習題四參考答案

1、習題四參考答案在廣闊平坦地區(qū)的地下有一個半徑為m、中心深度為m的充滿水的洞穴，圍巖的密度為g/cm3，用一臺觀測精度為g.u.的重力儀能否確定這個洞穴？（洞穴可看作球體）角解已矢口r6m，h=10m，G=6.67,10-nm3/（kg,S2）p=p水-pag/cm3-1300kg/m34gGm/h2GpV/h2=Gpnr3/h2max346.67,10-iim3/(kg,S2)(-1300kg/m3)n,(6m)33(10m)2810-7m/s2答：因為只有大于儀器觀測精度倍的異常，才能認為是有效異常,所以這臺觀測精度為的重力儀不能確定這個洞穴。在圖中的各剖面上畫出重力異常g、V、V、V示意曲

2、線。xzzzzzz（參看教材）/當.球體、無限長水平圓柱體的深度增大一倍時，g將各為原值的max多少倍？g的剖面（或主剖面）曲線的寬度（將g兩點的水平max距離視為曲線的寬度）和最大水平變化率各為原值的多少倍？解：（1球體最大值為：Gm/h2，深度增加一倍，則最大值為：Gm/（2h）2=Gm/4h2=（Gm/h2）/4，也就是說，為原值的四分之一；無限長水平柱體最大值為：2G九/h，深度增加一倍，則最大值為:2G九/h=2G九/2h=（2G九/h）/2，也就是說，為原值的二分之一。（1球體g的剖面（或主剖面）曲線的寬度為：d=1.532h，1/2因此，深度增加一倍，寬度也增加一倍；無限長水平柱

3、體g的剖面（或主剖面）曲線的寬度為：d二2h，1/2度增加一倍，寬度也增加一倍；對.水平物質半平面，試證明：（1）3）求一階導數(shù)最大處表達式，然后討論。g=g(x),g(-x)二2g(0)；maxg曲線的拐點即為坐標原點。解：參看表達式：g=2G(+arctan疳)求之。(=pt=p(H一h)，為剩余面密度；D=H+h)2()當xT+8時得g=2G(+arctan=2nGTOC o 1-5 h zmax2Dg(x)+g(-x)=2G(乎+arctan)2G(衛(wèi)+arctanx)2D2D2nG(arctanarctanx)(提示：可用DD并對最后值求反正切）tanQ+卩)=tantan卩來求,1

4、-tanatanP2g(0)2nG所以，有上述結論。()求導數(shù)(arctanx)在一個出露范圍較大巖體表面中點上的重力異常為，已知在圖的水平線x上畫出疊加異常或起伏地形上的剖面異常曲線。注意：實線為起伏地形上的異常曲線，虛線為水平線上的異常曲線。可見，同一地質體起伏地形上的異常與水平線上的異常特征差別很大。依剖面異常曲線，在圖測線（X軸）的下邊畫出地質體的推斷斷面圖形。巖體密度為0m3，圍巖密度為t/m3，試估算重力異常是否單純由該巖體所引起的？解：密度差為：t/m3g/cm3，可以作為鉛垂圓柱體來討論。8什.么是解重力異常的正問題與反問題？舉例說明解正問題的基本方法是哪些？答：根據(jù)已知的、具

5、有剩余質量的地質體的形狀、產(chǎn)狀和剩余密度分布，通過理論計算，研究它們所引起的異常及其各階導數(shù)異常的數(shù)值大小、空間分布和變化規(guī)律。對于單一規(guī)則形體，可以通過積分運算求解出精確的重力異常正演公式；對于復雜條件下的地質體，只能采用近似的方法求出異常的近似值。根據(jù)所測得的異常及其各階導數(shù)異常的數(shù)值大小、空間分布和變化規(guī)律求解質體的形狀、產(chǎn)狀和剩余密度分布。9指出下列敘述中的錯誤所在：（1）一個背斜構造，它一定會產(chǎn)生一個正的重力異常；而一個向斜構造上則一定引起一個負異常。（2）一個地質體引起的重力異常越大，它所對應的重力水平梯度也一定大。（錯）（3）兩個同樣形狀和大小的地質體一定產(chǎn)生完全一樣的重力異常。

6、答：不對，要考慮剩余密度影響。（4）同一個地質體，當埋藏深度不變僅剩余密度加大一倍（如設pg/cm3和pg/cm3兩種情形），貝I在過中心剖面上兩種情況下的異常曲線數(shù)值也相差一倍，所以兩條異常曲線互相平行。對.當球體、水平圓柱體及鉛垂臺階的中心埋藏深度都是D，剩余密度都是p，且臺階的厚度正好是球體與水平圓柱體的半徑R兩倍R（RWD時），請計算,gsph:,gcyl:,gstep=?:?:?maxmaxmax式中,gsph、,gcyl、,gstep分別是球體、水平圓柱體、鉛垂臺階引起的重maxmaxmax力異常極大值。解：球體、水平圓柱體、鉛垂臺階引起的重力異常極大值分別為：Gm/D2、2G/D

7、、2nGpt，而，pnR2，所以三者比值為:Gp-4nR33D22GpnR2D_2nGp-2R請.抓住異常的基本特征，示意地繪出圖2所3示的臺階地形剖面上的g曲線。(pp)。12答:可看做兩層地層，其中第一層中有一個鉛垂臺階或水平物質半平面。.已知計算鉛垂物質線段的g正演公式為g，G1-1(x2+h2)1/2(x2+H2)1/2式中h、H為物質線段頂與底的深度,為線密度。試導出當HK時由g曲線反演求解h和的解析式。解:對右式第二項，當HT時，該項等于零。所以，g，G/h，max而x，并且此時，g剖面曲線為正值，左右對稱，這樣，可有1/2半極值寬度求出頂埋深，進一步可以求得線密度。如果利用與無限

8、長水平圓柱體走向斜交的觀測剖面上測得的異常曲線來反演該物體的參數(shù)，其結果會產(chǎn)生什么樣的失真？解：首先由平面等值線圖畫出斜交時的剖面曲線，該曲線形態(tài)和正交時的剖面曲線特征類似，極大值相同，半極值水平寬度變大，因此可知，埋深加大，線密度增大，其道理和上題類同。g，2G/hmax.應用平板公式g,2nGp(H-h)，在p已知時，請問：1)利用該式作正演估算由兩點下方密度界面相對起伏而引起的異常值時，是最大可能值還是最小可能值，為什么？（2）利用該式做反演估算，是從兩點間的異常差值來計算下方界面的深度差，這深度差是最大可能值還是最小可能值，為什么？圖.4-2是4在一個鹽丘上測得的重力異常曲線，已知圍巖

9、的平均密度為g/cm3,鹽丘的密度為g/cm3。為計算方便，將鹽丘看作球體，請利用曲線求鹽丘的中心埋深和頂部埋深。（提示：實測曲線不夠對稱，計算x處的值時應取兩邊平均值）12解：據(jù)題設知，p，g/cm3g/cm3，g/cm3，kg/m3x，2.1(km)，g，60g.u，-610-5m/s2TOC o 1-5 h z1max26(m6)xh，120.7664g，Gm/h2，GpV/h2，GpnR3/h2max3R3，gh2/(Gp4n).max3頂部埋深為：H，h-R16若.有一剩余質量為50萬噸的球形礦體（可當作點質量看），當其中心埋藏深度為m時，請計算：）在地面產(chǎn)生的異常極大值是多少2）異常值為極大值的1/的3點距極大值距離為多少米?）若該礦體與巖圍密度分別為g/cm3和g/cm3，該礦體的實際質量是多少解：據(jù)題設，該球形礦體的剩余質量為：m=500000t=5,105,1000kg=5,10iig)g酸墨“詠10-%莎船=3335106皿）則：筑=113max3g=GmR=-Gm=-g1/3(%2+R2)3/23R23max則：x=(m)由：m=pV，貝V=m=50,100=102cm?則：p3.0-2.5m二pV二3.0,1C12g二3.0X1C6(t)有.一個平面等值線為等軸狀的重力異常，gmax，在g點max下的豎井底的重力異常為