性力學(xué)極坐標(biāo)求解課件

1、彈性力學(xué) 極坐標(biāo)求解2022/8/2024.1極坐標(biāo)中的平衡微分方程1.建立模型 在區(qū)域 A 的任一點(diǎn)P（，），取出一個(gè)微分體，建立的坐標(biāo)系如圖4-1所示。圖 4- 1第四章 平面問題的極坐標(biāo)求解2.正負(fù)符號(hào)的規(guī)定 （1）在極坐標(biāo)中，從原點(diǎn)出發(fā)，以向外為正；而以 x軸正向到 y軸正向的轉(zhuǎn)向?yàn)檎?（2）應(yīng)力的表示和符號(hào)規(guī)定與直角坐標(biāo)相同，仍以正面正向，負(fù)面負(fù)向的應(yīng)力為正，反之為負(fù)； （3）微分體上的體力為 和 ，表示于微分體的中心，分別沿徑向和環(huán)向，以沿正坐標(biāo)方向?yàn)檎?，反之為?fù)。2022/8/203第四章 平面問題的極坐標(biāo)求解第四章 平面問題的極坐標(biāo)求解3.列平衡方程求解 由 可得由 可得20

2、22/8/204 化簡以上兩式，由于 微小，可以把 另外在上式中，分別出現(xiàn)了一、二、三階微量，其中一階微量互相抵消，二階微量保留，而將更高階的三階微量略去?；喛傻茫?2022/8/205（4-1） 第四章 平面問題的極坐標(biāo)求解4.直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)比較 1.在（4-1）的第一式中，前兩項(xiàng)與直角坐標(biāo)的相似；而 項(xiàng)是由于正面的面積大于負(fù)面而產(chǎn)生的， 是由于正負(fù)面上的正應(yīng)力在通過微分體中心的方向有投影而引起的。 2.在式（4-1）的第二式中，前兩項(xiàng)也與直角坐標(biāo)的相似；而 是由于正面面積大于負(fù)面而產(chǎn)生的； 是由于正負(fù)面上的切應(yīng)力在通過微分體中心的方向有投影而引起的。由于 我們?nèi)詫⑦@兩個(gè)切應(yīng)力只作為一個(gè)

3、未知函數(shù)處理。 62022/8/20第四章 平面問題的極坐標(biāo)求解4.2 極坐標(biāo)中的幾何方程及物理方程1.幾何方程的推導(dǎo)（1）建立坐標(biāo)系 在區(qū)域內(nèi)任取一點(diǎn)P（，）作兩個(gè)沿正標(biāo)向的微分線段PA=d和PB =d，圖4-2所示。 2022/8/207圖 4- 2第四章 平面問題的極坐標(biāo)求解 推導(dǎo)幾何方程分為兩步：一步考慮只有徑向位移 的情形；第二步再考慮只有環(huán)向位移 的情形。 （2）微分體只發(fā)生徑向位移 設(shè)變形后，P點(diǎn)的位移分量為 則A點(diǎn)相對于P點(diǎn)，要計(jì)入由于坐標(biāo)增量 而引起的增量，位移分量應(yīng)為 B點(diǎn)相對于P點(diǎn)，要考慮由d而引起的增量，位移分量應(yīng)為 ，如圖4-2（a）所示。 2022/8/208第四章

4、 平面問題的極坐標(biāo)求解第四章 平面問題的極坐標(biāo)求解又由于圖4-2（a）中的角很小，以 ，于是 。由此，我們得到： PA 線段的線應(yīng)變 ，轉(zhuǎn)角=0； PB 線段的線應(yīng)變 ，轉(zhuǎn)角：注： 是極坐標(biāo)中才有的，表示由于徑向位移而引起的環(huán)形線段的伸長應(yīng)變。 2022/8/209（3）微分體只發(fā)生環(huán)向位移 微分線段 變形后成為 ， 。變形后P點(diǎn)的環(huán)向位移 ，由于坐標(biāo)的增量 的位移分別為 和 見圖4-2（b）。同樣考慮 PA 的轉(zhuǎn)角是微小的，我們可以得出： PA 的線應(yīng)變： 轉(zhuǎn)角：2022/8/2010第四章 平面問題的極坐標(biāo)求解PB 的線應(yīng)變：轉(zhuǎn)角： 需要說明的是： 是由于環(huán)向位移而引起的環(huán)向線段的轉(zhuǎn)角。因

5、為變形前的環(huán)向線切線垂直于OP，而變形后的環(huán)向線切線垂直于 ，這兩切線的轉(zhuǎn)角應(yīng)等于圓心角 。并且，這個(gè)轉(zhuǎn)角使原直角APB增大，按切應(yīng)變的定義應(yīng)為負(fù)值。這項(xiàng)也是在極坐標(biāo)中才有的。 2022/8/2011 第四章 平面問題的極坐標(biāo)求解（4）結(jié)論 當(dāng)徑向和環(huán)向位移同時(shí)發(fā)生時(shí)，在幾何線性問題中；可以應(yīng)用疊加原理而得極坐標(biāo)中的幾何方程： 2022/8/2012（4-2） 與直角坐標(biāo)中的幾何方程相比，除了上述指出的兩項(xiàng)是極坐標(biāo)中特有的之外，其余的幾項(xiàng)都是相似的。 第四章 平面問題的極坐標(biāo)求解2.極坐標(biāo)系中的物理方程 在直角坐標(biāo)系中，物理方程是代數(shù)方程，且其中x與y坐標(biāo)線為正交。而在極坐標(biāo)系中與坐標(biāo)線也為正

6、交，因此，極坐標(biāo)中的平面應(yīng)力問題的物理方程可以相似地得出： 2022/8/2013（4-3） 第四章 平面問題的極坐標(biāo)求解3.說明 （1）對于平面應(yīng)變問題，同樣只需將式（4- 3）中的 E，換為： ， ，即可得出平面應(yīng)變問題的物理方程。 （2）極坐標(biāo)中的邊界條件，由于邊界面通常均為坐標(biāo)面，即面（=常數(shù)）或面（=常數(shù)），使邊界的表示十分簡單，所以邊界條件也十分簡單。例如，給定的約束條件通常是徑向位移值和環(huán)向位移值，可以分別與 建立等式。在應(yīng)力邊界條件中，通常給出徑向和切向的面力，也可以直接與對應(yīng)的應(yīng)力分量建立等式。 2022/8/2014第四章 平面問題的極坐標(biāo)求解4.3 極坐標(biāo)中的應(yīng)力函數(shù)與相

7、容方程1.直角坐標(biāo)系和極坐標(biāo)系之間的變換關(guān)系（1）坐標(biāo)變量的變換 反之（2）函數(shù)的變換只需將坐標(biāo)變換式（a）或式（b）代入函數(shù)即可。 2022/8/2015（a） （b） 第四章 平面問題的極坐標(biāo)求解（3）位移（矢量）的變換 2022/8/2016設(shè)位移矢量為d，它在（x，y）和（，）坐標(biāo)系中的分量，如圖 4-3所示。 分別表示為（u，v）和 圖 4-3第四章 平面問題的極坐標(biāo)求解第四章 平面問題的極坐標(biāo)求解則位移分量的變換關(guān)系為：反之： （c） （d） 2022/8/2017（4）導(dǎo)數(shù)的變換 2022/8/2018設(shè)有函數(shù) ，可將 看成是，的函數(shù)，即 ；而，又是x，y的函數(shù)，如式（b）所示。

8、因此 可以認(rèn)為是通過中間變量（，）的關(guān)于（x，y）的復(fù)合函數(shù)。按照復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)公式，有： 第四章 平面問題的極坐標(biāo)求解第四章 平面問題的極坐標(biāo)求解其中，對x，y的導(dǎo)數(shù)，可以由式（b）得出：整理，即得一階導(dǎo)數(shù)的變換公式：（e） （f） 2022/8/20192022/8/2020二階導(dǎo)數(shù)的變換可以從一階導(dǎo)數(shù)得出，因?yàn)椋旱谒恼?平面問題的極坐標(biāo)求解2022/8/2021由圖4-1可見，如果把x軸和y軸分別轉(zhuǎn)到 （5）應(yīng)力分量用應(yīng)力函數(shù)表示 的方向，使 該微分體的坐標(biāo)成為零，則 分別成為 于是當(dāng)不計(jì)體力時(shí)，即可由式（a）至（c）得出應(yīng)力分量用應(yīng)力函數(shù)表示： （4-5） 第四章 平面問題的極坐標(biāo)求解

9、（6）極坐標(biāo)中的相容方程 2022/8/2022將教科書 4.3中的式（a），（b）式相加，就可以得出拉普拉斯算子的變換式： 由此，極坐標(biāo)中的相容方程仍為： （4-6） 其展開式：第四章 平面問題的極坐標(biāo)求解2022/8/2023當(dāng)不計(jì)體力時(shí)，在極坐標(biāo)系中按應(yīng)力求解平面問題，歸結(jié)為求解一個(gè)應(yīng)力函數(shù) ，它必須滿足：1）在 區(qū)域內(nèi)的相容方程（4-6）；2）邊界上的應(yīng)力邊界條件；3）如為多連體，還須滿足位移的單值條件。 求解的方法，仍然可以用逆解法和半逆解法。求得應(yīng)力函數(shù)后，就可以由式（4-5）求出應(yīng)力分量。 第四章 平面問題的極坐標(biāo)求解4.4 應(yīng)力分量的坐標(biāo)變換式1.直角坐標(biāo)應(yīng)力分量變換極坐標(biāo)應(yīng)力

10、分量 在區(qū)域內(nèi)取出一個(gè)z向?yàn)閱挝缓穸?、包括x面，y面和面的三角形微分體，如圖4-4所示。 2022/8/2024， 圖 4- 4第四章 平面問題的極坐標(biāo)求解 根據(jù)圖 4-4中三角板A的受力情況和各邊的幾何關(guān)系，如設(shè)bc=ds，ab=dscos，ac=dssin。 列平衡方程 可得 用 ，化簡可得： 同理，列平衡方程 ，化簡可求得2022/8/2025第四章 平面問題的極坐標(biāo)求解 類似地由三角板B同樣可以求出 。 綜上可得由直角坐標(biāo)向極坐標(biāo)轉(zhuǎn)換的關(guān)系式：（2）請自己推出由極坐標(biāo)向直角坐標(biāo)轉(zhuǎn)換的關(guān)系式：（4- 7） （4-8） 2022/8/2026第四章 平面問題的極坐標(biāo)求解4.5 軸對稱應(yīng)力和

11、相應(yīng)的位移1.概念 軸對稱，即繞一軸對稱，是指通過此軸的任何面均為對稱面。 2.軸對稱物理量的特點(diǎn) （1）方向必須對稱，因此，方向不對稱的物理量不應(yīng)存在。因此： （2）數(shù)值必須相同，因此，它只能是的函數(shù)，沿向不變 。由此可見，凡是軸對稱問題，總是使自變量減少一維，即：2022/8/2027第四章 平面問題的極坐標(biāo)求解3.軸對稱應(yīng)力表達(dá)式根據(jù)軸對稱物理量的特點(diǎn)，可得到軸對稱應(yīng)力的表達(dá)式：4.軸對稱的相容方程 根據(jù)軸對稱物理量的特點(diǎn)，可得到軸對稱相容方程的表達(dá)式：2022/8/2028（4-9） 第四章 平面問題的極坐標(biāo)求解5.軸對稱應(yīng)力問題中應(yīng)力函數(shù)的解 根據(jù)軸對稱的相容方程，即： 成為四階常微

12、分方程，而四階常微分方程總共只有四個(gè)解： 這就是軸對稱應(yīng)力問題中應(yīng)力函數(shù)的通解。因而，我們可以得到個(gè)參數(shù)的表達(dá)式：6.軸對稱問題的應(yīng)力通解 2022/8/2029（4-10） （4-11） 第四章 平面問題的極坐標(biāo)求解2022/8/20307.軸對稱問題形變分量的通解 從上式中可看出：得到的 也是軸對稱的。 第四章 平面問題的極坐標(biāo)求解第四章 平面問題的極坐標(biāo)求解8.軸對稱問題位移分量的通解由形變通過幾何方程求位移，通過積分得：（4-12） 2022/8/20319.上述推導(dǎo)需說明幾點(diǎn)（1）在軸對稱應(yīng)力條件下，平面問題的自變量只有一個(gè)，相容方程是常微分方程，其解答是完全確定的；（2）上面得出的

13、 、應(yīng)力、形變和位移，都是軸對稱應(yīng)力條件下的通解，適用于任何軸對稱應(yīng)力問題；（3）得出的位移分量包含了非軸對稱的項(xiàng)，但可以用來處理各種位移邊界條件； （4）解答中，只有若干系數(shù)是待定的，它們可以由給定的應(yīng)力或位移邊界條件，以及多連體中的位移單值條件來確定 。 2022/8/2032第四章 平面問題的極坐標(biāo)求解4.6 圓環(huán)或圓筒受均布?jí)毫?022/8/20331.模型圓環(huán)或圓筒受均布?jí)毫Φ氖芰η闆r，屬于軸對稱問題，如圖4-5a所示。圖4-5第四章 平面問題的極坐標(biāo)求解2022/8/2034根據(jù)軸對稱解答，只需根據(jù)給定的應(yīng)力或位移邊界條件和多連體中的位移單值條件，來確定解答中的若干系數(shù)即可。2.圓

14、環(huán)或圓筒受均布?jí)毫r(shí)的解題步驟（1）應(yīng)力邊界條件 在的邊界面上，分別有應(yīng)力邊界條件： （a） （b） 第四章 平面問題的極坐標(biāo)求解2022/8/2035在平面問題中每邊應(yīng)有兩個(gè)邊界條件，由于軸對稱，所以式（b）自然滿足。將式（a）代入軸對稱應(yīng)力解答式（4- 11）得： （c） 從上式可以看出，邊界條件都已滿足，但2個(gè)方程不能解決3個(gè)未知數(shù)A,B,C。因?yàn)檫@里討論的是多連體問題，所以要考慮位移單值條件。 第四章 平面問題的極坐標(biāo)求解（2）多連體中的位移單值條件 單值條件實(shí)際上是物體連續(xù)性條件的表現(xiàn)形式。即在連續(xù)體上，對于同一點(diǎn)的應(yīng)力、形變和位移只可能有一個(gè)值，即應(yīng)為單值。在按位移求解時(shí)，可不需要

15、效正單值條件；但按應(yīng)力求解時(shí)，對于多連體須要校核位移的單值條件。 第四章 平面問題的極坐標(biāo)求解2022/8/2036第四章 平面問題的極坐標(biāo)求解 圓環(huán)和圓筒是二連體，而位移解答式 （4-12）中的 是一個(gè)多值函數(shù)。因此，由單值條件得出，必須令系數(shù) B = 0。 將B = 0代入式（c）可解得： 2022/8/20372022/8/2038將解得的A、B代入式（4-11），整理后即得圓筒受均布?jí)毫Φ睦方獯穑?（4-13） （3）圓環(huán)或圓筒受均布?jí)毫Φ膽?yīng)力解答第四章 平面問題的極坐標(biāo)求解2022/8/20393.拉梅解答的討論 （1）如果圓環(huán)、圓筒只有內(nèi)壓力q1作用，則可化簡為：顯然，總是壓應(yīng)力

16、，總為拉應(yīng)力，應(yīng)力分布大致如 圖4-5b所示。 第四章 平面問題的極坐標(biāo)求解2022/8/2040（2）當(dāng)圓環(huán)或圓筒的外半徑 ，就可得到具有圓孔的無 限大薄板或具有圓形孔道的無限大彈性體的應(yīng)力解答可見這時(shí)的應(yīng)力和 成正比，在遠(yuǎn)大于r處，應(yīng)力是很小的，可以不計(jì)。這證明了圣維南原理的正確性。 第四章 平面問題的極坐標(biāo)求解2022/8/2041（3）如果圓環(huán)、圓筒只有外壓力q2作用（4-14） 顯然， 都是壓應(yīng)力。應(yīng)力分布大致如 圖4-5c所示。 第四章 平面問題的極坐標(biāo)求解4.7壓力隧洞 1.模型 壓力隧洞可以看成是兩個(gè)圓筒的連接，即一個(gè)是內(nèi)外半徑為r和R的圓筒，另一個(gè)是內(nèi)外半徑為R和的彈性體，兩

17、者在= R處相接觸。本題屬于平面應(yīng)變問題。 設(shè)圓筒與無限大彈性體的彈性常數(shù)分別為 和 。顯然，從材料性質(zhì)來看，不符合均勻性假定。因此，這類問題不能用一個(gè)解答來覆蓋，必須考慮分別用軸對稱應(yīng)力解答（4-11）和相應(yīng)的位移解答（4-12）來表示。根據(jù)單值條件可得，B=0， 。2022/8/2042第四章 平面問題的極坐標(biāo)求解2.求解步驟（1）圓筒的應(yīng)力表達(dá)式2022/8/2043（a） （2）無限大彈性體的應(yīng)力表達(dá)式（b） 第四章 平面問題的極坐標(biāo)求解第四章 平面問題的極坐標(biāo)求解（3）邊界上的接觸條件 根據(jù)圣維南原理，在無限遠(yuǎn)處應(yīng)力（c） （d） 2022/8/20442022/8/2045（4）單

18、值位移問題考慮平面應(yīng)變位移問題，而且B=0，應(yīng)用式（4-12），整理后可得： （e） 在接觸面上有：（f） 第四章 平面問題的極坐標(biāo)求解2022/8/2046由方程（a）（f）且定 可得圓筒及無限 大彈性體的應(yīng)力表達(dá)式： （4-16） 第四章 平面問題的極坐標(biāo)求解2022/8/2047所謂接觸問題，即兩個(gè)彈性體在邊界上互相接觸的問題。在本題中，除了在兩個(gè)解答中分別考慮各自的邊界條件和位移單值條件外，在= R 的邊界上，還應(yīng)考慮四個(gè)接觸條件，即變形后兩個(gè)彈性體保持連續(xù)，有： 3.注 由于軸對稱，切應(yīng)力和環(huán)向位移（略去剛體位移）均為零，這兩個(gè)條件是自然滿足的。第四章 平面問題的極坐標(biāo)求解4.8圓孔

19、的孔口應(yīng)力集中 1.“小孔口問題”應(yīng)符合兩個(gè)條件 （1）孔口尺寸要小 即孔口尺寸遠(yuǎn)小于彈性體的尺寸，使孔口的存在而引起的應(yīng)力擾動(dòng)只局限于一個(gè)小范圍內(nèi)； （2）孔距邊界要大 孔邊距彈性體邊界比較遠(yuǎn)（約大于 1.5倍孔口尺寸），這使孔口與邊界之間不發(fā)生相互干擾。在小孔口問題中，孔口附近將發(fā)生應(yīng)力集中現(xiàn)象。2022/8/2048第四章 平面問題的極坐標(biāo)求解2.小孔口應(yīng)力集中現(xiàn)象的兩個(gè)特點(diǎn) （1）孔附近的應(yīng)力高度集中性 孔附近的應(yīng)力遠(yuǎn)大于遠(yuǎn)處的應(yīng)力，或遠(yuǎn)大于無孔時(shí)的應(yīng)力。 （2）應(yīng)力集中的局部性 由于孔口存在而引起的應(yīng)力擾動(dòng)范圍主要集中在距孔邊 1.5倍孔口尺寸的范圍內(nèi)，在此范圍之外，可以忽略不計(jì)。2

20、022/8/2049第四章 平面問題的極坐標(biāo)求解3.圓孔口遠(yuǎn)場為雙向受均布拉力q （1）受力情況 距圓孔較遠(yuǎn)處的應(yīng)力場為雙向均布拉力q，如圖4-8a。2022/8/2050圖4-8第四章 平面問題的極坐標(biāo)求解（2）計(jì)算模型 本問題即為=R（R r）的外圓周上受均勻拉力的軸對稱問題。引用軸對稱通解式（4-14），且令 -q2=q，得到：2022/8/2051第四章 平面問題的極坐標(biāo)求解2022/8/2052由于R遠(yuǎn)大于r，則可取 ，從而得到： （4-17） 一般孔口問題中的最大、最小應(yīng)力發(fā)生在孔邊上，即： 本題的最大孔邊應(yīng)力是 第四章 平面問題的極坐標(biāo)求解4.圓孔口遠(yuǎn)場一向?yàn)榫祭另一向?yàn)閴?/p>

21、力q（1）受力情況 距圓孔較遠(yuǎn)處的應(yīng)力場為均布拉力和壓力q ，如圖4-8b所示。（2）邊界條件 在點(diǎn)A處（即大邊界上），其應(yīng)力情況與無孔時(shí)相同，也就是 所以，在= R 圓周上，利用坐標(biāo)變換式（4-7），可得：2022/8/2053（a） 第四章 平面問題的極坐標(biāo)求解2022/8/2054在孔邊的邊界條件是：（b） 從邊界條件來看，此問題是個(gè)非軸對稱問題。 （3）求解方法及過程1）求解這類問題，可用半逆解法求解，現(xiàn)假設(shè)：（c） 第四章 平面問題的極坐標(biāo)求解2022/8/20552）將式（c）代入相容方程（4-6），可得：于是求解常微分方程，可得：得應(yīng)力函數(shù)：第四章 平面問題的極坐標(biāo)求解2022/

22、8/20563）求應(yīng)力分量表達(dá)式從而由式（4-5）得應(yīng)力分量：（d） 4）將式（d）代入邊界條件（a）（b），求解A,B,C,D,然 后命 ，得： 第四章 平面問題的極坐標(biāo)求解5）結(jié)論將上述各值代入式（d），得應(yīng)力分量表達(dá)式：6）討論孔邊的最大、最小應(yīng)力為：（4-18） 2022/8/2057第四章 平面問題的極坐標(biāo)求解2022/8/20585.圓孔口遠(yuǎn)場雙向均為拉力作用，但大小不同（1）計(jì)算模型矩形板（薄板或長柱體）在左右兩邊受有均布拉力q1，在上下兩邊受有均布拉力q2，如圖4-9a所示。圖4-9第四章 平面問題的極坐標(biāo)求解（2）計(jì)算處理 要解決這一類問題，可將荷載分解為如圖4-9b和4-9

23、c所示的兩部分，對于第一部分荷載可用解答（4-17）；對于第二部分荷載可應(yīng)用解答（4-18）。然后將兩部分解答進(jìn)行疊加，即可得到原荷載作用下的應(yīng)力分量的解答。2022/8/2059第四章 平面問題的極坐標(biāo)求解2022/8/20606.圓孔遠(yuǎn)處的應(yīng)力場只有x向的均布拉力q （1）問題處理應(yīng)用上述兩個(gè)解答和疊加原理，得出基爾斯的解答。（4-19） 第四章 平面問題的極坐標(biāo)求解（2）孔口應(yīng)力分析孔口應(yīng)力分布如圖4-10所示圖4-10第四章 平面問題的極坐標(biāo)求解2022/8/20612022/8/2062（3）討論我們來分析在遠(yuǎn)處 x向的均勻拉力 q作用下，圓孔附近的應(yīng)力狀態(tài)。1）在孔邊= r，環(huán)向正

24、應(yīng)力是： 當(dāng) 時(shí)， ，此點(diǎn)應(yīng)力變號(hào)，成為壓應(yīng)力；當(dāng)時(shí)， ，即此點(diǎn)拉應(yīng)力為遠(yuǎn)處均布拉力的 3倍。 第四章 平面問題的極坐標(biāo)求解2022/8/20632）在x軸上 和y軸上 ，可以看出，在距圓孔邊為1.5倍孔口尺寸處 ，由于圓孔引起的應(yīng)力擾動(dòng)已小于的5% 數(shù)值。各種形狀的小孔口問題的應(yīng)力集中現(xiàn)象，也均具有相似的局部性特征，即應(yīng)力擾動(dòng)的區(qū)域主要局限于距孔邊1.5倍的孔口尺寸范圍內(nèi)。 第四章 平面問題的極坐標(biāo)求解2022/8/20644.9 半平面體在邊界上受集中力 1.半平面體受集中力F的作用的解題步驟如圖4-11所示，本問題可采用半逆解法來求解。 圖 4- 11第四章 平面問題的極坐標(biāo)求解 （1）

25、設(shè)定應(yīng)函數(shù)形式 1）由量綱分析 2）從而推測出 因此，假設(shè) （2）代入相容方程 將 代入相容方程（4-6），得：2022/8/2065（a） 第四章 平面問題的極坐標(biāo)求解2022/8/2066（3）解微分方程解出 ，代入應(yīng)力函數(shù)中，并略去與應(yīng)力無關(guān)的一次式，得：（4-20） 由 求應(yīng)力，代入式（4-5）得： （b） （4）求應(yīng)力分量表達(dá)式第四章 平面問題的極坐標(biāo)求解（5）考察邊界條件 1）不包含原點(diǎn)O，則在 ， ， 顯然這條件是滿足的。 2）在原點(diǎn)O附近，我們可以看成是一段小邊界。在此小邊界附近，有面力的作用，而面力可以向原點(diǎn)O簡化為作用于O點(diǎn)的主矢量F和主矩為O的情形。 將小邊界上應(yīng)用圣維南原理來進(jìn)行處理。圣維南原理的應(yīng)用可以有兩種方式。2022/8/2067第四章 平面問題的極坐標(biāo)求解 a.在同一小邊界上，使應(yīng)力的主矢量和主矩，分別等于對應(yīng)面力的主矢量和主矩（數(shù)值相等，方向一致），共有三個(gè)條件。 b.取出包含小邊界的一部分脫離體，并考慮此脫離體的平衡條件，即 ，同樣也得出三個(gè)條件。將應(yīng)力分量代入，可得：2022/8/2068第四章 平面問題的極坐標(biāo)求解第四章 平面問題的極坐標(biāo)求解（6）結(jié)論 最后，求得應(yīng)力分量為2.對上述解答的討論與分析 （1）當(dāng)F垂直于邊界時(shí)，即 時(shí)：（4-21