高中數(shù)學(xué)必修四知識點(diǎn)匯總

1、第一章 三角函數(shù)1. 正角：按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)形成的角叫做正角。按邊旋轉(zhuǎn)的方向分 零角：如果一條射線沒有作任何旋轉(zhuǎn)，我們稱它形成了一個零角。角 負(fù)角：按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)形成的角叫做負(fù)角。 的 第一象限角|k36090+k360,kZ 分 象限角 第二象限角|90+k360180+k360,kZ 類 第三象限角|180+k360270+k360,kZ 按終邊的位置分 第四象限角|270+k360360+k360,kZ 或|-90+k360k360,kZ 軸上角(象間角):當(dāng)角的終邊與坐標(biāo)軸重合時(shí)叫軸上角，它不屬于任何一個象限2.終邊相同角的表示：所有與角終邊相同的角,連同角在內(nèi),可構(gòu)成一個集合S=|

2、=+ k360,kZ即任一與角終邊相同的角,都可以表示成角與整個周角的和。3.幾種特殊位置的角：終邊在x軸上的非負(fù)半軸上的角：= k360,kZ終邊在x軸上的非正半軸上的角：=180+ k360,kZ終邊在x軸上的角：= k180,kZ終邊在y軸上的角：=90+ k180,kZ終邊在坐標(biāo)軸上的角：= k90,kZ終邊在y=x上的角：=45+ k180,kZ終邊在y=-x上的角：= -45+ k180,kZ 或=135+ k180,kZ終邊在坐標(biāo)軸或四象限角平分線上的角：= k45,kZ4.弧度：在圓中，把長度等于半徑長的弧所對的圓心角叫做1弧度的角，用符號rad表示。5.一般的，正角的弧度數(shù)是

3、一個正數(shù)，負(fù)角的弧度數(shù)是一個負(fù)數(shù)，零角的弧度數(shù)是0.6.如果半徑為r的圓的圓心角所對弧的長為，那么，角的弧度數(shù)的絕對值是|= 相關(guān)公式： 7.角度制與弧度制的換算： 8.單位圓：在直角坐標(biāo)系中，我們稱以原點(diǎn)O為圓心，以單位長度為半徑的圓為單位圓。9.利用單位圓定義任意角的三角函數(shù)：設(shè)是一個任意角，它的終邊與單位圓交于點(diǎn)P（x，y）那么：y叫做的正弦，記作sin即sin=yx叫做的余弦，記作cos，即cos=x叫做的正切，記作tan，即tan=（x0）10. 平方關(guān)系： ；同角三角函數(shù)的基本關(guān)系 商的關(guān)系【當(dāng)k+（kZ）】：11.三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式：公式一四可以概括如下： ，的三角函數(shù)值，等于的

4、同名函數(shù)值，前面加上一個把看成銳角時(shí)原函數(shù)值的符號。 公式五和公式六可以概括如下：的正弦（余弦）函數(shù)值，分別等于余弦（正弦）函數(shù)值，前面加上一個把看成銳角時(shí)原函數(shù)值的符號。【奇變偶不變，符號看象限】 ?？紗栴}，要牢記于心12.三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)：正弦函數(shù)y=sinx余弦函數(shù)y=cosx正切函數(shù)y=tanx定義域RR值 域-1,1（有界性）-1,1（有界性）R零 點(diǎn)周期性T=2T=2T=奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)單調(diào)性增區(qū)間減區(qū)間對稱性對稱軸對稱中心圖像注意：周期為2；周期為；周期為2；不是周期函數(shù)。13.得到函數(shù)圖像的方法:14.簡諧運(yùn)動若函數(shù)的最大值為，最小值為b，則有 ，解析式：振幅：A就

5、是這個簡諧運(yùn)動的振幅。周期：頻率：相位和初相：稱為相位，x=0時(shí)的相位稱為初相。第二章 平面向量1.向量：數(shù)學(xué)中，我們把既有大小，又有方向的量叫做向量。 數(shù)量：我們把只有大小沒有方向的量稱為數(shù)量。2.有向線段：帶有方向的線段叫做有向線段。 有向線段三要素：起點(diǎn)、方向、長度。3.向量的長度（模）：向量的大小，也就是向量的長度（或稱模），記作。4.零向量：長度為0的向量叫做零向量，記作，零向量的方向是任意的。 單位向量：長度等于1個單位的向量，叫做單位向量。5.平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量。若向量、是兩個平行向量，那么通常記作。平行向量也叫做共線向量。我們規(guī)定：零向量與任一向量平

6、行，即對于任一向量，都有。6.相等向量：長度相等且方向相同的向量叫做相等向量。若向量、是兩個相等向量，那么通常記作=。7.如圖，已知非零向量、，在平面內(nèi)任取一點(diǎn)A，作=，=，則向量叫做與的和，記作，即。向量的加法：求兩個向量和的運(yùn)算叫做向量的加法。這種求向量的方法稱為向量加法的三角形法則。8.對于零向量與任一向量，我們規(guī)定：+=+=9.公式及運(yùn)算定律： 10.相反向量：我們規(guī)定，與長度相等，方向相反的向量，叫做的相反向量，記作-。和-互為相反向量。我們規(guī)定，零向量的相反向量仍是零向量。任一向量與其相反向量的和是零向量，即。如果、是互為相反的向量，那么= -，= -，。我們定義，即減去一個向量等

7、于加上這個向量的相反向量。11.向量的數(shù)乘：一般地，我們規(guī)定實(shí)數(shù)與向量的積是一個向量，這種運(yùn)算叫做向量的數(shù)乘。記作，它的長度與方向規(guī)定如下： 當(dāng)0時(shí)，的方向與的方向相同；當(dāng)0時(shí)，的方向與的方向相反；=0時(shí)，=12.運(yùn)算定律： 13.定理：對于向量（）、，如果有一個實(shí)數(shù)，使=，那么與共線。相反，已知向量與共線，且向量的長度是向量的長度的倍，即|=|，那么當(dāng)與同方向時(shí)，有=；當(dāng)與反方向時(shí)，有= 。則得如下定理：向量向量（）與共線，當(dāng)且僅當(dāng)有唯一一個實(shí)數(shù)，使=。14.平面向量基本定理：如果、是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任意向量，有且只有一對實(shí)數(shù)、，使。我們把不共線的向量、叫做表

8、示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底。15.向量與的夾角：已知兩個非零向量和。作，則（0180）叫做向量與的夾角。當(dāng)=0時(shí)，與同向；當(dāng)=180時(shí)，與反向。如果與的夾角是90，我們說與垂直，記作。16.補(bǔ)充結(jié)論：已知向量、是兩個不共線的兩個向量，且m、nR，若，則m=n=0。17.正交分解：把一個向量分解為兩個互相垂直的向量，叫做把向量正交分解。18.兩個向量和（差）的坐標(biāo)分別等于這兩個向量相應(yīng)坐標(biāo)的和（差）。即若，則，19.實(shí)數(shù)與向量的積的坐標(biāo)等于用這個實(shí)數(shù)乘原來向量的相應(yīng)坐標(biāo)。即若，則_x_y_L_P2_P_P120.當(dāng)且僅當(dāng)x1y2-x2y1=0時(shí)，向量、（）共線21.定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式：當(dāng)時(shí)，P

9、點(diǎn)坐標(biāo)為當(dāng)點(diǎn)P在線段P1P2上時(shí)，點(diǎn)P叫線段P1P2的內(nèi)分點(diǎn)，0當(dāng)點(diǎn)P在線段P1P2的延長線上時(shí)，P叫線段P1P2的外分點(diǎn)，-1；當(dāng)點(diǎn)P在線段P1P2的反向延長線上時(shí)，P叫線段P1P2的外分點(diǎn)，-10.22. 從一點(diǎn)引出三個向量，且三個向量的終點(diǎn)共線，則，其中+=123.數(shù)量積（內(nèi)積）：已知兩個非零向量與，我們把數(shù)量叫做與的數(shù)量積（或內(nèi)積），記作即=。其中是與的夾角，（）叫做向量在方向上（在方向上）的投影。我們規(guī)定，零向量與任一向量的數(shù)量積為0。24. 的幾何意義：數(shù)量積等于的長度與在的方向上的投影的乘積。25.數(shù)量積的運(yùn)算定律：= （）=（）=（） （+）=+ 26.兩個向量的數(shù)量積等于它們

10、對應(yīng)坐標(biāo)的乘積的和。即。則：若，則，或。如果表示向量的有向線段的起點(diǎn)和中點(diǎn)的坐標(biāo)分別為、，那么，設(shè)，則27.設(shè)、都是非零向量，是與的夾角，根據(jù)向量數(shù)量積的定義及坐標(biāo)表示可得：第三章 三角恒等變換1.兩角和的余弦公式【簡記C(+)】：2.兩角差的余弦公式【簡記C(-)】：3.兩角和（差）余弦公式的公式特征：左加號，右減號。同名函數(shù)之積的和與差。、叫單角，叫復(fù)角，通過單角的正、余弦求和（差）的余弦值?！罢谩?、“逆用”、“變用”4.兩角和的正弦公式【簡記S(+)】：5.兩角差的正弦公式【簡記S(-)】：6.兩角和（差）正弦公式的公式特征及用途：左右運(yùn)算符號相同。右方是異名函數(shù)之積的和與差，且正弦值

11、在前，余弦值在后。用途：可以由單角的三角函數(shù)值求復(fù)角（和角與差角）的三角函數(shù)值。7.兩角和的正切公式【簡記T(+)】：8.兩角差的正切公式【簡記T(-)】：9.兩角和（差）正切公式的公式特征及公式變形：左邊的運(yùn)算符號與右邊分子的運(yùn)算符號相同，右邊分子分母運(yùn)算符號相反。公式變形： 10.輔助角公式： 令， 其中為輔助角，【這個公式?？?、要熟練的運(yùn)用】11.倍角的正弦【簡記S2】、余弦【簡記C2】、正切【簡記T2】公式（升冪公式）：作用：縮角升冪；12.半角的正弦【簡記】、余弦【簡記】、正切【簡記】公式（降冪公式）： 【輔助角公式】 對于f(x)=asinx+bcosx(a0)型函數(shù)，我們可以如此

12、變形，設(shè)點(diǎn)(a,b)為某一角(-/2/2)終邊上的點(diǎn)，則，因此就是所求輔助角公式。又因?yàn)?，?/20的情況），設(shè)點(diǎn)(b,a)為某一角(-/2/2)終邊上的點(diǎn)，則，因此 同理，上式化成若正弦和余弦的系數(shù)都是負(fù)數(shù)，不妨寫成f(x)=-asinx-bcosx，則再根據(jù) HYPERLINK /view/28569.htm t _blank 誘導(dǎo)公式得 公式應(yīng)用 HYPERLINK javascript:; 編輯例1求sin/(2cos+5)的最大值解：設(shè)sin/(2cos+5)=k 則sin-2kcos=5k1+(-2k)sin(+)=5k平方得k=sin(+)/5-4sin(+)令t=sin(+) t0,1則k=t/(5-4t)=1/(5/t-4)當(dāng)t=1時(shí) 有kmax=1輔助角公式可以解決一些sin與cos角之間的轉(zhuǎn)化例2化簡5sina-12cosa解：5sina-12cosa=13(5/13*sina-12/13*cosa)=13(cosbsina-sinbcosa)=13sin(a-b)其中，cosb=5/13,sinb=12/13例3/6a/4 ,求sina+2sinacosa